2026届惠州市光正实验学校第一次调研考训练卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.如图的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
6.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，高速服务区停车场某片区有至共个停车位每个车位只停一辆车，有辆黑色车和辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 为样本相关系数，越小，则两个变量线性相关性越弱
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
D. 线性回归直线一定经过样本点的中心
10.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线有条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是
11.已知函数，则( )
A. 在上是增函数 B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中，常数项是 ．
13.已知，，且，则 ．
14.在四面体中，，，，，当四面体的体积最大时，四面体外接球的体积是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值．
求，的值；求函数在区间上的最大值．
16.本小题分
等比数列的各项均为正数，且，．
求数列的通项公式；设，求数列的前项和．
17.本小题分
教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取人进行调查，得到如下列联表．
性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
现按性别从这名教职工中分层抽样抽取人参加抽奖活动，奖品共份如果是女职工获奖，那么奖品价值元如果是男职工获奖，那么奖品价值元求奖品总价值的分布列及期望．
18.本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：；
求直线和平面所成角的正弦值；
线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系内，为坐标原点，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为常数．求动点的轨迹方程已知，，是动点的轨迹上的三点，且圆与直线，都相切，且，(ⅰ)求圆的半径(ⅱ)试问是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．2026届惠州市光正实验学校第一次调研考训练卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
4.如图的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为，则该方斗杯可盛水的总体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，因为线段，的中点分别为，，则，设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，则，，所以，则该方斗杯可盛水的总体积为．故选D．
5.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】解：，，
，，，
从而．由，知，则，那么，故选D
6.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
当时，，则．
由得，所以在上单调递减；
由得，所以在上单调递增．
当时，，当时，，
当时，，当时，取得极小值，．又当时，，所以函数的大致图象如图．由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，所以实数的取值范围是故选：．
7.如图，高速服务区停车场某片区有至共个停车位每个车位只停一辆车，有辆黑色车和辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
8.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A 解：如下图所示，点为椭圆的左焦点，
，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，设椭圆的右焦点为，
，，
，即最大值为，此时，，共线，故选A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 为样本相关系数，越小，则两个变量线性相关性越弱
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
D. 线性回归直线一定经过样本点的中心
【答案】ACD 【解析】解：对于，样本相关系数的绝对值越接近于，两个变量线性相关性越弱，故A正确；对于，残差为观测值减预测值，，故B错误；对于，决定系数表示的是拟合效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故 C正确；对于，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故D正确．故选：．
10.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线有条对称轴 B. 的最小值是
C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是
【答案】ACD
解：当，时，原方程化为，是圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，
又由于图象关于轴，轴对称，所以曲线如图所示．
对于，由图可知正确，四条对称轴分别是轴，轴，，，故A正确；
对于，表示曲线上的点到直线：的距离的倍，
如图，显然当是时距离最小，为，
所以最小值为，故B错误；
对于，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，
故面积为，故C正确；对于，设表示点与点确定的直线的斜率，设该直线方程为，根据图象，
可知当，，即，则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是的最大值，则由，
得，解得或舍．则的最大值为，故D正确．故选ACD．
11.已知函数，则( )
A. 在上是增函数 B. 的图象关于轴对称
C. 的图象关于点对称 D. 不等式的解集是
【答案】BD 解：对于选项，当时，，
所以，函数在上为减函数，错；对于选项，对任意的，则，所以，的图象关于轴对称，对；对于选项，因为，故函数的图象不关于点对称，错；对于选项，由，可得，解得，可得，解得，因此，不等式的解集是，对．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中，常数项是 ．
【答案】
解：展开式的通项为，令得，
故展开式的常数项为，故答案为．
13.已知，，且，则 ．
【答案】 【解答】解：，，当时，，故，
，即，．
故答案为．
14.在四面体中，，，，，当四面体的体积最大时，四面体外接球的体积是________．
【答案】 解：，，，，，
因为要使四面体的体积最大，底面积不变，高最大时体积最大，所以必有平面，
所以外接球的球心必在线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处，
故，所以，故填．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值．求，的值；求函数在区间上的最大值．
【答案】解：函数在处取得极值，
，解得由得：，
令，解得：，
令，解得：或，
故在递减，在递增，
故的最大值是或，
而，故函数的最大值是．
16.本小题分
等比数列的各项均为正数，且，．
求数列的通项公式；设，求数列的前项和．
【答案】解：设数列的公比为，
由，得，
所以由条件可知，故．
由，得，得．
故数列的通项公式为．
，
故，
．
17.本小题分
教师节来临，学校预在今年的“教职工趣味运动会”中添加一个新的比赛项目为了解教职工对该项目的兴趣，现从全校教职工中随机抽取人进行调查，得到如下列联表．
性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
请补充完整该列联表，并判断能否在犯错误不超过的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
现按性别从这名教职工中分层抽样抽取人参加抽奖活动，奖品共份如果是女职工获奖，那么奖品价值元如果是男职工获奖，那么奖品价值元求奖品总价值的分布列及期望．
【答案】解：补充完整列联表：
性别 喜欢 不喜欢 总计
男
女
总计
零假设为：喜欢此项目与性别无关，
根据列联表中的数据，经过计算得到：
，
则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢此项目与性别有关，此推断犯错误的概率不大于，
所以能在犯错误不超过的前提条件下，认为喜欢此项目与性别有关；
由题意，抽取人中男职工为人，女职工为人，
设获奖女职员数为，则总价值，
又，故，，，，
则的分布列为：
则．
18.本小题分
如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：；
求直线和平面所成角的正弦值；
线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】因为在中，，分别为，的中点，
所以，，
所以，又为的中点，
所以．
因为平面平面，且平面，
所以平面，
平面，
所以．
取的中点，连接，所以，
由得，．
如图建立空间直角坐标系．
由题意得：，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
假设线段上存在点适合题意，
设，其中．
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以，
令，
整理得，
解得，舍去．
所以线段上存在点适合题意，且．
19.本小题分
在平面直角坐标系内，为坐标原点，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为常数．求动点的轨迹方程已知，，是动点的轨迹上的三点，且圆与直线，都相切，且，(ⅰ)求圆的半径(ⅱ)试问是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．
【答案】解：设动点，根据题意得，，
，
动点的轨迹方程为．
设，，
由得：，
圆与直线、相切，
则，，，
，．
．为定值．
