第六节 函数的图象
【课程标准】 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会画简单的函数图象；3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.
教|材|回|顾
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝________的图象；
y＝f(x)的图象y＝________的图象；
y＝f(x)的图象y＝________的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝________(a>0，且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
y＝f(x)的图象y＝________的图象；
y＝f(x)的图象横坐标不变,各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍y＝________的图象．
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝________的图象；
y＝f(x)的图象y＝________的图象．
微|点|延|伸
1．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x
的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．
2．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行．
小|题|快|练
1．下列图象是函数y＝的图象的是( )
2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．把函数f(x)＝ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是____________．
4．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
5. 已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2
类型一 作函数的图象 自练自悟
作出下列函数的图象．
1．y＝|x|.
2．y＝|log2(x＋1)|.
3．y＝x2－2|x|－1.
4．y＝.
函数图象的画法
直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象
转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象
图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响
类型二 函数图象的识别
考向 ：给出解析式识别图象
【例1】 函数f(x)＝ln|x|的图象大致为( )
从函数的基本性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性以及某些特殊点等方面识别．
考向 ：给出函数图象判定函数解析式
【例2】 (2025·河北模拟)如图是下列四个函数中某个函数的部分图象，则该函数为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
利用函数所反映出的性质如定义域、单调性识别解析式，可从定性、定量两个角度分析，如本例从定义域看可否定A选项，从f(0)≠0定量否定B选项，从函数单调性角度否定C选项，确定D选项．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.函数f(x)＝的图象大致是( )
2．如图所对应的函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝(x－1)ln|x|
B．f(x)＝xln|x|
C．f(x)＝(x－1)ln x
D．f(x)＝(x－1)ex(x≠0)
类型三 函数图象的应用
【例3】 (多选题)符号[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的是( )
A．fB．函数f(x)是增函数
C．方程f(x)－＝0有无数个实数根
D．f(x)的最大值为1，最小值为0
由函数图象研究其性质的关键点
对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质：
(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值．
(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性．
(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性．
【训练】 (2024·广东湛江二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则( )
A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点
C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点
第六节 函数的图象
必备知识·梳理
教材回顾
2．(2)－f(x) f(－x) －f(－x) logax (3)f(ax) Af(x)
(4)|f(x)| f(|x|)
小题快练
1．C 解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．故选C.
2．C 解析 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．故选C.
3．y＝ln 解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln.
4．y＝f(－x＋1) 解析 y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1，故所得函数为y＝f(－x＋1)．
5．1 解析 由图象可知不等式－2关键能力·落实
1．解 先作出y＝x的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．
2．解 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
3．解 因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③.
4．解 原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图④所示．
【例1】 C 解析 由函数f(x)＝ln|x|可知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且定义域关于原点对称．因为f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝－f(x)，所以函数f(x)＝ln|x|为奇函数，故排除选项B；因为f(1)＝ln|1|＝0，故排除选项A；因为f＝ln＝ln2>0，故排除选项D.故选C.
【例2】 D 解析 对于A，要使函数f(x)有意义，则即所以x<－3或－3－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)，A不正确；对于B，f(0)＝≠0，而题图中函数f(x)的图象过原点，B不正确；对于C，对于函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x>0时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题图，C不正确；对于D，函数f(x)＝，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，且f(0)＝0，f′(x)＝，当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当x>1时，f′(x)<0，所以函数f(x)＝在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，符合题图，D正确．故选D.
【题组对点练】
1．D 解析 由函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，可排除A、B选项；当x∈(0,1)时，f(x)<0；当x＝1时，f(x)＝0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得x→＋∞时，f(x)→0，可排除C选项．故选D.
2．A 解析 由题图可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而C选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故排除C；对于B，由f(x)＝xln|x|，f(－x)＝－xln|x|，所以f(－x)＝－f(x)，即函数为奇函数，排除B；对于D，当00，所以f(x)＝(x－1)ex<0，排除D.故选A.
【例3】 AC 解析 作出f(x)＝x－[x]＝的图象如图所示．
由图可知f＝f【训练】 D 解析 作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示．由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点．故选D.(共39张PPT)
第六节
第二章 函数与基本初等函数
函数的图象
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
作函数的图象 自练自悟
解
解
解
解
类型二
函数图象的识别
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
函数图象的应用
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y=fx)+k
移
k(k>0)个单位
左移
右移
y=fx+a)
a(a>0)
y=f(x)
a(a>0)
y=f(x-a)
个单位
个单位
下
k(k>0)个单位
y=f(x)-k
-11
A
B
C
D
)y个
gx)=x2-4x44
0
1
I
X
x=-11
x=2
f0-(x+1)
y不
4
3
O
X
-2
y个
1
-10
1
X
0
y个
1
-10
1
X
-1
2
1
1-
X
1
1+√2
3
y
32
1
10
12
3
X
1
4
y个
y个
1
X
A
B
y
y个
X
C
D
I
0
-1
X
I
i
y
y
X
A
B
X
X
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D
y
0
1
x
y个
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y=
2024
-2
-1
1
2
x
y
2
-9》
0
无微练(十八) 函数的图象
基础过关
一、单项选择题
1．为了得到函数y＝log2(2x＋2)的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有的点( )
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．函数f(x)＝1－的图象大致为( )
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为( )
A．(2,5)
B．(－5，－2)∪(2,5)
C．(－2,0)
D．(－2,0)∪(2,5)
4．(2024·山东一模)函数f(x)＝，则y＝f(x)的部分图象大致形状是( )
5．(2025·长沙模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(－x)－1，则g(x)的图象大致是( )
6．(2025·天津模拟)y＝f(x)的大致图象如图，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝|x2－sin x|
B．f(x)＝|x－sin x|
C．f(x)＝|2x－1|
D．f(x)＝
7．(2025·郑州模拟)已知函数f(x)＝－x＋1＋log2x，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(0,2)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(1,2)
D．(0,1)∪(2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝－2(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(0,1) D．(1，＋∞)
二、多项选择题
9．设函数f(x)＝ln x，则下列说法正确的有( )
A．函数f(x)的图象与函数y＝ln(－x)的图象关于x轴对称
B．函数f(|x|)的图象关于y轴对称
C．函数|f(x＋1)|的图象在(0，＋∞)上单调递减
D．<|f(4)|
10．定义min{a，b}＝设f(x)＝min{(x－1)2，x＋1}，则下列结论正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．当x≤0时，f(x)的最大值为1
C．不等式f(x)≤1的解集为(－∞，2]
D．f(x)的单调递减区间为(0,1)
三、填空题
11．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为________．
12．函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为________．
13．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________．
素养提升
14．(2024·东北三省联考)若关于x的方程ax＋2a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－，0] B．
C． D．(－1,0]
15．(2025·湖北模拟)函数f(x)＝(x－1)2cos(πx)－1在区间[－2,4]上的所有零点之和为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
16．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是________．
微练(十八) 函数的图象
1．C 解析 因为y＝log2(2x＋2)＝log2[2×(x＋1)]＝log22＋log2(x＋1)＝log2(x＋1)＋1，所以为了得到函数y＝log2(2x＋2)的图象，只需把函数y＝log2x的图象上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度．故选C.
