第四节 指数函数
【课程标准】 1.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；2.会利用指数函数模型解决实际问题.
教|材|回|顾
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
a>1 0
图象
定义域 R
值域 ________
性质 当x>0时，__________； 当x<0时，________ 当x<0时，________； 当x>0时，________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
微|点|延|伸
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>1>a3>a4>0)，不论是a>1，还是03．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0小|题|快|练
1．(多选题)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝2x D．y＝3x－1
2．函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是( )
3．已知关于x的不等式x－4≥3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
5．(1)函数f(x)＝ax－1＋2 024(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
(2)当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
类型一 指数函数的图象
【例1】 (1)函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________．
(3)(多选题)已知非零实数a，b满足等式a＝b，则下列结论不可能成立的是( )
A．0C．01．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【训练】 (1)函数f(x)＝|x＋2|的部分图象大致为( )
(2)(多选题)(2025·青岛质检)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0,1)时，的值可能等于( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
类型二 指数函数的性质
考向 ：比较大小
【例2】 (1)已知aA．aa>ab>bb B．aa>bb>ab
C．bb>aa>ab D．ab>bb>aa
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
比较指数式大小的常用方法
单调 性法 不同底的指数式化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底
取中间 值法 不同底、不同指数的指数式比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系
考向 ：解不等式
【例3】 (2024·吉林长春一模)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为( )
A．∪(1，＋∞) B．
C． D．(1，＋∞)
解不等式问题应确定函数的奇偶性与单调性．
考向 ：指数复合型函数的单调性
【例4】 (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
对于指数型复合函数的问题，关键是判断其单调性．对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y＝af(x)的单调递增(减)区间；若0【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
2．已知函数f(x)＝2 024ax2＋bx＋1(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，且函数f(x)的最小值为1，则不等式f(x)≥2 024的解集为( )
A．{x|0C．{x|0≤x≤4} D．{x|x≥4或x≤0}
3．(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于坐标原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为1
D．f(x)在定义域上单调递减
共零点型恒成立问题
基本原理：对于h(x)＝f(x)g(x)≥0，x∈D恒成立问题，可将其拆解为三种情况：
(1)
(2)
(3)f(x)与g(x)在x∈D上每一个横坐标处同正、同负、同为零．特别当f(x)与g(x)单调性相同时更为直观．
【典例】 (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为( )
A． B．
C． D．1
【应用体验】
1．已知当x∈R时，均有不等式(aex－2)(aex＋x)≥0(a>0)成立，则实数a的值为________．
2．已知函数f(x)＝(ex－a)，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的实数a的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
第四节 指数函数
必备知识·梳理
教材回顾
2．(0，＋∞) (0,1) y>1 01 0增函数 减函数
小题快练
1．CD 解析 y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝2x的值域为(0，＋∞)；y＝3x－1的值域为(0，＋∞)．故选CD.
2．C 解析 因为y＝e－|x|＝所以函数图象关于y轴对称，且过点(0,1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合．故选C.
3．A 解析 不等式x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．故选A.
4．(－3,1) 解析 当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－35．(1)(1,2 025) 解析 由x－1＝0得x＝1，此时f(x)＝a0＋2 024＝1＋2 024＝2 025，所以f(x)＝ax－1＋2 024的图象恒过定点(1,2 025)．
(2)∪(1，) 解析 若a>1，则y＝ax是增函数，则由a2<2，可得1关键能力·落实
【例1】 (1)C 解析 在同一直角坐标系中，作出函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象，如图所示，由图象可知，函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象关于原点对称，故选C.
(2)(0,1) 解析 作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0,1)．
(3)CD 解析 在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象如图所示，设a＝b＝M，当M>1时，结合图象可得，ab>0.综上，选CD.
【训练】 (1)B 解析 由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝x＋2，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.故选B.
(2)BC 解析 表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k.M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0,1)图象上的动点，如图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足．
【例2】 (1)A 解析 因为函数y＝x在R上单调递减，ab>1.因为函数y＝ax(a>1)在R上为增函数，所以aa>ab.又y＝xb(b>1)在(0，＋∞)上单调递增，所以ab>bb，综上，aa>ab>bb.故选A.
(2)D 解析 因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.
