微专题强化二 抽 象 函 数
专|题|梳|理
1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法．
2．常见的抽象函数模型
(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝kx的抽象表达式；
(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝ax的抽象表达式(a>0，且a≠1)；
(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看做f(x)＝logax的抽象表达式(a>0，且a≠1)；
(4)f(xy)＝f(x)f(y)可看做f(x)＝xa的抽象表达式．
典|型|例|题
类型一 抽象函数求值
【例1】 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝________.
(2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝( )
A．2 024 B．2 026
C．1 012 D．1 013
抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x＝…，－2，－1,0,1,2，…等特殊值求抽象函数的函数值．
【训练1】 设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，则f()＝________.
类型二 抽象函数的单调性与奇偶性
【例2】 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)＝3，则( )
A．f(1)＝1
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1
【例3】 (2025·绍兴质检)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，如果x满足f(x)－f≤2，则x的取值范围为________．
1．抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数．
2．抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简．
【训练2】 (2025·重庆调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为( )
A．[－2,0] B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
类型三 抽象函数的对称性与周期性
【例4】 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝1，f(2x＋1)为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数
C．f(2＋x)＝－f(2－x) D．(k)＝0
若函数y＝f(ax＋b)为偶函数，则函数图象关于直线x＝b对称；若函数y＝f(ax＋b)为奇函数，则函数图象关于点(b,0)对称．
【训练3】 已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(3－x)＝f(x＋1)成立，又函数f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，且f(1)＝3，则f(61)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
微专题强化二 抽象函数
【例1】 (1)2 解析 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，所以令x＝y＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，所以f(－1)＝0，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2.
(2)B 解析 由f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)f(1)＝2f(a)，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2×1 013＝2 026.故选B.
【训练1】 解析 因为f(8)＝3，所以f(2×4)＝f(2)＋f(4)＝f(2)＋f(2×2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)＝3，所以f(2)＝1.所以f(2)＝f(×)＝f()＋f()＝2f()＝1，所以f()＝.
【例2】 ABD 解析 A中，因为f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，f(2)＝3，令x＝y＝1，则f(2)＝[f(1)]2＋2f(1)＝3，解得f(1)＝1，A正确；B中，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x2>x1，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)，因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2－x1)>0，f(x1)>0，所以f(x1)f(x2－x1)＋f(x1)＋f(x2－x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，B正确；C中，令x＝y＝0，则f(0)＝[f(0)]2＋2f(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝－1，当f(0)＝0，且x>0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，与题意矛盾；当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数．综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误；D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确．故选ABD.
【例3】 (3,4] 解析 因为f＝f(x)－f(y)，所以f(y)＋f＝f(x)．在上述等式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)．又因为f(2)＝1，所以f(4)＝2，所以f(x)－f≤2可变形为f(x(x－3))≤f(4)．又因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，所以解得3＜x≤4.故x的取值范围是(3,4]．
【训练2】 A 解析 解法一：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，因为当x>0时，f(x)<0，所以f(x1－x2)<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)解法二：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A.
【例4】 AC 解析 令x＝y＝0，得f2(0)＝f2(0)－f2(0)＝0，所以f(0)＝0，所以A正确．令x＝0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)，因为f(0)＝0，所以f(y)f(－y)＝－f2(y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，即f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)是奇函数，所以B错误．因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称．因为函数f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)成立，所以C正确，且函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(0)＝0，f(1)＝1，并且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝0，又因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(3)＝－f(1)＝－1，因为函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋0＋(－1)＋0＝0，再由周期性得，(k)＝0＋1＝1，所以D错误．综上，选AC.
