第八节 函数模型的应用
【课程标准】 1.了解一元一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征及差异，理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用.
教|材|回|顾
1．三种函数模型性质比较
y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上 的单调性 单调______ 单调______ 单调______
增长速度 越来越____ 越来越____ 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与____轴行 随x值增大，图象与____轴行 随n值变化而不同
[微点清] “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
2．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数 相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0)
与对数函数 相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1，b≠0)
与幂函数 相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
微|点|延|伸
1．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
2．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
小|题|快|练
1．用长度为24 m的材料围成一中间带有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大(忽略隔墙所占面积)，则隔墙的长度为( )
A．2 m B．3 m
C．4 m D．5 m
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
4．一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之一.
类型一 用函数图象的变化刻画变化过程
【例1】 (多选题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
以图表为工具记录数据，是生活中形象化处理数据的常用手段，这类问题一般不难，看清楚图中横、纵轴的意义，明白图象走势代表的变化关系，即可轻松得解．
【训练1】 (多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油
D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
类型二 已知函数模型的实际问题
【例2】 (多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
求解已给函数模型的实际问题的关注点
1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
3．利用该模型求解实际问题．
【训练2】 (2025·江苏南京一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝·a，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
类型三 构建函数模型的实际问题
【例3】 一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1 h)( )
A．4.2 h B．2.3 h
C．8.8 h D．7.2 h
解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．以上过程可简洁表述为：
―→―→―→
【训练3】 (2024·广东一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过________天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)( )
A．23 B．100
C．150 D．232
第八节 函数模型的应用
必备知识·梳理
教材回顾
1．递增 递增 递增 快 慢 y x
小题快练
1．B 解析 设隔墙的长度为x m(0
2．B 解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．故选B.
3．B 解析 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.
4．16 解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，若容器中的细砂只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，即t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一．
关键能力·落实
【例1】 ABC 解析 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，C正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故D错误．
【训练1】 CD 解析 对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都超过5 km，故A错误．对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错误．对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，故C对．对于D选项：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对．故选CD.
【例2】 ACD 解析 因为Lp＝20×lg随着p增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
【训练2】 B 解析 设火星的公转周期为T1，椭圆轨道的长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，椭圆轨道的长半轴长为a2，则T1＝8T2，且得＝＝8，所以＝4，即a1＝4a2.故选B.
【例3】 B 解析 设应在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药，则血液中的含药量y(单位：mg)与注射后的时间x的关系式为y＝2 500(1－20%)x，由题意可得2 500(1－20%)x>1 500，整理可得x>，所以logx【训练3】 B 解析 设甲和乙刚开始的“日能力值”为1，且n天后，甲的“日能力值”是乙的20倍，则n天后甲、乙的“日能力值”分别为(1＋2%)n，(1－1%)n，依题意，得＝20，即n＝20，两边取常用对数得nlg＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍．故选B.(共29张PPT)
第八节
第二章 函数与基本初等函数
函数模型的应用
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
用函数图象的变化刻画变化过程
解析
解析
类型二
已知函数模型的实际问题
解析
解析
解析
类型三
构建函数模型的实际问题
解析
解析
R
赢在欲点
W
甲企业
乙企业
乙企业
污水达标排放量
甲企业
t
t
ts
t
燃油效率/(km/L)
15
甲车
10
乙车
5
丙车
0
40
80
速度/km/h微练(二十) 函数模型的应用
基础过关
一、单项选择题
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
2．“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y＝描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )
A．5小时 B．6小时
C．7小时 D．8小时
3．(2025·湖南长沙模拟)函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能为( )
x －2 －1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．f(x)＝ka|x|＋b
B．f(x)＝kxex＋b
C．f(x)＝k|x|＋b
D．f(x)＝k(x－1)2＋b
4．(2025·北京西城一模)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y＝1－0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．2小时 B．0.8小时
C．0.5小时 D．0.2小时
5．(2025·安徽合肥质检)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被叫做半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为( )
A．－2＋＝
B．2＋＝
C．－2＋log2＝log2
D．2＋log2＝log2
6．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10 000倍，大约需要经过(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．17天 B．19天
C．23天 D．25天
二、多项选择题
7．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部正在研究如何定价．进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表：
销售单价/元 8 9 10 11 12 13
日均销售量/桶 240 220 200 180 160 140
已知该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为300元，每桶水的进价是5元，销售单价必须是整数．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A．为使该经营部盈利，每桶水的售价不应低于7元
B．为使该经营部每天获得的利润不少于100元，每桶水的售价不应低于8元
C．为使该经营部获得的利润最大，每桶水的售价应该定为12元或13元
D．通过合理定价，该经营部每日获得的利润可达800元以上
8．已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10－4.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表．若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1，p2，p3，则( )
阶梯 平均海拔/m
第一级阶梯 ≥4 000
第二级阶梯 1 000～2 000
第三级阶梯 200～1 000
A．p1≤ B．p0C．p2≤p3 D．p3≤e0.18p2
三、填空题
9．(2025·河南适应性考试)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
10．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
11．某银行拟在乡村开展小额贷款业务，根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为________万元．(参考数据：ln 3≈1.1，ln 2≈0.7)
四、解答题
12．LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W(x)＝x2＋x，在年产量不小于6万件时，W(x)＝7x＋－39.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
13.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
素养提升
14．(2025·陕西模拟)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似符合：Q(t)＝(其中e为自然对数的底数，e≈2.718 28…)，给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是( )
A．该生物群的数量不超过10
B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D．该生物群的数量的增长速度最大的时间t0∈(2,3)
15．(多选题)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)( )
A．t2＝20 B．28≤t1≤30
C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6
微练(二十) 函数模型的应用
1．C 解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.
