第五节 对数函数
【课程标准】 1.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)；3.会利用对数函数模型解决实际问题.
教|材|回|顾
1．对数函数概念及其性质
(1)概念：函数____________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__________．
(2)对数函数的图象与性质
底数 a>1 0
图象
定义域 ________
值域 ________
性质 过定点________，即当x＝1时，y＝0
在区间(0，＋∞)上是______函数 在区间(0，＋∞)上是______函数
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________________________互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
微|点|延|伸
1．如图，给出4个对数函数的图象．
由图知b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
小|题|快|练
1．(人A必一P140习题4.4 T1改编)在b＝log3a－1(4－a2)中，实数a的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．
2．(人B必二P28练习B T4改编)已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，x∈[－1,3]，则f(x)的值域为( )
A．[0，＋∞) B．[0,1)
C．[lg 2,1] D．[0,1]
3．函数f(x)＝loga|x|＋1(04．(多选题)已知函数f(x)＝ln，下列说法正确的是( )
A．f(x)的定义域为(－1,1)
B．f(x)为奇函数
C．f(x)在定义域上是增函数
D．f(x)的值域为(0，＋∞)
5．函数y＝的定义域是________．
类型一 对数函数的图象
【例1】 (1)函数y＝|lg(x＋1)|的图象大致是( )
(2) (多选题)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．0C．b<－1 D．－11．在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域，善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【训练】 (2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
类型二 对数函数的性质
考向 ：比较大小
【例2】 (1)(2025·河北模拟)下列不等式成立的是( )
A．0.60.6>0.60.5 B．log60.6>log50.5
C．0.60.5>log0.60.5 D．log60.5>log60.7
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则( )
A．aC．c比较对数式大小的三种方法
1．单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，则先化为同底．
2．中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
3．图象法：根据图象观察得出大小关系．
考向 ：解不等式
【例3】 已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞)
B．∪(2，＋∞)
C．∪(，＋∞)
D．(，＋∞)
解不等式时需注意以下两个方面
1．注意方程或不等式要有意义，即真数大于0.
2．根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式．
考向 ：对数复合型函数的性质
【例4】 设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
考向
1.(2023·九江三模)已知a＝20.2，b＝log0.20.5，c＝log20.2，则( )
A．b>a>c B．b>c>a
C．a>b>c D．a>c>b
2．已知对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，且loga0的解集为________．
3．已知函数f(x)＝loga(2－a2x)在区间[3,7]上单调递增，则a的取值范围为__________．
4．(多选题)(2025·邯郸一模)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则( )
A．f(x)的定义域是(－6,4)
B．f(x)有最大值
C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D．f(x)在[0,4]上单调递增
1．(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C．N＝N D．N＝N
2．(2022·天津高考)设a＝20.7，b＝0.7，c＝log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b3．(2021·新高考Ⅱ卷)若a＝log52，b＝log83，c＝，则( )
A．cC．a4．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a5．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0
B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
第五节 对数函数
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) (2)(0，＋∞) R (1,0) 增 减
2．y＝logax(a>0，且a≠1) y＝x
小题快练
1．B 解析 要使式子b＝log3a－1(4－a2)有意义，需解得2．D 解析 因为x∈[－1,3]，所以x2＋1∈[1,10]，所以f(x)＝lg(x2＋1)∈[0,1]，故选D.
3．A 解析 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
4．AB 解析 对于选项A，由>0，解得－15. 解析 由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.所以关键能力·落实
【例1】 (1)A 解析 由于函数y＝lg(x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y＝lg(x＋1)的图象与x轴的交点是(0,0)，所以函数y＝|lg(x＋1)|的图象与x轴的交点是(0,0)．故选A.
(2)BD 解析 因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数f(x)的图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1【训练】 D 解析 当x＝0时，y＝loga＝－1.当01时，函数图象经过第一、三、四象限．所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．故选D.
【例2】 (1)B 解析 A．y＝0.6x单调递减，所以0.60.6<0.60.5，故A错误；B.y＝log6x单调递增，所以log60.6>log60.5，又log60.5>log50.5，所以log60.6>log50.5，故B正确；C.0.60.5∈(0,1)，log0.60.5>log0.60.6＝1，所以0.60.5(2)A 解析 因为a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出y＝2x，y＝x，y＝log2x，y＝logx的图象如图．由图可知a【例3】 B 解析 因为偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，即|log2x|>1，解得02.故选B.
【例4】 D 解析 由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)的定义域为{x，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，因为y＝ln(2x＋1)在上单调递增，y＝ln(1－2x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增，故排除B；当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，因为u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确．
【题组对点练】
1．C 解析 因为a＝20.2>20＝1,0＝log0.21b>c.故选C.
2．(2，＋∞) 解析 因为loga，无解；当a>1时，则有<，解得a>1.综上a>1，则对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式loga(2x－3)>0，所以2x－3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x－3)>0的解集为(2，＋∞)．
3. 解析 令u(x)＝2－a2x(a>0)，则u(x)＝2－a2x(a>0)在[3,7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y＝logau在[3,7]上单调递减，则解得04．AB 解析 由题意可得解得－6高考真题·重温
1．D 解析 由题意，得＝2.1，＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2所以N＝N，故选D.
2．D 解析 a＝20.7>20＝1，b＝0.7<0＝1且b>0，c＝log2b>c，故选D.
