高一年级第二学期第二次学情调研测试
数学试题
(考试时间：120分钟)
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D C C A B A
1. 在复平面内, 复数z满足(1+i)z=2, 则z=
A. - 1-i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i
2. 在△ABC中, 则AB的长为
C. D. 5
3.以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的体积为
A. π B.π/2 c. π/3 D.π/4
4. 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=4; AD=2, CD=1, ∠DAB=60°,则
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A. 若m∥n,n α, 则m∥α B. 若m∥α,m∥β, 则α∥β
C. 若m⊥α,n⊥α, 则m∥n D 若α⊥γ,β⊥γ, 则α∥β
6 若 则sin α=
A.
7.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图 P-ABCD是阳马, PA⊥平面ABCD, PA=5, AB=3, BC=4.则该阳马的外接球的表面积为
B. 50π C. 100π
8. 已知 则tanθ=
A. B. C. 2 D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.
9 10 11
BCD ABD ACD
9. 已知 其中 以下判断正确的是
10. 已知向量 其中m∈R，下列说法正确的是
A. 若 则 B. 若 则
C.若与的夹角为钝角，则m<4 D.若m=2，向量在方向上的投影为-1
11.如图，在棱长为1的正方体AC 中，P是线段B D 上的动点(含端点)，则
A. CP∥面A BD B. A P与BC是异面直线
C. A P+PD的最小值为 D.三棱锥 P-A BD 的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 则
13.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，AB=AD=2, DC⊥BC, 则原多边形面积为 .
14.一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为 和 高为9；削成一个球，则所得球的体积最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在平行六面体 中,.
(1)求证: AB//平面;
(2)若求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC
(3)若底面ABCD是边长为1的正方形，A，求异面直线A B与B C所成角的余弦值
(1)在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，AB//A1B1.
因为ABC平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以 AB//平面A1B1C
(2)在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形.
因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形。因此AB1⊥A1B.
因为AB1⊥B1C1,BC//B1C1，所以AB1⊥BC.
又A1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以 AB1⊥平面A1BC.
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
16.在中，D、E分别在边AB,AC上,且满足，，F为BC中点.
(1)若 求实数λ，μ的值；
(2)若 求边BC的长.
，，，
设
即解得 (舍)或a=8,
∴BC长为8.
17. 记的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知
(1)求A;
(2)若点D在边BC上,且 求AD的长.
(1)由正弦定理可得
/
可得
可得
，解得
18．四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD, M,N分别为AB, AD的中点，二面角的正切值为2.
(1)求四棱锥 的体积：
(2)证明:
(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.
(1)∵△PAD为正三角形， N为AD中点，∴PN⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD = AD,∴PN⊥平面ABCD,
又NC 平面ABCD,∴PN⊥NC,∴∠DNC为二面角D - PN - C的平面角,
又DN = 1,∴ DC = 2,∴底面ABCD为正方形.
∵ ∴四棱P - ABCD的体积
(2)证明: 由 (1) 知, PN⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,∴PN⊥DM
在正方形ABCD中, 易知△DAM≌△CDN,∴∠ADM =∠DCN,
而∠ADM +∠MDC = 90°,∴∠DCN +∠MDC = 90°,∴DM⊥CN,
∵PN∩CN = N,∴DM⊥平面PNC,
∵PC 平面PNC,∴DM⊥PC.
(3)设DM∩CN = O, 连接PO, MN.
∵ DM⊥平面PNC.
∴∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角,可求得
又
∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为
19.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范.书中第I卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理)，证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形 (如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答.
问题：如图2，已知 满足 设 四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形.
(1)当 时，求EQ的长度：
(2)求AQ长度的最大值.
(1) 在 中， 则
因为 所以 ,
在 中，
由余弦定理 A
所以EQ的长度为6.
(2)在 中， 所以.
设 在 中， ,
所以 nα①,
在 中，由正弦定理得 所以 sinθ,
代入①可得
,
因为
所以
当 即 时， 的最大值为
所以AQ长度的最大值为6.高一年级第二学期第二次学情调研测试
数学试题
(考试时间：120分钟)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 在复平面内, 复数z满足(1+i)z=2, 则z=
A. - 1-i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i
2. 在△ABC中, 则AB的长为
C. D. 5
3.以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的体积为
A. π B.π/2 c. π/3 D.π/4
4. 在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=4; AD=2, CD=1, ∠DAB=60°,则
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A. 若m∥n,n α, 则m∥α B. 若m∥α,m∥β, 则α∥β
C. 若m⊥α,n⊥α, 则m∥n D 若α⊥γ,β⊥γ, 则α∥β
6 若 则sin α=
A.
7.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图 P-ABCD是阳马, PA⊥平面ABCD, PA=5, AB=3, BC=4.则该阳马的外接球的表面积为
B. 50π C. 100π
8. 已知 则tanθ=
A. B. C. 2 D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.
9. 已知 其中 以下判断正确的是
10. 已知向量 其中m∈R，下列说法正确的是
A. 若 则 B. 若 则
C.若与的夹角为钝角，则m<4 D.若m=2，向量在方向上的投影为-1
11.如图，在棱长为1的正方体AC 中，P是线段B D 上的动点(含端点)，则
A. CP∥面A BD B. A P与BC是异面直线
C. A P+PD的最小值为 D.三棱锥 P-A BD 的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 则
13.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，AB=AD=2, DC⊥BC, 则原多边形面积为 .
14.一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为 和 高为9；削成一个球，则所得球的体积最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.在平行六面体 中,.
(1)求证: AB//平面;
(2)若求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC
(3)若底面ABCD是边长为1的正方形，A，求异面直线A B与B C所成角的余弦值
16.在中，D、E分别在边AB,AC上,且满足，，F为BC中点.
(1)若 求实数λ，μ的值；
(2)若 求边BC的长.
17. 记的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知
(1)求A;
(2)若点D在边BC上,且 求AD的长.
18．四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD, M,N分别为AB, AD的中点,二面角. 的正切值为2.
(1)求四棱锥 的体积：
(2)证明:
(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.
19.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范.书中第I卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理)，证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形 (如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答.
问题：如图2，已知 满足 设 四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形.
(1)当 时，求EQ的长度：
(2)求AQ长度的最大值.