2．C 解析 函数f(x)＝1－的图象是将函数y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；又由于函数y＝－的图象关于原点中心对称，所以f(x)＝1－的图象关于(－1,1)中心对称，所以C正确．
3．D 解析 因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在x∈[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．故选D.
4．A 解析 易知函数的定义域为R，因为y＝是奇函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)是偶函数，排除B、D，当x∈(0，π)时，y＝>0，y＝sin x>0，所以f(x)>0，排除C，故选A.
5．B 解析 作出函数f(x)的图象如图所示．由题意知，将f(x)的图象沿y轴翻折，再向下平移一个单位长度即可得到g(x)＝f(－x)－1的图象．故选B.
6．A 解析 因为f(0)＝0，所以排除D；C项，因为当x>0时f(x)＝2x－1，为(0，＋∞)上的增函数，与所给图象不符，所以排除C；B项，因为f(－x)＝|－x－sin(－x)|＝|－x＋sin x|＝|x－sin x|对x∈R都成立，所以f(x)为偶函数，与所给图象不符，所以排除B.故选A.
7．D 解析 函数f(x)＝－x＋1＋log2x的定义域为(0，＋∞)，且f(1)＝f(2)＝0，由f(x)<0可得log2x8．A 解析 原问题等价于函数y＝|ax－1|的图象与直线y＝2a有两个公共点，当01时，则有2a>2，结合图②知a>1不符合条件．故选A.
9．BD 解析 由函数图象对称变换的规律可知，y＝ln(－x)的图象与y＝ln x的图象关于y轴对称，所以A错误；y＝f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；由函数图象变换可知，|f(x＋1)|的图象如图所示，函数y＝|f(x＋1)|在(0，＋∞)上单调递增，C不正确；＝＝ln 3，|f(4)|＝|ln 4|＝ln 4，因为函数y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 310．BCD 解析 由题意得f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，根据图象，可得f(x)无最大值，无最小值，所以A错误；根据图象得，当x≤0时，f(x)的最大值为1，所以B正确；由f(x)≤1得，(x－1)2≤1，解得0≤x≤2，结合图象，得不等式f(x)≤1的解集为(－∞，2]，所以C正确；由图象得，f(x)的单调递减区间为(0,1)，所以D正确．故选BCD.
11．(－1,0)∪(1,3) 解析 根据函数f(x)是周期为4的偶函数，以及当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，画出函数图象如图所示，由图可知，当x∈(－1,0)时，f(x)<0，xf(x)>0符合题意；当x∈(1,3)时，f(x)>0，xf(x)>0符合题意．综上所述，不等式的解集为(－1,0)∪(1,3)．
12．4＋ 解析 函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象如图，当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，当x<0时，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)，结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋.
13. 解析 不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当014．B 解析 方程ax＋2a＋＝0有两个不相等的实数根等价于＝－a(x＋2)有两个不相等的实数根，设y＝，y≥0，y＝－a(x＋2)，问题转化为y＝，y≥0的图象与y＝－a(x＋2)的图象有两个不同的交点，如图，半圆的圆心为(2,0)，半径为2，故圆心到直线的距离<2，解得－15．B 解析 因为f(x)＝(x－1)2cos(πx)－1，所以f(2－x)＝(2－x－1)2cos[π(2－x)]－1＝(1－x)2cos(2π－πx)－1＝(x－1)2cos(πx)－1＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x＝1时，f(x)＝－1≠0.当x≠1时，令f(x)＝0，得cos(πx)＝，x＝2时，cos 2π＝＝1，x＝4时，cos 4π＝1>＝，在同一直角坐标系中画出y＝cos(πx)，y＝的图象，如图所示，y＝cos(πx)，y＝的图象在区间(1,4]上有且仅有3个交点，所以在区间[－2,4]上的所有的零点之和为3×2＝6.故选B.
16. 解析 因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1)．因为x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)∈，所以x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈；所以x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1,0]．如图，当x∈(2,3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝.若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤，则m的取值范围是.(共31张PPT)
微练(十八)
函数的图象
基础过关
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