【例3】 A 解析 f(x)＝|3x－3－x|的定义域为R，f(－x)＝|3－x－3x|＝|3x－3－x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数．当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数，故g(x)＝3x－3－x为(0，＋∞)上的增函数，又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则y＝f(x)＝g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故x<0时，y＝f(x)为减函数，f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)，则|2x－1|>|x|，即(2x－1)2>x2,3x2－4x＋1>0，解得x∈∪(1，＋∞)．故选A.
【例4】 D 解析 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.
【题组对点练】
1．B 解析 由函数y＝4.2x单调递增可知，0a>c，故选B.
2．D 解析 因为函数f(x)＝2 024ax2＋bx＋1(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，所以y＝ax2＋bx＋1关于直线x＝2对称，即－＝2，即b＝－4a，所以f(x)＝＝2 024a(x－2)2＋1－4a.又因为函数f(x)有最小值为1，所以a>0且f(2)＝1，即2 0241－4a＝1，所以1－4a＝0，即a＝，所以f(x)＝2 024(x－2)2.所以不等式f(x)≥2 024，即2 024(x－2)2≥2 024，即(x－2)2≥1，解得x≥4或x≤0.故选D.
3．AD 解析 因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，所以f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确；因为f(x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1，所以0<<2，所以f(x)∈(－1,1)，故C不正确；因为f(x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f(x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确．故选AD.
素养进级·提能力
【典例】 C 解 由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln(x＋b)单调递增，可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln(x＋b)＝0时，x＋a＝0，即所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝22＋≥，故选C.
应用体验
1．2e2 解析 设f(x)＝aex－2，g(x)＝aex＋x，则a>0时，f(x)、g(x)均为增函数，令f(x)＝0得x＝ln，则g＝a·＋ln＝0，即ln＋2＝0，所以a＝2e2.
2．A 解析 ①当a＝0时，f(x)≥0(x∈R)，满足题意，②当a<0时，ex－a>0，当x>－时，ax＋<0，故f(x)≥0(x∈R)不恒成立，③当a>0时，设g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋，则g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋都是递增函数，要使f(x)≥0(x∈R)恒成立，则(e2－a)，恒同号，所以g(x)＝ex－a，h(x)＝ax＋与x轴交点重合，令g(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，h(x)＝ax＋＝0，得x＝－，方程ln a＝－的解的个数，即y＝aln a，y＝－交点个数，设φ(a)＝aln a，则φ′(a)＝1＋ln a由导数的应用可得φ(a)＝aln a在为减函数，在为增函数，则φ(a)min＝－<－，即ln a＝－有2个解，所以存在2个a，使得f(x)≥0(x∈R)成立，综合①②③得，满足条件的a的个数是3个，故选A.(共44张PPT)
第四节
第二章 函数与基本初等函数
指数函数
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
指数函数的图象
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
指数函数的性质
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
大
01
02
底数
小
0M3
C04
0
X
y
1
龙
A
B
C
D
y个
y=3
0
X
y=-3
y↑y=2-1l
1
—y=b
0
X
=(合》
1
0
1
X
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e
---PB
I
I
I
1
I
I
I
I
I
I
I
1
I
0
X
A(1,-1)微练(十五) 指数函数
基础过关一、单项选择题
1．下列函数中值域为正实数集的是( )
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝3|x|
2．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
3．不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标为( )
A． B．
C． D．
4．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则( )
A．log2<
B．log2>
C．log2D．log2>x1＋x2
5．若函数f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[4,16]
C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)
6．(2024·江西九校联考)函数f(x)＝的大致图象为( )
7．已知函数f(x)＝|3x－1|，af(b)>f(c)，则下列结论中一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．3－a<3c D．3a＋3c<2
二、多项选择题
8．对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象过定点A(m，n)，f(x)＝x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则下列结论正确的是( )
A．m＝1，n＝2
B．g(x)的定义域为[0,1]
C．g(x)的值域为[2,6]
D．g(x)的值域为[2,20]
9．(2025·山东临沂一模)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则( )
A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．f(x)的值域为R
C．当a＝1时，f(x)为奇函数
D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2
三、填空题
10．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为________．
11．已知函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(1)12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4xa≥0恒成立，则a的取值范围是________．
四、解答题
13．已知函数f(x)＝|x|－A．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求实数a的值．
14．已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并简要说明理由；
(3)求函数f(x)的值域．
素养提升
15．(多选题)(2025·南京调研)已知函数f(x)＝a|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若xD．f(x)的值域为[0,2)
16．已知函数f(x)＝4x＋(k∈R)为定义在R上的偶函数，当x∈[0，＋∞)时，函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的最小值为1，则a＝________.
