第3课时 函数的对称性
【课程标准】 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论；2.会利用对称公式解决问题.
教|材|回|顾
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数图象关于________对称，偶函数图象关于________对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为________．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称．
2．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于________对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于________对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于________对称．
微|点|延|伸
1．函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a＋x)＝f(－x) f(2a－x)＝f(x)．
2．函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称 f(a－x)＝－f(a＋x) f(2a－x)＝－f(x) f(2a＋x)＝－f(－x)．
3．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x)．
4．函数y＝f(x)的图象关于点对称 f(a＋x)＝－f(b－x)．
小|题|快|练
1．函数f(x)＝的图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
2．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
3．若f(x＋2)在R上是偶函数，且f(－1)＝3，则f(5)＝________.
4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________．
5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2，则f(2 027)＝________.
类型一 轴对称问题
【例1】 (1)若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________．
(2)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
判断函数对称轴的方法
1．利用偶函数的性质，结合图象的平移寻找对称轴．
2．利用轴对称的一般性结论：函数y＝f(x)关于直线x＝a对称 f(2a－x)＝f(x)．
【训练1】 (1)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝________.
(2)(2025·昆明一模)已知函数f(x)＝ex＋e2－x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为增函数
B．f(x)有两个零点
C．f(x)的最大值为2e
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
类型二 中心对称问题
【例2】 (1)若y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心为________．
(2)(2024·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
记住中心对称的一般性结论
y＝f(x)关于点(a，b)对称 f(2a－x)＋f(x)＝2b，但注意结合图象平移会使题更易解决．
【训练2】 (多选题)下列说法中，正确的是( )
A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称
B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称
C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)
D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2
类型三 双对称问题
【例3】 (1)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝1＋x，则f(8.6)＝________.
(2)已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，当x∈(2,4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，若＝f(－1)，则实数m的值是( )
A． B．
C．－ D．－
1．若f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则T＝2|a－b|(a≠b)．
2．若f(x)的图象关于点(a,0)，(b,0)对称，则T＝2|a－b|(a≠b)．
3．若f(x)的图象关于直线x＝a，点(b,0)对称，则T＝4|a－b|(a≠b)．
【训练3】 (2025·洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
类型四 两个函数的对称关系
【例4】 (1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
(2)与曲线f(x)＝ex关于直线x＝1对称的曲线对应的函数是________．
1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点对称．
【训练4】 已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________.
第3课时 函数的对称性
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)原点 y轴 (2)x＝a (a,0) (3)(a,0)
2．(1)y轴 (2)x轴 (3)原点
小题快练
1．B 解析 因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称．故选B.
2．A 解析 因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)3．3 解析 由已知得f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(5)＝f(－1)＝3.
4．(－1,2) 解析 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．
5．1 解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2 027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝f(1)＝1.
关键能力·落实
【例1】 (1)x＝1 解析 因为f(x＋1)为偶函数，所以函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度而得到，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
(2)解 假设存在a，b, 使得曲线y＝f关于直线x＝b对称．令g(x)＝f＝(x＋a)ln＝(x＋a)ln，因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln＝(x－2b－a)ln，于是得当a＝，b＝－时，g(x)＝ln，g(－1－x)＝ln＝ln＝ln＝ln＝g(x)，所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－.
【训练1】 (1)1 解析 因为f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，又f(x＋2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)＝1，所以f(2 025)＝1.
(2)D 解析 函数f(x)＝ex＋e2－x＝ex＋，令t＝ex(t>0)，g(t)＝t＋(t>0)，类比对勾函数y＝x＋(k>0)的图象，作出g(t)的大致图象，如图所示，则g(t)在(0，＋∞)上先减后增，又y＝ex单调递增，所以函数f(x)先减后增，A选项错误．函数f(x)＝ex＋e2－x>0，所以f(x)没有零点，B选项错误．x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)没有最大值，C选项错误．由于f(2－x)＝e2－x＋e2－(2－x)＝e2－x＋ex＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，故选D.
【例2】 (1)(－2,0) 解析 y＝f(x)的图象是由y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位得到的，而y＝f(x－2)的图象的对称中心为(0,0)，所以y＝f(x)的图象的对称中心为(－2,0)．
(2)D 解析 解法一：由f(2－x)＋f(x)＝－2知f(x)关于(1，－1)对称，将y＝f(x)向左平移1个单位，向上平移1个单位得到y＝f(x＋1)＋1关于原点对称，所以y＝f(x＋1)＋1是奇函数，故选D.
解法二：函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，可得f(1－x)＋f(1＋x)＝－2，即f(1－x)＋1＋f(1＋x)＋1＝0，即f(－x＋1)＋1＝－[f(x＋1)＋1]，所以函数y＝f(x＋1)＋1为奇函数．故选D.
【训练2】 ABC 解析 对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，又y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得所以b＋c＝4，D不正确．故选ABC.
