2024-2025学年第二学期第二次月考
高一年级数学试题
时间：120分钟 分值 ：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题正确的是（ ）
A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆
C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等等边三角形
2．如图是水平放置的的直观图，=6，=3，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C．4 D．
4．在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ）
A．与BD异面
B．，M，O三点共线
C．A，C，
D．平面
5．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆台的高为2，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，则圆台的侧面积为（ ）
A．12 B． C．16 D．24
7．已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的体积等于（ ）
A． B．256π C． D．600π
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A． B．3 C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ）
A．B．C．D．
10．在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．
C．若，则 D．复数对应的点位于第四象限
11．如图，圆锥的底面半径为2，母线为6，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为8
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为6
D．若，则三棱锥的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12． ．
13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台，若某方斗的上底面边长为20cm，下底面边长为10cm，且高为5cm，则其体积为 .
14．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知复数，为虚数单位，.
（1）求；
（2）若为纯虚数，求实数的值；
（3）若为复数方程的一个解，求实数p和q的值.
16．（15分）如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，对角线与相交于点，，点B到平面的距离为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
17．（15分）已知向量.
(1)若 ，求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
18．（17分）某种“笼具”是一个圆柱挖去一个圆锥结构，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，无下底面，由内、外两层网组成．已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现用的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？（假设纱网材料没有浪费，结果保留整数．）
19．（17分）如图，在直三棱柱中，FG分别为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为.
(1)求证： 平面；
(2)求；
(3)求三棱柱的体积.2024-2025学年第二学期第二次月考
高一年级数学试题答案
时间：120分钟 分值：150分
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D B B A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD CD ABC
三．填空题（共3小题）
12．． 13．． 14．102.28．
四．解答题（共7小题）
15．（1）； （2）.（3）p=2，q=2
【详解】解：（1）∵
∴|z|==………………………………2分
（2）m
m=3-m+(m-4)i，………………4分
其为纯虚数
∴3-m=0且m-4≠0……………………………………6分
∴m=3.………………………………………………7分
（3）因为z-1=1-i,……………………………………8分
所以代入方程得：
.
∴1-2i++p-pi+q=0
∴p+q-(2+p)i=0………………10分
∴p+q=0且2+p=0………………12分
∴p=2，q=2……………………13分
16．(1)证明见解析. (2).
【详解】（1）因为点分别为的中点，
所以,…………………………………………3分
因为平面,
平面，
所以平面.……………………………………7分
（2）因为,
且为中点，
所以,………………10分
因为点到平面的距离为，
所以三棱锥的高，…………………………12分
所以.
即三棱锥体积为.………………………………15分
17．(1) (2) (3)且
【详解】（1）因为向量，且 ，
所以，
解得，………………………………………………3分
所以.………………………………5分
（2）易得，……………………6分
因为，
所以，
解得.………………………………9分
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，……………………11分
即且，……………………13分
所以且.…………………………15分
18．(1) (2)207个
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
由题意，，………………………………1分
则，……………………3分
∴===7680………………………………5分
===1024………………………………7分
这种“笼具”的体积为．………………8分
（2）由（1）可知，
圆柱的底面积为，…………………………10分
圆柱的侧面积为，……………12分
圆锥的侧面积为，………………………………14分
这种“笼具”的表面积为，………………15分
至多可以制作个“笼具”．………………………………17分
19．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）连接，设，连接，………………1分
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，
则 ，……………………3分
因为平面平面，
因此平面.…………………………6分
（2）…………7分
由余弦定理=可得，…………………………8分
.
所以.………………………………………………10分
又由，
可得，所以.……………………………………12分
（3）由直棱柱可知，三棱锥的高为
在中，为的中点，，
所以.………………15分
因此.…………………………17分
