睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二年级五月诊断测试
数 学 答 案
单项选择
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C A D B
多项选择
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
填空题
13.大于等于45的5的整数倍都符合题意 14.
解答题
15.（1）由不等式移项可得，通分得到．
即，解得，故． ······2分
当时，，则.······1分
（2）由，可得，······1分
因为，
当时，，解得，满足题意；······1分
当时，则，解得，······2分
综上，，故实数的取值范围为.······1分
（3）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集，····1分
又，，
则，解得，故实数的取值范围是．······4分
16.（1）由题意得，
由得，
所以的定义域为．······4分
（2）因为，定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数．······5分
（3）当时，．令，则．
令，，则，函数在上单调递增，，
易知，函数在上单调递增，在上单调递减．······3分
要使有两个零点，即有两个解，
那么，则，所以实数m的取值范围是．······3分
17.（1）由题意得，所以当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3．······3分
（2）由题意可知，当时，调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，，当且仅当时，等号成立．
证明：，所以，当且仅当时，等号成立．
根据题意，可设，，，用，，分别替换，，可得，当且仅当时，等号成立．用，，分别替换，，可得，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立．
（3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底面边长为，可得盒子的容积为，其中，则，当且仅当，即时，等号成立．所以当切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大，最大容积为16．
18.（1）设模型①和②的相关系数分别为.
由题意可得：，······2分
.······2分
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.······2分
（2）因为，
又由，得，
所以，即回归方程为.······2分
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.······2分
（3）净利润为，令，······2分
所以.可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，······2分
由题意得：，即，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.······3分
19.（1）因为，则，所以，令，解得，
当，单调递减，当，单调递增，······2分
又因为，
所以在区间上的最大值为2，最小值为······3分
（2）（i）令得，故的定义域为，
设是图象上任意一点，关于的对称点位，
因为在图象上，所以，
，所以，
所以关于对称，
（ii）因为，所以2是的一个零点，
要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点，
，
由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，，
若，即，此时，所以在单调递增，
由可得在没有零点，不符合题意，舍去，
若，即，，又因为，所以存在，使得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以时，，
时，，
当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意，
综上：睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二年级五月诊断测试
数 学 试 题
单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
2、已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3、已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4、四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（ ）
A． B． C． D．
6、若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
7、已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8、设.则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9、小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ）
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A．变量x与y的样本相关系数 B．
C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为
10、已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．若，则
C．，则 D．若，则的最大值为2
11、已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分。
12、命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 ★ .
13、[错题回头]某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有 ★ 人.
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
附：
14、函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为 ★ ．
四、解答题：本题共5小题,共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题共13分）【3+5+5】
已知集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16、（本小题共15分）【4+5+6】
已知函数，（，且）．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围．
17、（本小题共15分）【3+6+6】
对于基本不等式，即当，时，（当且仅当时，等号成立），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数不小于几何平均数不小于调和平均数，且当当这些数全部相等时，等号成立．
(1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值．
(2)写出当时，调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明．
(3)如右上图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
18、（本小题共17分）【6+4+7】
[错题回头]年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.608 19.5 8.04
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（精确到小数点后两位）
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费 研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润×年销售量年广告费年研发经费随机变量）.
附：①相关系数，
回归直线中；
②参考数据：
19、（本小题共17分）【5+6+6】
已知函数.
(1)当时，求在区间上的最值；
(2)记.
（i）证明：曲线为中心对称图形；
（ii）若函数有三个零点，求的取值范围.
