第1课时 函数的单调性与最值
【课程标准】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
教|材|回|顾
1．函数的单调性
(1)增函数、减函数
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1
都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数
图象描述
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
[微点清] ①求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域；②一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；③函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 x∈D，都有______； x0∈D，使得______ x∈D，都有______； x0∈D，使得______
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
微|点|延|伸
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
小|题|快|练
1．(人A必一P77“思考”改编)下列函数是增函数的为( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
2．函数y＝x＋的单调递减区间为( )
A．(0,1] B．[－1,1]
C．[－1,0)∪(0,1] D．[－1,0)，(0,1]
3．对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________．
5．函数y＝log(x2＋2x－3)的单调递增区间是________．
类型一 确定函数的单调性
【例1】 (1)(多选题)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－ B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法．
根据复合函数的单调性：同增异减．
【训练1】 (1)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A． B．
C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)
(2)已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数．
类型二 函数单调性的应用
考向 ：比较大小或解不等式
【例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝f(1－x)，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)(2024·陕西一模)已知函数f(x)在定义域R上单调递减，且f(x)＋f(－x)＝0.若f(1)＝－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是( )
A．[1,3] B．[－2,1]
C．[0,4] D．[－1,2]
(1)利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单调区间上．
(2)根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
考向 ：求参数取值范围
【例3】 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[－1,1] D．[0，＋∞)
利用单调性求参数的取值(范围)，可以根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))，也可以先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意分界点的取值．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.已知函数f(x)＝ex＋e－x，则( )
A．f(－)B．f(e)C．f()D．f(－)2．函数f(x)＝ln(－x2＋4x)在(a，a＋1)上单调递增，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．[0,2]
C．(0,2) D．[0,1]
3．(2025·福建福州质检)若函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，4]
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
类型三 函数的最值
【例4】 (1)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为( )
A． B．[0,1]
C． D．
(2)函数y＝x－的最大值是________．
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
【训练2】 函数f(x)＝在区间[1,2]上的最小值为________．
第1课时 函数的单调性与最值
必备知识·梳理
教材回顾
2．f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M
小题快练
1．D 解析 对于A，f(x)＝|x|在R上不具有单调性，不合题意，舍去．对于B，f(x)＝x为R上的减函数，不合题意，舍去．对于C，f(x)＝x2在R上不具有单调性，不合题意，舍去．对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意，故选D.
2．D 解析 函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1,0)，(0,1]．故选D.
3．C 解析
因为f(x)＝函数图象如图所示，由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值f(x)max＝f(1)＝1.故选C.
4. 2 解析 由于f(x)＝在[2,6]上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(6)＝.
5．(－∞，－3) 解析 由x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，即函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令t＝x2＋2x－3，则y＝logt，因为y＝logt为减函数，t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y＝log(x2＋2x－3)的单调递增区间为(－∞，－3)．
关键能力·落实
【例1】 (1)ACD 解析 因为y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；因为y′＝2－2sin x≥0，所以y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD.
(2)解 解法一(定义法)：设－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)解法二(导数法)：f′(x)＝＝＝－.故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
【训练1】 (1)B 解析 g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为.故选B.
(2)证明 设x1，x2∈R，且x10，即f(x2－x1)>1，所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)【例2】 (1)D 解析 因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<f>f(e)，所以b>a>c.故选D.
(2)A 解析 因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.由|f(x－2)|≤1，得－1≤f(x－2)≤1，所以f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，得1≤x≤3.故选A.
【例3】 B 解析 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B.
【题组对点练】
1．D 解析 因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当x>0时，f′(x)＝ex－>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为<2．D 解析 由－x2＋4x>0，得03．D 解析 函数y＝3x在(－∞，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1,2)上单调递减，所以y＝|2x－a|在区间(1,2)上单调递减，所以≥2，解得a∈[4，＋∞)．故选D.
【例4】 (1)C 解析 由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减，可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增，又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为.故选C.
(2) 解析 因为定义域为，而y＝x－在上为增函数．所以当x＝时，ymax＝.
