2024-2025学年度高二年级第三次学情调查
数学试卷
2025年5月
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知幂函数的图像经过点，则（ ）
A．的定义域为 B．为奇函数
C．为减函数 D．的值域为
4．在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. 8 C. D. 4
5．已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．33 B．34 C．35 D．36
8．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确
的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝．从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．
C．，相互独立 D．
11．已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期函数
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为________．
13．若函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点__________．
14．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为；再从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的这两个数之和为．则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；
计算与的相关系数；
参考数据：.
参考公式：相关系数.
16．（15分）
科学健身倡导综合性训练，但一些健身初学者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤．小王在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.4，0.3，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.3，0.5．
（1）求小王当天健身后出现运动损伤的概率，并推测他在出现运动损伤的条件下，是他进行哪项运动的可能性最大．
（2）除了可能造成运动损伤的3项运动课程外，该健身房还推出了7门不会造成运动损伤的讲座课程．为了答谢客户，小王可从这十门课程中随机抽取两门免费体验一次．记小王抽到运动课程的数量为，求随机变量的分布列和期望．
17(15分）
如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
17．（17分）
已知函数在上是单调递减函数（且），从以下三个条件中选择两个作为已知，使函数存在．并回答以下问题．
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式；
（3）设函数，若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围．
条件①函数为奇函数；②；（3）．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若有两个不同的零点，为其极值点，证明：．2024-2025学年度高二年级第三次学情调查
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A A D B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．8 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）
解：（1）由题可知，；
（2）计算得，
故；
16．（15分）
解：【小问1详解】
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
【小问2详解】
依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 006
期望.
18．（17分）
【小问1详解】
证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
小问2详解】
由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
18．（17分）
解：（1）因为在上是单调递减函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数．
因为函数的定义域为，所以，则，故一定满足②
选择①②，，即，
而，解得.
.
（2），所以，又因为为奇函数，所以．在上单调递减，所以，即，
解得，不等式的解集为．
（3）由条件可知，.
因为在上单调递减，当时，，
时，，所以，得．
19．（17分）
解：（1）的定义域为.
时，，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．因此，当时，的极大值为，无极小值．
（2），
，
当 时， 在 上为减函数，无极值．
当 时，
由 得: 在 上为增函数；
由 得: 在 上为减函数
且当 时， 取极大值为
从而 的最大值为
为满足题意，必有，即．
设 ， 则 ，
当 时， ， 所以 在 上单调递增；
当 时， ， 所以 在 上单调递减，
所以 ， 从而 ，
，
是函数 的两个不同的零点，
，
两式相减得: .
设 ， 所以要证明: ，只需要证明: .
即证明: ， 也就是证明: ，
设 ， 下面就只需证明: ，
设 ， 则 ，
在 上为增函数， 从而 ，
成立， 从而 ．
