第三节 幂函数与指、对数式的运算
【课程标准】 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在化简运算中的作用.
教|材|回|顾
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为________．
2．指数式的运算
(1)根式
①一般地，如果xn＝a，那么______叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
②式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
③()n＝______.
当n为奇数时，＝______，
当n为偶数时，＝|a|＝
(2)分数指数幂
正数的正分数指数幂：a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：a＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
规定：0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂没有意义．
(3)指数幂的运算性质
aras＝__________；(ar)s＝__________；(ab)r＝________.(a>0，b>0，r，s∈R)
3．对数式的运算
(1)对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作________．以e为底的对数叫做自然对数，记作________．
(2)对数的性质与运算性质
①对数的性质：loga1＝______，logaa＝______，alogaN＝______(a>0，且a≠1，N>0)．
②对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(ⅰ)loga(MN)＝____________；
(ⅱ)loga＝____________；
(ⅲ)logaMn＝____________(n∈R)．
③对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
微|点|延|伸
1．logab·logba＝1.
2．logab·logbc＝logac.
3．loganbn＝logab.
4．logambn＝logab.
小|题|快|练
1．下列四个图象中，函数y＝x的图象是( )
2．化简2lg 5＋lg 4－5log52的结果为( )
A．0 B．2
C．4 D．6
3．(人A必一P127T5改编)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝( )
A． B．
C．2a＋b D．2b＋a
4．计算：π0＋2－2×＋log23－log26＝________.
5．已知幂函数f(x)的部分对应值如下表：
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
类型一 幂函数的图象与性质自练自悟
1.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1
B．－1C．－1D．－13．已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A．bC．b4．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________________．
1．对于幂函数y＝xα(α∈R)图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由其奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
类型二 指数幂式的运算
【例1】 (1)计算：＋0.002－10(－2)－1＋(－)0＝________.
(2)(多选题)下列运算(化简)中正确的有( )
A．－1·(a－2) ＝a
B．(xa－1y)a·(4y－a)＝4x
C．[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2
D．2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab
1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加．
(2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【训练1】 (1)计算：2××＝________.
(2)(2025·沧州七校联考)若a>0，b>0，则·＝________.
(3)若x＋x＝3(x>0)，则x2＋x－2－2＝________.
类型三 对数式的运算
【例2】 (1)计算：log535＋2log－log5－log514＝________.
(2)(log32＋log92)×(log43＋log83)＝________.
(3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.
解决对数运算问题的常用方法
1．将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
2．将同底对数的和、差、倍合并．
3．利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【训练2】 (1)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2×lg 500＋(lg 2)2＝____________________.
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________.
类型四 实际应用
【例3】 (2024·东北四市联考)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg，小于80 mg认定为饮酒驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
1．理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系；
2．运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．
【训练3】 生物学家测量了一些动物的体重和脉搏率，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系式：ln f＝ln k－，其中f是脉搏率(心跳次数/min)，体重为W(g)，k为正常数．则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为( )
A． B．
C．3 D．27
第三节 幂函数与指、对数式的运算
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)y＝xα (3)(1,1) (0,0) (1,1) 奇函数 偶函数
2．(1)x 根式 a a (2) 0 (3)ar＋s ars arbr
3．(1)x＝logaN a N lg N ln N (2)0 1 N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM
小题快练
1．B 解析 因为y＝x＝，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A，D，又函数在定义域上单调递增，故B正确．故选B.
2．A 解析 因为2lg 5＋lg 4＝2lg 5＋2lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.又5log52＝2，所以2lg 5＋lg 4－5log52＝2－2＝0.故选A.
3．A 解析 log1210＝＝＝.故选A.
4. 解析 原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝.
5．[－4,4] 解析 设幂函数为f(x)＝xα，则α＝，所以α＝，所以f(x)＝x，不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，所以|x|≤4，所以－4≤x≤4，所以不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]．
关键能力·落实
1．D 解析 设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．D 解析 幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，所以03．A 解析 由题意得b＝3<4＝2＝a，a＝2＝4<4<5＝25＝c，所以b4．(－∞，－1)∪ 解析 不等式(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或3－2a【例1】 (1)－ 解析 原式＝(－1) ×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)ABD 解析 对于A，－1·(a－2) ＝a＋＝a，故正确；对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4x×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确；对于C，[(1－)2] －(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1)2×－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误；对于D,2a3b·÷(4)＝[2×(－5)÷4]a3＋b＋＝－ab，故正确．故选ABD.
【训练1】 (1)6 解析 原式＝2×3××12＝2×3×3×2×3×2＝21＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2) 解析 原式＝＝.
(3)45 解析 由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2－2＝45.
【例2】 (1)2 解析 原式＝log535－log5－log514＋log ()2＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
(2) 解析 原式＝×＝log32×log23＝×＝.
(3) 解析 因为14b＝5，所以log145＝b.又log147＝a，所以log3528＝＝＝.
【训练2】 (1)4 解析 原式＝2lg 5＋(lg 5＋1)＋lg 2(2＋lg 5)＋(lg 2)2＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝1＋3lg 5＋3lg 2＝1＋3(lg 5＋lg 2)＝4.
(2)64 解析 根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64.
【例3】 D 解析 设至少经过n(n∈N*)个小时才能驾驶，则有60×(1－30%)n<20，即0.7n<，两边同时取对数得lg 0.7n＝＝≈＝3.2所以n≥4，即至少经过4个小时才能驾驶，故选D.