2．C 解析 由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，即y≤200.因为y＝所以当0≤t≤12时，只需－10t＋290≤200，解得9≤t≤12，当123．A 解析 由函数f(x)的数据可知，f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函数满足此性质，可排除B、D；当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A.
4．C 解析 根据题意得＝1－0.6t0.27，整理得＝t0.27，两边取常用对数，得lg ＝0.27lg t，即1－lg 3－2lg 2＝0.27lg t，所以lg t＝≈＝－，则t＝10－≈10－0.3≈10lg＝0.5，故选C.
5．B 解析 设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为，乙的质量为，由题意可得＝·＝2＋，所以2＋＝.故选B.
6．C 解析 经过x天后，“进步”与“落后”的比≥10 000，所以x≥10 000，两边取以10为底的对数得x·lg≥4，又lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，所以x·(lg 3－lg 2)＝x(0.477－0.301)＝0.176x≥4，解得x≥≈22.73，所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10 000倍．故选C.
7．ACD 解析 根据表格可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少20桶．设每桶水的价格为(8＋x)元，公司日利润为f(x)元，则f(x)＝(8＋x－5)(240－20x)－300＝20[(3＋x)(12－x)－15]＝20(－x2＋9x＋21)，当每桶水定价低于7元，即x<－1时，有x≤－2，故f(x)≤f(－2)＝－20，故A正确；当每桶水定价为7元，即x＝－1时，f(－1)＝220，故B错误；直线x＝4.5是f(x)的对称轴，距离4.5最近的整数是4和5，此时每桶水的售价是12元或13元，故C正确；由f(4)＝f(5)＝820知D正确．故选ACD.
8．ACD 解析 设在第一级阶梯某处的海拔为h1，则ln p0－ln p1＝10－4h1，即h1＝104ln.因为h1≥4 000，所以104ln≥4 000，解得p1≤，故A正确；由ln p0－ln p＝kh，得ekh＝.当h>0时，ekh＝>1，即p0>p，所以p0>p3，故B错误；设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，则两式相减可得ln＝10－4(h2－h3)．因为h2∈[1 000,2 000]，h3∈[200,1 000]，所以h2－h3∈[0，1 800]，则0≤ln≤10－4×1 800＝0.18，即1≤≤e0.18，故p2≤p3≤e0.18p2，故C、D均正确．故选ACD.
9．4.24 解析 因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
10．2 500 解析 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)取得最大值为2 500万元．
11．5 解析 由题意得，当x＝9时，P＝50%，则＝50%，得e－0.9＋9k＝1，所以9k－0.9＝0，得k＝0.1，所以P(x)＝，当P＝40%时，＝40%，得3e－0.9＋0.1x＝2，所以e－0.9＋0.1x＝，所以－0.9＋0.1x＝ln＝ln 2－ln 3≈0.7－1.1，解得x＝5，所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5万元．
12．解 (1)因为每件产品售价为6元，所以x万件产品的销售收入为6x万元．依题意得，当0(2)当013．解 (1)由题意，可得方程组解得
(2)由(1)知y＝128×t.由题意，可得128×t≤0.5，即t≤8，即t≥8，解得t≥32.所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
14．C 解析 对于A，Q(t)＝＝10－，则该生物群的数量不超过10，A正确．对Q(t)＝求导得Q′(t)＝＝＝，可得该生物群的数量的增长速度与种群数量不成正比，令f (t)＝et＋81e－t，则f′(t)＝et－81e－t，令f′(t)＝0，解得t＝ln 9，当0≤t≤ln 9时，f′(t)≤0，f(t)单调递减，t>ln 9时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t＝ln 9时，f(t)取得极小值，且为最小值，此时Q′(t)取得最大值，则该生物群的数量的增长速度先变大后逐渐变小，该生物群的数量的增长速度最大的时间t0＝ln 9，而由ln 9＝2ln 3∈(2,3)，知B、D正确．故选C.
15．BC 解析 由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e－0.05t.当θ＝30时，30＝10＋(θ1－10)e－0.05t1，即e－0.05t1＝，－0.05t1＝ln，则t1＝20ln ，t1是关于θ1的单调递增函数，当θ1＝90时，t1＝20ln＝20ln 4＝40ln 2≈40×0.7＝28，当θ1＝100时，t1＝20ln＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈20×(2×1.1－0.7)＝30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈20×1.1＝22,8≥t1－t2≥6，故A、D错误；当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈20×0.7＝14，此时，t1≥2t3，故C正确．故选BC.(共34张PPT)
微练(二十)
函数模型的应用
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
素养提升
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析