第2课时 函数的奇偶性与周期性
【课程标准】 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
教|材|回|顾
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．
微|点|延|伸
1．奇(偶)函数定义的等价形式
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数．
2．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
3．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
小|题|快|练
1．(多选题)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝ln|x| D．y＝2－x
2．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)＝( )
A．－7 B．－5
C．5 D．7
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)＝( )
A． B．
C．2 D．1
4．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，则函数f(x)的解析式为________．
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．
类型一 函数奇偶性的判断 自练自悟
1.(多选题)下列函数是奇函数的是( )
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x|
2．(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
3．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数
B．f(x)－g(x)为R上的偶函数
C．为R上的偶函数
D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数
4．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
1．定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
类型二 函数奇偶性的应用
考向 ：利用奇偶性求解析式
【例1】 已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．
考向 ：求参数值
【例2】 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
考向 ：解不等式
【例3】 (2025·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为( )
A．(1,3)
B．(3，＋∞)
C．(－3，－1)∪(3，＋∞)
D．(0,1)∪(3，＋∞)
利用函数的奇偶性可以解决以下问题
1．求函数值：将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值．
2．求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
3．求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.(2025·东北联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋，若f(3)＝－8，则a＝( )
A．－3 B．3
C． D．－
2．若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．±1
3．若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0且f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)>0的解集为________.
类型三 函数的周期性
【例4】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f的值等于( )
A． B．
C． D．－
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________.
1．求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【训练】 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________．
第2课时 函数的奇偶性与周期性
必备知识·梳理
教材回顾
1．f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2．(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小 最小正数
小题快练
1．BC 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，所以A为奇函数；B，C为偶函数；D既不是奇函数，也不是偶函数．故选BC.
2．C 解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.故选C.
3．B 解析 由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，所以f(2 024.5)＝f＝f＝＋1＝.故选B.
4．f(x)＝ 解析 因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝b＝0，所以f(x)＝，又f＝，所以＝，得a＝1，所以函数f(x)＝，经检验，符合题意．故f(x)＝.
5．(－2,0)∪(0,2) 解析 根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
关键能力·落实
1．AC 解析 对于A，函数的定义域为{x，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．故选AC.
2．B 解析 对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B.
3．D 解析 因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误；对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故正确．故选D.
4．奇 解析 由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]．故f(x)＋2为奇函数．
【例1】 f(x)＝ 解析 因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0.当x<0时，－x>0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.所以f(x)＝
【例2】 B 解析 因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为{x，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln－1＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.
【例3】 D 解析 偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0,1)∪(3，＋∞)．当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1
0的解集为(0,1)∪(3，＋∞)，故选D.
【题组对点练】
1．B 解析 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)＝－f(－3)，又f(3)＝－8，所以f(－3)＝8，又当x<0时，f(x)＝x2＋，所以f(－3)＝(－3)2＋＝8，解得a＝3，故选B.
2．C 解析 解法一：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－a2x－1，－f(x)＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C.
解法二： 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－a2－1＝－(1＋a)，解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C.
3．(5，＋∞) 解析 因为f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)的图象的对称中心为(0,0)．又因为f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移2个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称，因为f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减，所以f(3－x)>0＝f(－2)，即3－x<－2，解得x>5，所以解集为(5，＋∞)．
【例4】 (1)D 解析 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又因为f(2－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－.故选D.
(2)340 解析 因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340.
【训练】 f(x)＝log2(3－x) 解析 令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝f(x－2)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．(共39张PPT)
第二节
第二章 函数与基本初等函数
函数的基本性质
第2课时
第二章 函数与基本初等函数
函数的奇偶性与周期性
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
函数奇偶性的判断 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
函数奇偶性的应用
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
函数的周期性
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y
2
1
-3-2-1
0
1
2
3
X
-1
-2
y
2
1
-3-2-1
0
1
2
3
X
-2微练(十) 函数的奇偶性与周期性
基础过关一、单项选择题
1．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A．y＝ B．y＝－x|x|
C．y＝ex－e－x D．y＝－ln x
2．若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则( )
A．f(x＋1)为偶函数 B．f(x－1)为偶函数
C．f(x＋1)为奇函数 D．f(x－1)为奇函数
3．(2025·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝( )
A．4 B．－2
C．0 D．2
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f＝( )
A． B．2
C． D．8
5．(2025·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是( )
A．{x|x＞1}
B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|x＜－1或x＞1}
D．{x|1＜x＜0或x＞1}
6．已知函数f(x)＝2－|x|＋，则使得不等式f(2m)A．
B．
C．∪(1，＋∞)
D．∪(1，＋∞)
二、多项选择题
7．(2025·长沙适应性考试)下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝x3－x2
C．y＝tan 2x D．y＝log2
8．f(x)是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的一个周期为4
B．f(2 024)＝1
C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x)
D．函数f(x)在[0,2 024]内有1 010个零点
三、填空题
9．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.