3．C 解析 因为a＝log52log88＝＝c，所以a4．B 解析 2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，令f(x)＝2x＋log2x，则f(a)5．A 解析 因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2xln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2xln 2＋3－xln 3，易知f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.(共44张PPT)
第五节
第二章 函数与基本初等函数
对数函数
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
对数函数的图象
解析
解析
解析
类型二
对数函数的性质
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
高考真题/重温
赢在微点 数学 大一轮
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y=log x
y=logix
y=1
X
y=log x
y=logx
y
y
1
-10
1
-10
1
元
A
B
y
1
x
一1
1
-1
C
D
-1
衣
衣
A
B
y个
12
龙
-1
1
衣
C
D
y
O
X
=打计
y=2
1
y=log2x
0
ab
1
C
X
y=log
2微练(十六) 对数函数
基础过关
一、单项选择题
1．函数y＝的定义域为( )
A．(1,2] B．(－∞，2]
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B． C．logx D．2x－2
3．已知a＝sin 4，b＝ln 2，c＝20.3，则( )
A．bC．a4．如果logxA．yC．15．设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是( )
A．(9,65) B．(3,65)
C．[9,65] D．[3,65]
6．若函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，2]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
二、多项选择题
7．关于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有( )
A．f(x)的定义域为(－1,1)
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于原点对称
D．f(x)在(0,1)上单调递增
8．(2025·湖南联考)已知函数f(x)＝lg，则( )
A．f(x)的最小值为1
B． x∈R，f(1)＋f(x)＝2
C．f(log92)>f
D．f>f
三、填空题
9．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
10．若loga(a＋1)11．(2025·云南曲靖质检)如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是________．
四、解答题
12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
13．已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
素养提升
14．(多选题)已知实数x，y，z满足z·ln x＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．z>x>y D．z>y>x
15．(2025·贵阳适应性考试)设方程3x·|log3x|＝1的两根为x1，x2(x1A．03 B．x1>
C．04
16．(2024·山东淄博一模)设方程ex＋x＋e＝0，ln x＋x＋e＝0的根分别为p，q，函数f(x)＝ex＋(p＋q)x，令a＝f(0)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为________．
微练(十六) 对数函数
1．A 解析 因为y＝，所以解得12．A 解析 由题意，得f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f(x)＝log2x.故选A.
3．C 解析 因为π<4<，所以a＝sin 4<0.因为ln 120＝1，所以a4．D 解析 因为logxy>1.故选D.
5．A 解析 因为a＝log23 ＝log8276．D 解析 当－11－2a，所以1－2a≤1，解得a≥0，所以0≤a≤1；②当a>1时，(x2－2ax)min＝－a2，所以只需－a2≤1，显然成立，所以a>1.综上，a的取值范围是[0，＋∞)．故选D.
7．ACD 解析 因为f(x)＝lg＝lg，所以>0，解得－18．ACD 解析 f(x)＝lg≥lg 10＝1，当且仅当x＝时，f(x)取得最小值1，A正确．因为当且仅当x＝时，f(x)取得最小值，且最小值为1，所以f(1)>1，所以 x∈R，f(1)＋f(x)>2，B错误．易知f(x)的图象关于直线x＝对称，因为0，又＝，且f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(log92)>f，C正确．因为90.1＝30.2>30.18>1，所以90.1－>30.18－>，所以D正确，故选ACD.
9．(2,4) 解析 对于函数y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4)．
10. 解析 依题意loga(a＋1)11. 解析 由题意，知A点在函数y＝logx的图象上，所以2＝logx，解得x＝，故A点坐标为，因为点B在函数y＝x的图象上，AB∥x轴，所以2＝x，x＝8，因为点C在函数y＝x的图象上，BC∥y轴，所以y＝8＝，则C点坐标为，所以D点的坐标是.
12．解 (1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，所以a＝2.由得－1(2)因为f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1,1]时，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，f(x)单调递减，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.
13．解 (1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，所以a＝1，f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1，或x>1}．
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]．
14．ABC 解析 由题知实数x，y，z 满足ln x＝ey＝，在同一直角坐标系中分别作出函数y＝ln x，y＝ex，y＝的大致图象如图所示，再分别作出与x轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为y＝m1，y＝m2，y＝m3，如图所示．由直线y＝m1与三个函数图象的交点情况可得z>x>y，由直线y＝m2与三个函数图象的交点情况可得x>z>y，由直线y＝m3与三个函数图象的交点情况可得x>y>z.故选ABC.
15．C 解析 由题意可得x2>x1>0，由3x·|log3x|＝1得，|log3x|－x＝0，设f(x)＝|log3x|－x，则f(1)＝－<0，f(3)＝1－3>0，f＝1－>0，所以f(1)f<0，f(1)f(3)<0，所以x1∈，x2∈(1,3)，故A错误．|log3x1|－x1＝|log3x2|－x2＝0，得|log3x2|－|log3x1|＝x2－x1，因为x1∈，x2∈(1,3)，所以log3x2＋log3x1＝x2－x1<0，所以log3(x2x1)<0，即016．a>c>b 解析 由ex＋x＋e＝0得ex＝－x－e，由ln x＋x＋e＝0得ln x＝－x－e，则直线y＝－x－e与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标分别为p，q.函数y＝ex，y＝ln x互为反函数，则它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x－e垂直于直线y＝x，因此直线y＝－x－e与函数y＝ex，y＝ln x图象的交点关于直线y＝x对称，即点(p，q)在直线y＝－x－e上，则p＋q＝－e，f(x)＝ex－ex，于是f(0)＝1，f＝－e<1，f＝e－e＝e<3×＝1，而f－f＝e－e－＝(e－－1)>0，所以f(0)>f>f，即a>c>b.(共25张PPT)
微练(十六)
对数函数
基础过关
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素养提升
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