第一节 函数的概念及其表示
【课程标准】 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如解析法、列表法、图象法)表示函数，理解函数图象的作用；3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
教|材|回|顾
1．函数的概念
一般地，设A，B是______________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：________、________、________.
(2)如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有__________、图象法和__________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
微|点|延|伸
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
小|题|快|练
1．(人A必一P65例2改编)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－∞，－1]∪(1,3]
B．(1,3]
C．[－1,1)∪(1,2)
D．[－1,1)∪(1,3]
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
3．(人A必一P66例3改编)下列各组函数中，表示同一个函数的一组是( )
A．f(x)＝1，g(x)＝x0
B．f(x)＝，g(x)＝x
C．f(x)＝·，g(x)＝
D．f(x)＝与g(x)＝
4．设函数f(x)＝则使得f(x)≥2的自变量x的取值范围为______________．
5．已知函数f(x)＝则f(x)的值域为____________．
类型一 函数的定义域自练自悟
1.函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1,2] B．(1,3]
C．(0,1)∪(1,3] D．(0,1)∪(1,2]
2．函数f(x)＝＋的定义域为______________.
3．已知函数f(x)＝lg，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B．{x|x>2}
C．{x D．{x
4．已知函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，则f(2x)的定义域为________．
求函数定义域的类型及解题策略
求具体函数 的定义域 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可
求抽象函数 的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域
类型二 函数的解析式
【例1】 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【训练】 (1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________.
类型三 分段函数
考向 ：分段函数求值
【例2】 设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log26)＝( )
A．2 B．6
C．8 D．10
根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
考向 ：分段函数与方程
【例3】 已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
求分段函数中参数值与自变量值的策略
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
考向 ：分段函数与不等式
【例4】 设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是______________．
与分段函数有关的不等式问题的解题策略
涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式．当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.已知函数f(x)＝则f(log212)＝( )
A． B．
C．1 D．2
2．(2024·大庆二模)已知函数f(x)＝若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是( )
A．
B．∪
C．
D．
3．(多选题)(2025·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
第一节 函数的概念及其表示
必备知识·梳理
教材回顾
1．非空的实数集 任意 唯一确定
2．(1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系
3．解析法 列表法
小题快练
1．C 解析 要使函数解析式有意义，需满足即得－1≤x<1或12．B 解析 A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．故选B.
3．D 解析 对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于B，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系不同，故二者不是同一个函数；对于C，f(x)的定义域是[1，＋∞)，g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于D，g(x)＝＝|x|＝与f(x)＝的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一个函数．故选D.
4．(－∞，－1]∪(0,1] 解析 因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥2应分段求解．当x≤0时，f(x)≥2即为x2＋1≥2，解得x≤－1或x≥1，所以x≤－1.当x>0时，f(x)≥2即为－x＋3≥2，即x≤1，所以05．(0,1)∪[2，＋∞) 解析 当x≤1时，f(x)＝x2＋2，所以f(x)∈[2，＋∞)；当x>1时，f(x)＝，所以f(x)∈(0,1)．综上，f(x)的值域为(0,1)∪[2，＋∞)．
关键能力·落实
1．C 解析 f(x)＝的定义域需满足解得02．[1,4) 解析 由题意知函数f(x)＝＋要有意义，需满足解得1≤x<4，故f(x)＝＋的定义域为[1,4)．
3．C 解析 要使f(x)＝lg有意义，则>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－14. 解析 因为函数f(x＋1)的定义域为[1,2]，所以2≤x＋1≤3，即函数f(x)的定义域为[2,3]．由2≤2x≤3，解得1≤x≤，因此f(2x)的定义域为.
【例1】 解 (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)因为f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，所以解得所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x ①，所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x ②，由①②解得f(x)＝3x.
【训练】 (1)f(x)＝lg (x＞1) 解析 令＋1＝t(t＞1)，则x＝，所以f(t)＝lg(t＞1)，所以f(x)＝lg(x＞1)．
(2)x2＋2x＋1 解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，所以2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0有两个相等实根，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)－－(x≠0) 解析 因为f(x)－2f＝2x ①，以代替①中的x，得f－2f(x)＝ ②，①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，所以f(x)＝－－(x≠0)．
【例2】 B 解析 根据题意得f(－2)＝log28＝3，f(log26)＝2log26－1＝3，所以f(－2)＋f(log26)＝6.故选B.
【例3】 A 解析 若a≤1，则2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，无解；若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，即a＋1＝23，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.故选A.
【例4】 解析 由题意得，当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>满足题意；当01恒成立，即01，得x>－，即－【题组对点练】
1．B 解析 由log212＝2＋log23，且log23∈(1,2)，得f(2＋log23)＝f(1＋log23)＝f(log23)＝log23＝2－log23＝.故选B.
