第4课时 函数性质的综合应用
类型一 函数单调性与奇偶性的应用
【例1】 若函数f(x)＝a－为奇函数，则关于x的不等式f(x2)＋f(2x－3)>a的解集为________．
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．
(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1
x2)求解．
【训练1】 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b类型二 函数奇偶性与周期性的应用
【例2】 (1)已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2 025)＝( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
(2)(多选题)(2025·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)＝f(x－16)
B．f(11)＝0
C．f(2 024)＝f(0)
D．f(2 023)＝f(1)
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【训练2】 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
类型三 函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例3】 已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①f(x)的周期为2；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0,1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f，f(4)，f的大小关系为( )
A．f>f(4)>f
B．f(4)>f>f
C．f>f(4)>f
D．f>f>f(4)
利用奇偶性及其周期性将自变量值化为同一单调区间，然后利用单调性比较大小．
【训练3】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则( )
A．f(6)B．f(6)C．f(－7)D．f
1．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)·sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为( )
2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B． －1 C．1 D． 2
3．(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
4．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
原函数与导函数的对称性、周期性的关系
若f(x)是定义在R上的连续且可导函数，则有以下结论：
一、导函数的奇偶性与周期性
1．若f(x)关于x＝a对称，则f′(x)关于点(a,0)对称．
特殊情况：偶函数的导函数为奇函数．
[证明] 若f(x)关于x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，f′(x)＝－f′(2a－x)，即f′(x)＋f′(2a－x)＝0，所以f′(x)关于(a,0)对称，若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)，即f′(x)＋f′(－x)＝0，所以f′(x)是奇函数．
2．若f(x)关于点(a，b)对称，则f′(x)关于直线x＝a对称．
特殊情况：奇函数的导函数为偶函数(证明略)．
3．若f(x)是周期为T的函数，则f′(x)也是周期为T的函数．
[证明] 若f(x)是关于T的周期函数，则f(x)＝f(x＋T)，所以f′(x)＝f′(x＋T)，所以f′(x)是周期为T的函数．
二、原函数的奇偶性与周期性
1．若f′(x)关于直线x＝a对称，则f(x)关于点(a，f(a))对称．
特殊情况：f′(x)为偶函数，且f(x)过原点，则f(x)为奇函数．
[证明] 若f′(x)关于直线x＝a对称，则f′(x)＝f′(2a－x)，则f(x)＋f(2a－x)＝c(c为常数)，令x＝a，则c＝2f(a)，即f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)，所以f(x)关于点(a，f(a))对称．若f′(x)是偶函数，则f′(x)＝f′(－x)，得f(x)＋f(－x)＝c(c为常数)，令x＝0，得c＝2f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
2．若f′(x)关于点(a，b)对称：
若b＝0，则f(x)关于直线x＝a对称；
若b≠0，则f(x)不关于直线x＝a对称．
特殊情况：奇函数的原函数为偶函数(证明略)．
3．若f′(x)是周期函数，f(x)不一定是周期函数(证明略)．
【典例】 (多选题)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
【应用体验】
1．(多选题)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的导函数，则( )
A．f(2 027)＝2 B．f′(x)的周期是4
C．f′(x)是偶函数 D．f′(1)＝1
2．(多选题)已知奇函数f(x)在R上单调递增，f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)，若f(2x)＝2f(x)g(x)，则( )
A．g(x)的图象关于直线x＝0对称
B．g(2x)＝g2(x)＋f2(x)
C．g(0)＝0或g(0)＝1
D．g2(x)－f2(x)＝1
第4课时 函数性质的综合应用
关键能力·落实
【例1】 (－3,1) 解析 由f(－x)＝－f(x)，得a＝0，即f(x)＝－＝当x≥0时，f(x)＝－1＋在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，故f(x)在R上是减函数．由f(x)为奇函数，则不等式f(x2)＋f(2x－3)>0可化为f(x2)>f(3－2x)，所以x2<3－2x，解得－3【训练1】 C 解析 由题意，知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log2 5.1>2>20.8>0，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，则b【例2】 (1)A 解析 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2 025)＝f(－3＋507×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2.故选A.