微练(十五) 指数函数
1．B 解析 A项中y<0，B项中y>0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有B项正确．故选B.
2．D 解析 解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.
解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.
3．C 解析 将y＝(a－1)2x－变为a－(2x＋y)＝0，依题意，对a∈R，a－(2x＋y)＝0恒成立，则2x－＝0且2x＋y＝0，所以x＝－1且y＝－，即这个定点的坐标为.故选C.
4．B 解析 解法一：画出y＝2x的图象，设x12，所以log2>.故选B.
解法二：因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B.
5．A 解析 设f(u)＝3u，u＝－2x2＋ax，则f(u)＝3u在(－∞ ，＋∞)上单调递增．因为f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，所以函数u＝－2x2＋ax在区间(1,4)内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得≤1，解得a≤4.故选A.
6．A 解析 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D.当x>0时，2x－2－x>0，所以f(x)>0，排除B.故选A.
7．D 解析 作出f(x)的图象，如图所示．因为af(b)>f(c)，所以a0，使f(b)＝f(b′)，则b0时，f(a)＝1－3a>f(c)＝3c－1，所以3a＋3c<2，当c≤0时，3a<1,3c≤1，则3a＋3c<2，故D一定成立．故选D.
8．ABC 解析 令x－1＝0，得x＝1，此时y＝(a－1)0＋1＝2，所以函数y＝(a－1)x－1＋1的图象过定点A(1,2)，即m＝1，n＝2，故A正确；所以f(x)＝x＝2x，x∈[0,2]，所以g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，由得0≤x≤1，所以g(x)的定义域为[0,1]，故B正确；易知g(x)在[0,1]上单调递增，所以当x＝0时，g(x)取得最小值，为2，当x＝1时，g(x)取得最大值，为6，所以g(x)的值域为[2,6]，故选项C正确，选项D错误．故选ABC.
9．ACD 解析 对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；当x>0时，2x>1,2x－1>0，>0，所以＋a>a，当x<0时，0<2x<1，－1<2x－1<0，<－2，所以＋a<－2＋a，综上可得，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝＋1＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(x)＋f(－x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确．故选ACD.
10．(－∞，1] 解析 设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
11．2x(答案不唯一) 解析 令f(x)＝2x，显然f(x)＝2x在定义域上单调递增，满足f(1)12．[－6，＋∞) 解析 当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4xa≥0恒成立可转化为－a≤＝x＋x恒成立．易知函数y＝x＋x是R上的减函数，因此当x∈(－∞，－1]时，ymin＝－1＋－1＝6，所以－a≤6，即a≥－6.
13．解 (1)不论a取何值，y＝|x|－a在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝x是减函数，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝，从而a＝2.
14．解 (1)因为函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得a＝1.当a＝1时，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故a＝1.
(2)f(x)＝＝1－，设x1，x2∈R，且x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，因为x1>x2，所以22x1＋1－22x2＋1>0，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在R上单调递增．
(3)f(x)＝1－(x∈R)，因为22x∈(0，＋∞)，所以0<<2，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
15．ABD 解析 因为函数f(x)＝a|x|＋b的图象过原点，所以a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a|x|－a，且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，所以b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，故若xf(y)，故C错误；因为|x|∈(0,1]，所以f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．故选ABD.
16．2 解析 由题意知f(－x)＝f(x)，得4－x＋k·4x＝4x＋k·4－x，整理得(k－1)(4x－4－x)＝0，所以k＝1，所以f(x)＝4x＋，g(x)＝4x＋－a＝2－a＋2.令u＝2x－(x≥0)，则h(u)＝u2－au＋2.易知u＝2x－在[0，＋∞)上单调递增，所以u≥0.因为g(x)在x∈[0，＋∞)上的最小值是1，所以h(u)在u∈[0，＋∞)上的最小值是1.当a≥0时，h(u)min＝h＝－＋2＝1，解得a＝2或a＝－2(舍去)．当a<0时，h(u)min＝h(0)＝2≠1，不符合题意，舍去．综上，a＝2.(共30张PPT)
微练(十五)
指数函数
基础过关
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素养提升
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