10．(2025·甘肃诊断考试)已知f(x)＝＋m(a>1)是奇函数，则m＝________.
11．已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex，则f，f，f从小到大的排列是______________．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；
(3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和．
素养提升
14．(2025·广州综合测试)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝sin(tan x) B．f(x)＝tan(sin x)
C．f(x)＝cos(tan x) D．f(x)＝tan(cos x)
15．(多选题)(2025·乌鲁木齐质检)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则( )
A．函数f(x)在R上单调递增
B．函数f(x)g(x)是奇函数
C．函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称
D．g(2x)＝[f(x)]2＋[g(x)]2
16．(2025·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N＝________.
微练(十) 函数的奇偶性与周期性
1．B 解析 对于A，函数y＝为奇函数，在定义域上不单调，故A错误；对于B，函数y＝－x|x|为奇函数，当x>0时，y＝－x|x|＝－x2，当x≤0时，y＝－x|x|＝x2，故函数y＝－x|x|在定义域内为减函数，故B正确；对于C，由于函数y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故y＝ex－e－x在定义域内为增函数，故C错误；对于D，函数y＝－ln x为非奇非偶函数，故D错误．故选B.
2．C 解析 因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即f(x＋1)是奇函数．故选C.
3．A 解析 因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数，所以有h(－1)＋h(1)＝0，即－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，又f(3)＝－2，所以f(－3)＝4.故选A.
4．A 解析 因为f(x＋2)＝f(x)，所以f＝f＝f，因为∈[0,1]，所以f＝＝＝.故选A.
5．C 解析 因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，又因为f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的图象如图所示．由图象可知，若f(x)＞0，则x＜－1或x＞1.故选C.
6．C 解析 因为f(－x)＝2－|x|＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，又因为当x>0时，y＝2－x和y＝单调递减，所以f(x)＝2－|x|＋在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m)0，解得m∈∪(1，＋∞)．故选C.
7．ACD 解析 对于A，令f(x)＝ex－e－x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以函数y＝ex－e－x是奇函数，所以A正确；对于B，令g(x)＝x3－x2，则g(1)＝0，g(－1)＝－2，g(－1)≠－g(1)，所以函数y＝x3－x2不是奇函数，所以B错误；对于C，令h(x)＝tan 2x，则h(x)的定义域为，h(x)的定义域关于原点对称，又h(－x)＝tan(－2x)＝－tan 2x＝－h(x)，所以函数y＝tan 2x是奇函数，所以C正确；对于D，令m(x)＝log2，则m(x)的定义域为(－1,1)，又m(－x)＝log2＝log2－1＝－log2＝－m(x)，所以函数y＝log2是奇函数，所以D正确．综上，选ACD.
8．ABC 解析 因为f(x)是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，故A正确；f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正确；当x∈[2,3]时，x－2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝f(2 023)＝0，于是函数f(x)在[0，2 024]内有1 012个零点，故D错误．故选ABC.
9．cos 2x(答案不唯一) 解析 y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求．
10．－ 解析 解法一：由函数f(x)＝＋m，可得f(－x)＝＋m＝－＋m.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋m－＋m＝0，解得m＝－.
解法二：因为f(x)是奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＋m＋＋m＝0，解得m＝－.
11．f12．解 (1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2) 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以113．解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；若1(3)作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图，则函数的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2；若－114．D 解析 根据题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数，且定义域为R.对于A、C，函数f(x)的定义域为，不满足题意，故排除A、C；对于B，f(－x)＝tan[sin(－x)]＝tan(－sin x)＝－tan(sin x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，不满足题意，故排除B.故选D.
15．ABD 解析 对于A，因为y＝ex在R上单调递增，y＝－e－x在R上单调递增，所以f(x)＝在R上单调递增，故A正确；对于B，因为f(x)g(x)＝·＝，所以f(－x)g(－x)＝＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)为奇函数，图象关于原点对称，而g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，[f(x)]2＋[g(x)]2＝2＋2＝＋＝＝g(2x)，故D正确．综上，选ABD.
16．2 解析 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，x∈[－2,2]，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2.(共29张PPT)
微练(十)
函数的奇偶性与周期性
基础过关
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