(2)ABC 解析 因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(1＋2x)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)．因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(－x－2)＝－f(x)＝－f(2－x)，即f(x－2)＝－f(2＋x)，则f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是8.则f(x)＝f(x－16)成立，故A正确；令x＝0，由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－1)＝－f(－1)，得f(－1)＝0，f(3)＝0，则f(11)＝f(3)＝0，故B正确；f(2 024)＝f(8×253＋0)＝f(0)成立，故C正确；f(2 023)＝f(8×253－1)＝f(－1)＝f(3)成立，故D错误．故选ABC.
【训练2】 D 解析 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)关于(1,0)中心对称，所以f(1)＝0，因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得解得因此f＝f＝－f＝－＝.故选D.
【例3】 C 解析 因为f(x－2)为奇函数，f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数，因为当x∈[0,1)时，>0，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，所以f(x)在(－1,1)上单调递增，因为f＝f＝f，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f＝f＝f，f>f(0)>f，即f>f(4)>f.故选C.
【训练3】 B 解析 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f＝f＝－f＝f，f(－7)＝f(1)，又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，所以f(0)高考真题·重温
1．B 解析 (排除法)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin＝－1＋－>0，排除D.故选B.
2．D 解析 由题意可得f(x)的定义域为{x|x≠0}且a≠0.因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D.
3．A 解析 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x) ①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1) ②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.所以(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A.
4．B 解析 因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)．又因为f(2x＋1)为奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，所以f(1)＝－f(1)，可得f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故B正确．
素养进级·提能力
【典例】 BC 解 设函数h(x)＝f，则h(x)为偶函数，从而h(－x)＝h(x)，于是f＝f，即f＝f，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，因此f(－1)＝f(4)，故C正确．由函数f(x)的图象关于直线x＝对称，得g(x)的图象关于点对称，则g＝0，由g(2＋x)是偶函数，得g(x)的图象关于x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，故B正确．由g(x)的周期T＝2，且关于点对称，所以g(－1)＝g(1)，g(1)＝－g(2)，所以g(－1)＝－g(2)，故D错误．取特殊函数f(x)＝1(x∈R)满足已知条件，所以A不正确．故选BC.
应用体验
1．BC 解析 因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，则函数f′(x)是偶函数，C正确．又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，所以函数f′(x)是以4为周期的周期函数，B正确．f(2 027)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，A错误．由f(x＋2)＝f(－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(1)＝0，D错误．故选BC.
2．ABD 解析 对于A，由f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，f(x)＋f(－x)＝0，则f′(x)－f′(－x)＝0，所以g(x)－g(－x)＝0，即g(x)为偶函数，因此关于直线x＝0对称，故A正确；对于B，由f(2x)＝2f(x)g(x)，则两边同时求导得2f′(2x)＝2f′(x)g(x)＋2f(x)g′(x)，即g(2x)＝g2(x)＋f2(x)，故B正确；由g(x)f(x)－f(x)g(x)＝0，则2g(x)g′(x)－2f(x)f′(x)＝0，即[g2(x)]′－[f2(x)]′＝0，即[g2(x)－f2(x)]′＝0，则g2(x)－f2(x)＝C(C为常数)，设h(x)＝g2(x)－f2(x)＝C(C为常数)，对于C，由g(2x)＝g2(x)＋f2(x)，则g(0)＝g2(0)＋f2(0)，即g(0)[g(0)－1]＝0，解得g(0)＝0或g(0)＝1，当g(0)＝0，则h(0)＝g2(0)－f2(0)＝0，则h(x)＝g2(x)－f2(x)＝0，即f(x)＝±g(x)，又g(x)为偶函数，则f(x)即是奇函数也是偶函数，与f(x)在R上单调递增矛盾，因此g(0)＝0不符合题意，则g(0)＝1，故C错误；对于D，当g(0)＝1时，则h(0)＝g2(0)－f2(0)＝1，则h(x)＝g2(x)－f2(x)＝1，即g2(x)－f2(x)＝1，故D正确．故选ABD.(共35张PPT)