【训练3】 C 解析 当W＝300时，ln f1＝，即ln f＝ln k3－ln 300，则f＝，当W＝8 100时，ln f2＝，即ln f＝ln k3－ln 8 100，则f＝.所以3＝＝27，即＝3，所以体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为3.故选C.(共43张PPT)
第三节
第二章 函数与基本初等函数
幂函数与指、对数式的运算
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
幂函数的图象与性质 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
指数幂式的运算
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
对数式的运算
解析
解析
解析
解析
解析
类型四
实际应用
解析
解析
R
赢在欲点
5
y=x,y=x2
y=x
4
3
12
y=
2
1
-5-4-3-2
y=x-1
1
2345
x
-1
-2
-3
-4
A
y不
y=xm
1
y=xh
y=x1
0
1
X微练(十四) 幂函数与指、对数式的运算
基础过关
一、单项选择题
1．幂函数y＝xα中的α的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A． B．
C． D．
2．已知点在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．b3．若代数式＋有意义，则＋2＝( )
A．2 B．3 C．2x－1 D．x－2
4．下列运算正确的是( )
A．2log10＋log0.25＝2
B．log427×log258×log95＝
C．2lg 2－lg ＝1
D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
5．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b)．”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．a＝b2 D．b＝a2
6．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为( )
A．18 dB B．20 dB
C．24 dB D．27 dB
二、多项选择题
7．已知a，b∈R,4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为( )
A． B．
C． D．24
8．(2024·重庆调研)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是( )
A．lg a>lg b B．a＋b＝ab
C．a>b D．a＋b>4
三、填空题
9．计算log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋8＝______.
10．若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________.
11．(2025·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为________．
四、解答题
12．计算下列各式：
(1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20；
(2)log4－log23·log8；
(3)8＋0＋(1.5)－4·－[(－2)4] .
13．某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题：
(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
素养提升
14．(2025·陕西商洛模拟)若a>0且a≠1，log3a＝b，log4a＝c，且b＝cd，则dlog23＝( )
A．2 B． C．3 D．
15．(多选题)溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10－7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性，我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10－8摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6
C．若海水中的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的pH是8.6
D．若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则该种水适合饮用
16．已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝________.
微练(十四) 幂函数与指、对数式的运算
1．C 解析 y＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝x的定义域和值域都为[0，＋∞)；y＝x的定义域和值域都为R；y＝x3的定义域和值域都为R；y＝x0的定义域为{x|x≠0}，值域为{1}；y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)．故选C.
2．C 解析 因为点在函数f(x)的图象上，所以＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知当x>0时，f(x)单调递减．因为<<1，ln π>ln e＝1，所以f>f>f(ln π)，即a>c>b.故选C.
3．B 解析 由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0,2x－1≥0，所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.故选B.
4．D 解析 对于A,2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log25＝－2，故A错误；对于B，log427×log258×log95＝××＝×·＝，故B错误；对于C,2lg 2－lg ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝lg 102＝2，故C错误；对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝log(2＋)－2＝－1－＝－，故D正确．故选D.
5．C 解析 由题意，得logba＝4·logab，所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2.因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2，故选C.
6．C 解析 当r＝5时，ΔL1＝10lg，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C.
7．BD 解析 由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23，当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2，当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，当b＝log2时，a＋b＝log23＋log2＝log2＝log2，所以2a＋b＝.故选BD.
8．ABD 解析 因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515.对于A，根据对数函数的性质可知，若真数相同且真数大于1，则当底数大于1时，底数越大，函数值越小，所以a>b，所以lg a>lg b，(另解：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35，b＝log515＝log5(5×3)＝1＋log53，因为log35>1>log53，所以a>b，所以lg a>lg b)，故A正确；对于B，易知a>0，b>0，所以＝log153，＝log155，(logab＝(a，b均大于0且均不等于1))所以＋＝log153＋log155＝log15(3×5)＝1，所以＝1，即a＋b＝ab，故B正确；对于C，根据y＝x是减函数，a>b，得a0，b>0且a≠b，所以结合基本不等式知，a＋b>2，又a＋b＝ab，所以ab>2，解得ab>4，即a＋b>4，故D正确．故选ABD.
9. 解析 原式＝log33＋lg 52＋lg 22＋2＋23×＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2＝＋2＋2＋2＝.
10．ln 2 解析 ex＝2 024，e－y＝1 012，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.
11．45 解析 由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.则a＝log3m＝，b＝log5m＝，所以＝，＝，由＋＝1，可得＝＝logm45＝1，所以m＝45.
12．解 (1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7.
(3)原式＝2＋1＋－4·－4＝3＋－4＝－.
13．解 (1)由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，那么P＝P00.9，所以当t＝10时，P＝0.81P0，即10 h后还剩下81%的污染物．
(2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33，即污染物减少50%大约需要花33 h.
14．A 解析 由题意得d＝＝＝＝log34，所以dlog23＝log34×log23＝＝＝2.故选A.
15．ABC 解析 对于A，若苏打水的pH是8，则8＝－lg[H＋]，所以[H＋]＝10－8摩尔/升，所以A正确；对于B，若胃酸中[H＋]＝2.5×10－2摩尔/升，则pH＝－lg[H＋]＝－lg(2.5×10－2)＝－＝－(lg 5－lg 2－2)＝－(1－2lg 2－2)＝1＋2lg 2≈1＋2×0.3＝1.6，所以B正确；对于C，若海水中的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水中的氢离子浓度[H＋]＝10－7×10－1.6＝10－8.6摩尔/升，所以海水的pH＝－lg[H＋]＝－lg(10－8.6)＝8.6，所以C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，即[H＋]＝4×10－7摩尔/升，则其pH＝－lg[H＋]＝－lg(4×10－7)＝－(2lg 2－7)≈7－2×0.3＝6.4<6.5，所以该种水不适合饮用，所以D错误．综上，选ABC.
16．8 解析 由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba＝，又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba，从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8.(共25张PPT)
微练(十四)
幂函数与指、对数式的运算
基础过关
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素养提升
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