【训练3】 A 解析 因为对任意x∈R，都有f(3－x)＝f(x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期，f(61)＝f(8×8－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1)＝－3.故选A.(共20张PPT)
抽 象 函 数
微专题强化二
专|题|梳|理
典|型|例|题
类型一
抽象函数求值
解析
解析
解析
类型二
抽象函数的单调性与奇偶性
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
抽象函数的对称性与周期性
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(十三) 抽象函数
一、单项选择题
1．已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1,2]，则函数y＝的定义域为( )
A．{x|－1C．{x|－12．若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是( )
A．y＝f(2x＋2－x) B．y＝f(2x－x)
C．y＝f(2x－2－x) D．y＝f(2x＋x)
3．函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2 025)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
4．(2025·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是( )
A．偶函数，又是周期函数
B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数
D．奇函数，但不是周期函数
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为( )
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞)
B．(1，e2)
C．(e，e3)
D．(e，＋∞)
二、多项选择题
6．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则( )
A．f(0)＝ B． f(x)为奇函数
C． f(x)为周期函数 D． f(2)＝－
三、填空题
7．写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
8．已知函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(0)＝1，则f(2 025)＝________.
四、解答题
9．已知f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝3f(x)f(y)，f(1)＝.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)求(k)．
10．已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集．
微练(十三) 抽象函数
1．B 解析 f(2x＋1)的定义域为[－1,2]，由x∈[－1,2]，得2x＋1∈[－1,5]，因此f(x)的定义域为[－1,5]，所以函数y＝的自变量x满足－1≤x≤5，x＋1≠0，得－12．C 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)．对于A，函数y＝f(2x＋2－x)，f(2－x＋2x)＝f(2x＋2－x)，所以函数y＝f(2x＋2－x)不是奇函数；对于B，函数y＝f(2x－x)，f(2－x＋x)≠－f(2x－x)，所以函数y＝f(2x－x)不是奇函数；对于C，函数y＝f(2x－2－x)，f(2－x－2x)＝－f(2x－2－x)，所以函数y＝f(2x－2－x)是奇函数；对于D，函数y＝f(2x＋x)，f(2－x－x)≠－f(2x＋x)，所以函数y＝f(2x＋x)不是奇函数．故选C.
3．D 解析 因为y＝f(x－2)为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝f(x－4)，即f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝2.故选D.
4．A 解析 解法一：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数．
解法二：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数．故选A.
5．C 解析 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2| 16．ACD 解析 取x＝1，y＝0代入4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，解得f(0)＝，故A正确，B错误；令y＝1，则4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，故f(x＋6)＝f(x＋5)－f(x＋4)＝－f(x＋3)＝f(x＋1)－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，故C正确；又f(0)＝，f(1)＝，所以f(2)＝－，故D正确．故选ACD.
7．2sinx(答案不唯一) 解析 由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sinx.
8．2 解析 因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即y＝f(x)是偶函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝－1，可得f(1)f(－1)＝2f(1)，又f(x)>0，所以f(－1)＝2，则f(1)＝f(－1)＝2，所以函数f(x)对 x∈R满足f(x＋2)f(x)＝4，所以f(x＋4)f(x＋2)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝2.
9．解 (1)证明：f(x)的定义域为R，令x＝1，y＝0，得f(1＋0)＋f(1－0)＝3f(1)f(0)，所以f(0)＝，令x＝0，得f(0＋y)＋f(0－y)＝3f(0)f(y)，所以f(－y)＝f(y)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝3f(x)f(1)＝f(x) ①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1) ②，由①，②知，f(x＋2)＋f(x－1)＝0，所以f(x＋3)＋f(x)＝0，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是6.由②得，f(2)＋f(0)＝f(1)，所以f(2)＝－，同理f(3)＋f(1)＝f(2)，所以f(3)＝－，又由f(x)是偶函数且周期为6可得，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝，f(6)＝f(0)＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，所以(k)＝337(k)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－.
10．解 (1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝0，令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)因为f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，所以＝＋，所以g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)，设x1>x2>0，则>1，所以g<0.因为g(x1)＝g＝g(x2)＋gg(|x|)，所以解得x>1且x≠2，所以不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|12}．(共20张PPT)
微练(十三)
抽象函数
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R
赢在欲点