第4课时
第二章 函数与基本初等函数
函数性质的综合应用
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——考向探究
类型一
函数单调性与奇偶性的应用
解析
解析
类型二
函数奇偶性与周期性的应用
解析
解析
解析
类型三
函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用
解析
解析
高考真题/重温
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y个
-2.8
2.8x
-2.8
0
2.8x
A
B
y个
y
0
0
-2.8
2.8x
-2.8
2.8x
C
D微练(十二) 函数性质的综合应用
基础过关
一、单项选择题
1．已知偶函数f(x)满足f(x)＝x2＋2－x(x≤0)，则f(x)在(0，＋∞)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先递增后递减 D．先递减后递增
2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝ex－1，则当2≤x≤3时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝1－ex－2 B．f(x)＝ex－2－1
C．f(x)＝1－ex－1 D．f(x)＝ex－1－1
4．已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝( )
A．0 B．6
C．8 D．16
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，则f的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．1
6．(2025·广西八市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x)＝f(2－x)，且f(x)在[－2 023，－2 022]上单调递增，设a＝f(－log32)，b＝f[ln(2e2)]，c＝f(2 021)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．c7．(2025·安徽联考)已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x＋2)＝f(－x)，f(x＋1)＝f(x)f(x＋2)，且f(x)>0，若f(1)＝4，则f(2 023)＋f(2 024)＝( )
A．6 B．
C． D．4
二、多项选择题
8．设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)D．函数f(x)在[2 025,2 026]上单调递减
9．(2025·河南联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A．f[f(1)]B．f[g(1)]C．g[f(1)]D．g[g(1)]三、填空题
10．“函数f(x)＝ax2－sin x是奇函数”的充要条件是实数a＝________.
11．已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x＋2)＝f(2－x)成立，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0的解集为________．
12．设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则(k)＝________.
素养提升
13．(2025·东北师大附中模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)＋f(10－x)＝4，g(1)＝2且g(x)＋g(x＋2)＝2，则f(i)＋g(i)]＝( )
A．24 B．26
C．28 D．30
14．(多选题)(2025·湖北七市调研)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有( )
A．函数f(x)的值域为(0,2]
B．函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称
C．函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2 024)，则(xi＋yi)＝4 048
微练(十二) 函数性质的综合应用
1．A 解析 f(x)＝x2＋x，由y＝x2与y＝x在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.
2．A 解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．故选A.
3．A 解析 解法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋(x＋1))＝f(1－(x＋1))，即f(x＋2)＝f(－x)，则f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－2)．因为当0≤x≤1时，f(x)＝ex－1，所以当2≤x≤3时，0≤x－2≤1，f(x)＝－f(x－2)＝－(ex－2－1)＝1－ex－2.故选A.
解法二：因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1，又f(x)是奇函数，所以f(2)＝f(0)＝0，故排除C、D；f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－(e－1)＝1－e，故排除B.故选A.
4．C 解析 因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8.故选C.
5．B 解析 因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，又当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，所以f＝f＝f＝－f＝－log2[－6×＋2]＝－log2 4＝－2，故选B.