【训练2】 － 解析 f(x)＝－2x－1.由于y＝，y＝－2x－1在[1,2]上均单调递减，故f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－2＝－.(共38张PPT)
第1课时
第二章 函数与基本初等函数
函数的单调性与最值
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
确定函数的单调性
解析
解
解
解析
证明
类型二
函数单调性的应用
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
函数的最值
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y个
y=f(x)
1
I
I
I
f(x)
f(x2)
0
X1
X2
X
y
八)=f(x)
I
I
I
1
f(x)
I
I
0
X2
X
y
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2
1
-3-2-1
0
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3
4
X
1
2
y
4
3
2
1
1
-3-2
2
3
4
X
-1
2微练(九) 函数的单调性与最值
基础过关
一、单项选择题
1．下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝2－x
C．f(x)＝ln|x| D．f(x)＝
2．函数f(x)＝|x|(2－x)的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[－1,0]
C．[－1,1] D．[0,2]
3．函数f(x)＝log2(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为( )
A．1 B．4
C．4e D．5
5．(2025·云南、广西、贵州联考)若函数f(x)的定义域为R，其图象关于y轴对称，在[0，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(－∞，－3)
B．(3，＋∞)
C．(－3,3)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
二、多项选择题
7．下列四个函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝|x＋2| D．f(x)＝3－x
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定( )
A．单调递减 B．单调递增
C．有最小值 D．有最大值
三、填空题
9．函数y＝log|x－3|的单调递减区间是________．
10．已知函数y＝(x∈(m，n])的最小值为0，则m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2) x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性．
13．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax) 素养提升
14．(多选题)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
15．(2025·湖南邵阳联考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b16．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f＝f(x)－f(y)，当x>1时，f(x)<0.
(1)判断f(x)的单调性，并证明；
(2)若f＝1，解不等式f(x)＋f(5－x)≥－2.
微练(九) 函数的单调性与最值
1．C 解析 f(x)＝－x＝－在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝2－x＝x在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＝ln|x|，当x>0时，f(x)＝ln x，在(0，＋∞)上单调递增；f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．故选C.
2．A 解析 当x≥0时，f(x)＝x(2－x)＝－x2＋2x，故f(x)在[0,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当x<0时，f(x)＝－x(2－x)＝x2－2x，此时f(x)单调递减．综上，f(x)＝|x|(2－x)的单调递增区间是[0,1]．故选A.
3．D 解析 由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝log2t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8(x>4或x<－2)的单调递增区间．因为函数t＝x2－2x－8(x>4或x<－2)的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
4．B 解析 当x≤1时，f(x)＝4ex－1在(－∞，1]上单调递增，此时，f(x)max＝f(1)＝4，当x>1时，f(x)＝－x＋1在(1，＋∞)上单调递减，此时，f(x)5．C 解析 因为f(－3)＝f(3)＝0且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)<0在[0，＋∞)范围内的解集为[0,3)．因为函数f(x)在定义域R上的图象关于y轴对称，所以f(x)<0在(－∞，0)内的解集为(－3,0)，所以不等式f(x)<0的解集为(－3,3)．故选C.
6．A 解析 不妨令x1－1 f(x1)－f(x2)<－(x1－x2) f(x1)＋x17．AC 解析 对于A，由复合函数单调性得f(x)＝－在(1，＋∞)上为增函数，A符合题意；对于B，f(x)＝x2－3x图象的对称轴为直线x＝，所以该函数在(1，＋∞)上是先减后增，B不符合题意；对于C，当x>1时，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函数，C符合题意；对于D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是减函数，D不符合题意．故选AC.
8．BC 解析 因为函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，所以函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，所以a<1，g(x)＝＝x＋－2a(x≥1)，任取1≤x11>0，x1x2－a>0，则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)9．(3，＋∞) 解析 令u(x)＝|x－3|，则在(－∞，3)上u(x)单调递减，在(3，＋∞)上u(x)单调递增．又因为0<<1，所以y＝logx是减函数，所以在区间(3，＋∞)上，函数y＝log|x－3|单调递减．
10．[－1,2) 解析 因为函数y＝＝＝－1，所以在(－1，＋∞)上，函数单调递减．又当x＝2时，y＝0，所以－1≤m<2.
11．0 2－3 解析 因为f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f(f(－3))＝f(1)＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时取等号，此时f(x)min＝2－3<0；当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时取等号，此时f(x)min＝0.综上，函数f(x)的最小值为2－3.
12．解 (1)f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；当02时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减．
13．解 (1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
因为f(x)的定义域为R，所以任取x1，x2∈R且x10,2x2＋1>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝1.所以f(ax)14．BC 解析 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．故选BC.
15．D 解析 ＝＝，设f(x)＝，0，所以fg(1)＝0，所以a>c.综上，c16．解 (1)f(x)为(0，＋∞)上的减函数，证明如下：设01，因为当x>1时f(x)<0，所以f＝f(x2)－f(x1)<0，即0(2)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)－f(1)＝0，所以f(1)＝0，令x＝1，y＝2，得f＝f(1)－f(2)＝1，所以f(2)＝－1，则f(x)＋f(5－x)≥－2 f(x)＋f(5－x)≥2f(2)，即f(x)－f(2)≥f(2)－f(5－x)，由于f＝f(x)－f(y)，则f≥f，因为f(x)为(0，＋∞)上的减函数，所以解得0微练(九)
函数的单调性与最值
基础过关
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