【例3】 (1)0.4 解析 由已知得f(x)的图象关于x＝0和x＝1对称，故f(x)的周期为2，所以f(8.6)＝f(0.6)＝f(－0.6)＝0.4.
(2)C 解析 由已知f(x)关于(0,0)与(2,0)对称，所以f(x)是周期为2|2－0|＝4的函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝－log(x－1)＋m，则f(3)＝m＋1，则f(2 025)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－m－1，所以＝m＋1，解得m＝－.故选C.
【训练3】 D 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)的图象关于(0,0)对称，又f为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)是以4＝6为周期的周期函数．对于f＝f，令x＝－，得f(2)＝f(1)＝2，f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0，f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2，所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4.故选D.
【例4】 (1)D 解析 解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)的图象关于直线t＝0对称．即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D.
解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象向右平移一个单位长度而得到，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D.
(2)y＝e2－x 解析 与曲线f(x)＝ex关于直线x＝1对称的曲线对应的函数是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
【训练4】 g(x)＝－ln(x－1) 解析 解法一：设P(x，y)为函数y＝g(x)图象上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)的图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)．所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．
解法二：f(x)＝ln(1－x)向左平移一个单位长度得y＝ln(－x)，其关于原点对称的函数为y＝－ln x，再向右平移一个单位长度得y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．
解法三：y＝f(x)关于点(1,0)对称的函数g(x)＝－f(2－x)＝－ln(x－1)．(共38张PPT)
第3课时
第二章 函数与基本初等函数
函数的对称性
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
轴对称问题
解析
解
解析
解析
解析
类型二
中心对称问题
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
双对称问题
解析
解析
解析
类型四
两个函数的对称关系
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
12
10
8
6
4
2
O
123456789101112微练(十一) 函数的对称性
基础过关
一、单项选择题
1．函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
2．若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B．函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称
C．在区间(2,3)上，f(x)单调递减
D．f>f
3．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(－1)4．已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象的一个对称中心是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C． D．
5．定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(x＋10)为偶函数，且f(5－x)＝f(5＋x)，则f(x)一定( )
A．是偶函数，也是周期函数
B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数
D．是奇函数，但不是周期函数
6．已知f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝－3x2＋2，则f＝( )
A．－ B．
C．－ D．
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
8．已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
二、多项选择题
9．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)为奇函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
10．(2025·长沙四校联考)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是( )
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
11．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是( )
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点(π，0)对称
三、填空题
12．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.
13．(2025·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．
14．写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________.
素养提升
15．已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有6个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则(xi＋yi)＝________.
16．已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.
(1)判断并证明函数f(x)的对称性；
(2)求f(x)的单调区间．
微练(十一) 函数的对称性
1．B 解析 因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．故选B.
2．C 解析 f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称；因为f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，故A，B错误；根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1轴对称，关于点(2,0)中心对称，则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确；又因为f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f＝f3．D 解析 已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则令g(x)＝f(x＋1)＝－(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝－x2＋(b－2)x＋c＋b－1是偶函数，g(－x)＝g(x)，所以b＝2，所以f(x)＝－x2＋2x＋c，其对称轴为x＝1，函数图象为抛物线开口朝下，函数f(x)＝－x2＋2x＋c，在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是：f(－1)4．C 解析 f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位长度得到的，故其图象关于点成中心对称．故选C.
5．A 解析 易知直线x＝5和x＝10是f(x)的图象的两条对称轴，所以10是f(x)的一个周期，则直线x＝0也是f(x)的图象的对称轴，所以f(x)是偶函数．故选A.
6．B 解析 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4(2－1)＝4为周期的周期函数．又当x∈[1,2]时，f(x)＝－3x2＋2，所以f＝f＝f＝－f＝－f＝.故选B.
7．C 解析 解法一：因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(x)＋f(2－x)＝0，即x3＋ax2＋x＋b＋(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得故选C.
解法二：由题意可得，所以故选C.
8．A 解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A.
9．ABD 解析 因为f(x)＝2x－1＋21－x，所以f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C 正确，A、D错误；因为f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故B错误．故选ABD.
10．ABC 解析 因为f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，则f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＋2替换x，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC.
11．BCD 解析 因为f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A错误，B正确．因为f＝cos x＋，f＝cos x＋，所以f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确．又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋＝sin x＋，f(－x)＝－sin x－，所以f(x＋2π)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确．故选BCD.
12．2 解析 因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
13．{x 解析 因为y＝f(x＋3)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称．因为当x≥3时，f(x)＝log2x，所以f(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，所以(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，解得x<－3或x>.
14．cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b等) 解析 因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，故可取函数f(x)＝cos πx.
15．6 解析 因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0,1)对称，所以x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝6.
16．解 (1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．
证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．(共27张PPT)
微练(十一)
函数的对称性
基础过关
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素养提升
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解