6．A 解析 根据题意可知f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，则f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是以2为周期的偶函数，又f(x)在[－2 023，－2 022]上单调递增，所以可得f(x)在[－1,0]上单调递增，根据偶函数的性质可知f(x)在[0,1]上单调递减．a＝f(－log3 2)＝f(log3 2)＝f，b＝f[ln(2e2)]＝f(ln 2＋ln e2)＝f(ln 2＋2)＝f(ln 2)，c＝f(2 021)＝f(1)，显然ln 3>1，所以可得0<f(ln 2)>f(1)，即c7．A 解析 由f(x＋1)＝f(x)f(x＋2)，得f(x＋2)＝f(x＋1)f(x＋3)，则f(x＋2)＝f(x)f(x＋2)f(x＋3)，又f(x)>0，所以f(x)f(x＋3) ＝1，即f(x＋3)＝，所以f(x＋6)＝＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)，f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)，则f(2 023)＋f(2 024)＝f(1)＋f(2)．对于f(x＋1)＝f(x)f(x＋2)和f(x＋2)＝f(－x)，令x＝0，可得f(1)＝f(0)f(2)＝4，且f(0)＝f(2)，因为f(x)>0，所以f(0)＝f(2)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＝4＋2＝6，故选A.
8．ABC 解析 由f(x)－f(－x)＝0可得f(x)＝f(－x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A正确；由f(x＋1)－f(x＋3)＝0可得f(x＋1)＝f(x＋3)，所以f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以B正确；因为函数f(x)是偶函数，且在[0,1]上单调递减，最小正周期为2，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，在[3,4]上单调递增，f(3)9．BD 解析 因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上单调递减，所以f(1)g[f(2)]，g[g(1)]f[f(2)]，故A不正确．综上所述，选BD.
10．0 解析 若f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，所以a(－x)2－sin(－x)＋ax2－sin x＝0,2ax2＝0，所以a＝0.
11．[0,6] 解析 由题意，因为函数f(x)对任意的x∈R均有f(x＋2)＝f(2－x)，所以可得函数f(x)的图象关于x＝2对称，又由f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，2)上单调递增，因为f(－1)＝0，可得f(5)＝f(－1)＝0，则不等式f(x－1)≥0，可得－1≤x－1≤5，解得0≤x≤6，所以不等式f(x－1)≥0的解集为[0,6]．
12．0 解析 由g(x＋1)为偶函数，则函数g(x)关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x)．由函数g(x＋2)为奇函数，则函数g(x)关于点(2,0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)．设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数．又由函数g(x)关于(2,0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0.因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2 023)＝505×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝505×0＋0＝0.
13．C 解析 因为f(x)＋f(10－x)＝4，所以(i)＝[f(1)＋f(9)]＋[f(2)＋f(8)]＋[f(3) ＋f(7)]＋[f(4)＋f(6)]＋[f(5)＋f(5)]＝4×4＋2＝18.因为g(x)＋g(x＋2)＝2，所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝2，两式相减得g(x＋4)＝g(x)，所以g(x)是周期为4的周期函数．所以g(5)＋g(6)＋g(7)＋g(8)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)，g(9)＝g(1)．由g(x)＋g(x＋2)＝2，可得g(1)＋g(3)＝2，g(2)＋g(4)＝2，则(i)＝2[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＝2×4＋2＝10.则f(i)＋g(i)]＝18＋10＝28.故选C.
14．BCD 解析 对于A，因为2x＋2>2，所以0<<2，所以函数f(x)的值域为(0,2)，故A不正确；对于B，由题意，f(x)＝，令F(x)＝f(x＋1)－1＝－1，显然函数F(x)的定义域为R，关于原点对称，且F(x)＋F(－x)＝－1＋－1＝＋－2＝0，所以函数F(x)＝－1是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，故B正确；对于C，由f(x)关于(1,1)对称，可知f(x)＋f(2－x)＝2，两边求导：f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)，所以f′(x)关于x＝1对称，故C正确；对于D，因为函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，所以函数g(x)的图象关于点(1,1)中心对称，又函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，所以这2 024个交点关于点(1,1)对称，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x2 024)＋(y1＋y2＋…＋y2 024)＝2 024＋2 024＝4 048，故D正确，选BCD.(共24张PPT)
微练(十二)
函数性质的综合应用
基础过关
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