2．D 解析 因为f(2a－1)－1≤0 f(2a－1)≤1.①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln(2a－1)≤1 1≤a≤.②当0≤2a－1<1时，f(2a－1)＝0≤1 ≤a<1.③当2a－1<0时，f(2a－1)＝2a－1≤1 a<.综上所述，a≤.故选D.
3．BC 解析 函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC.(共40张PPT)
第一节
第二章 函数与基本初等函数
函数的概念及其表示
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
函数的定义域 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
函数的解析式
解
解
解
解
解析
解析
解析
类型三
分段函数
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
2
2
2
2
2
2
X
A
B
C
D微练(八) 函数的概念及其表示
基础过关
一、单项选择题
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0]
2．(2025·安徽联考)设f(x)＝则f(9)＝( )
A．10 B．11
C．12 D．13
3．已知函数f(x)＝若f(m)＝3，则m的值为( )
A． B．2
C．9 D．2或9
4．已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝( )
A．＋1 B．x＋
C． D．x＋1
5．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为( )
A．1 B．
C． D．
6．设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则f＝( )
A．14 B．16
C．2 D．6
7．(2025·重庆联考)已知函数f(x)满足f(ex－1)＝2x－1，f(a)＋f(b)＝0，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝1 B．a＋b＝
C．ab＝1 D．ab＝
8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C． x∈R，f(f(x))＝0
D．对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
二、多项选择题
9．下列四个函数，定义域和值域相同的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝
C．y＝ln |x| D．y＝
10．已知函数f(x)＝则( )
A．f(f())＝3
B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．若 x∈R，a>f(x)，则a≥3
11．(2025·湖南衡阳模拟)定义在D上的函数f(x)，若满足：存在常数M>0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有( )
A．y＝2sin
B．y＝2x
C．y＝
D．y＝x－[x]([x]表示不大于x的最大整数)
三、填空题
12．(2025·河南南阳模拟)函数f(x＋1)的定义域为[－2,1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为________．
13．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
14．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是________．
素养提升
15． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
16．(2024·辽宁二模)函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)－2f(x)＝0，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x－x2，则＝________.
微练(八) 函数的概念及其表示
1．D 解析 由得解得x≤0，故函数的定义域为(－∞，0]．故选D.
2．C 解析 f(9)＝f(f(9＋7))＝f(f(16))＝f(16－2)＝f(14)＝14－2＝12.故选C.
3．C 解析 因为函数f(x)＝f(m)＝3，所以或解得m＝9.故选C.
4．A 解析 由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，由解得f(x)＝＋1，故选A.
5．C 解析 令x3＝10，则x＝10，所以f(10)＝lg 10＝.故选C.
6．A 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，则解得m>0.若m≥1，则m＋1≥2>1，可得2(m－1)＝2m－2≠2m，不合题意；若01，可得＝2m，解得m＝.综上所述，m＝.所以f＝f(8)＝2×7＝14.故选A.
7．D 解析 设t＝ex－1，则t>0，x＝ln t＋1，所以f(t)＝2ln t＋1，t>0.由f(a)＋f(b)＝0，得2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，即ln(ab)＝－1，所以ab＝.故选D.
8．D 解析 由题意知f(x)的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，所以当f(x)＝0时，f(f(x))＝f(0)＝1，当f(x)＝1时，f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x)＝f(x＋T)＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．故选D.
9．ABD 解析 A项，函数的定义域和值域都是R；B项，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；C项，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；D项，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域和值域都为(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选ABD.
10．BCD 解析 对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为 x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确．故选BCD.
11．AD 解析 由正弦函数的性质可知，函数y＝2sin的值域为[－2,2]，是有界函数，A正确；由指数函数的性质可知，函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，不是有界函数，B错误；y＝＝x＋，由对勾函数的性质可知，函数值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，不是有界函数，C错误；函数y＝x－[x]的值域为[0,1)，是有界函数，D正确．故选AD.
12. 解析 函数f(x＋1)的定义域为[－2,1]，则x＋1∈[－1,2]，即f(x)的定义域为[－1,2]，所以g(x)＝的自变量x需满足解得－13．2 023 解析 由题意，定义域为R，在函数f(x)中，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝1，令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋1，f(2 023)＝f(2 022)＋1＝f(2 021)＋2＝f(2 020)＋3＝…＝f(1)＋2 022＝2 023.
14．1或－3 [－，－1] 解析 ①当a>0时，令2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，令a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．综上，a的值为1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5，得－3≤t≤1.由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
15．B 解析 当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)＝若M(n)<1，则当－116. 解析 f(x＋1)－2f(x)＝0，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x－x2，所以f＝×－3＝，f＝f＝2f＝，f＝f＝2f＝1，f＝f＝2f＝2，f＝f＝2f＝4，f＝f＝2f＝8，f＝f＝2f＝16，f＝f＝2f＝32，所以＝＋＋1＋2＋4＋8＋16＋32＝.(共23张PPT)
微练(八)
函数的概念及其表示
基础过关
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素养提升
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