(共45张PPT)
第七章 万有引力与宇宙航行
章末整合 素养提升
●知识网络构建
●高考真题专练
热点专练1：万有引力理论的成就
1．(2023·江苏选择考·T4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
2．(2023·浙江6月选考·T9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则( )
4．(2023·辽宁选择考·T7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
5．(2023·新课标全国卷·T17)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
6．(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地飘浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
7．(2022·广东选择考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
8．(2022·河北选择考)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转线速度大小的比值为( )
9.(2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
10.(多选)(2022·辽宁选择考)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在星图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
11．(2021·全国甲卷·T18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B.6×106 m
C．6×107 m D.6×108 m
12.(2021·全国乙卷·T18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量的黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A.4×104M
B.4×106M
C.4×108M
D.4×1010M
13．(2021·河北选择考·T4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( )
14．(2021·广东选择考·T2)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
15.(2021·山东等级考·T5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B.9∶2
C．36∶1 D.72∶1
热点专练2：宇宙速度
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
解析：质量均匀分布的同一恒星表面任意位置，物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，
17．(2022·湖北选择考)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是( )
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
D．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
热点题型3：卫星的追击相遇问题
19．(2023·湖北选择考·T2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前第七章 素能测评卷
(时间：75分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。)
1．关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )
A．开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆
B．卡文迪什通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
C．第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律
D．牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
解析：第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据，最终得出了行星的运动规律，故A、C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验比较准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪什，卡文迪什通过对几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故B正确；牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。故选B。
2．下列说法正确的是( )
A．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
B．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力
C．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度
D．若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行
解析：行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，根据开普勒第二定律可知，离太阳越远，运行速率越小，故A错误；万有引力定律适用于可以视为质点的两个物体，当两物体间的距离趋近于零时，不再适用，故B错误；第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故C错误；若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体脱离了地球的束缚，但没有脱离太阳的束缚，故物体可绕太阳运行，故D正确。故选D。
3．如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a未发射在地球赤道上随地球一起转动，b为近地轨道卫星，c为地球同步卫星，d为高空探测卫星，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列关于四卫星的说法正确的是( )
A．a卫星的向心加速度等于重力加速度g
B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积
C．c、d卫星轨道半径的三次方与周期的平方之比相等
D．b卫星的运行周期大于a卫星随地球自转的周期
解析：设地球质量为M，地球半径为R，对于a卫星有G－mg＝ma，所以G－g＝a，A错误；根据牛顿第二定律得G＝m，卫星与地心连线单位时间扫过的面积为S＝vr，联立解得S＝，两卫星半径不同，所以扫过的面积不同，B错误；根据开普勒第三定律，c、d卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；根据万有引力提供向心力可得＝mr，解得T＝∝，可知b卫星的运行周期小于c卫星的运行周期，又因为c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，故b卫星的运行周期小于a卫星随地球自转的周期，D错误。故选C。
4．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1 AU，周期很长(200年以上)。已知地球的轨道半径为1 AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是( )
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
解析：根据开普勒第二定律可知百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，且在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故A、D错误；根据开普勒第三定律可知＝k，由于百武彗星的周期大于地球的周期，所以百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径，故B正确；根据开普勒第一定律可知太阳位于椭圆轨道的焦点上，故C错误。故选B。
5．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为R，质量分布均匀，不断自转的球体。“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T。“祝融号”与着陆器总质量为m，假如登陆后运动到火星赤道，静止时对水平地面压力大小为F，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．火星自转角速度大小为
B．火星自转角速度大小为
C．火星的质量为
D．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度
解析：由题知，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T，可得“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的角速度为ω＝，故A错误；“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝m′R，解得火星质量为M＝，当“祝融号”与着陆器登陆后运动到火星赤道，并静止，则有G＝mg＋mωR，mg＝F，联立解得ω自＝，故B正确；若不考虑火星自转的影响，则有G＝mg＝F，解得火星的质量为M＝，由题可知，火星的自转不可忽略，故火星的质量不等于，故C错误；“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝m′a1，解得a1＝，在火星赤道上随火星自转的物体，则有G＝mg＋ma2，解得a2＝－g
6．2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第55颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成。北斗卫星导航系统由不同轨道的卫星构成，其中北斗导航系统第41颗卫星为地球同步轨道卫星，它的轨道半径约为4.2×107 m。第44颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星，运行周期等于地球的自转周期24 h。两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，如图所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法中不正确的是( )
A．两种同步卫星的轨道半径大小相等
B．两种同步卫星的运行速度都小于第一宇宙速度
C．根据题目数据可估算出地球的平均密度
D．地球同步轨道卫星的向心加速度大小大于赤道上随地球一起自转的物体的向心加速度大小
解析：同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得r＝，两种同步卫星的周期都与地球自转周期相同，所以两种同步卫星的轨道半径大小相等，故A正确，不符合题意；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是圆周运动的最大环绕速度。所以地球同步卫星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确，不符合题意；已知同步卫星的轨道半径与周期，由G＝mr，可以求出地球的质量，但由于不知道地球的半径，所以不能求出地球的密度，故C错误，符合题意；同步卫星与赤道上的物体具有相同的周期和角速度，根据公式a＝ω2r得同步卫星的向心加速度比静止在赤道上物体的向心加速度大，故D正确，不符合题意。故选C。
7．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”；当某行星恰好运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知太阳系八大行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，某颗小行星轨道半径为4 AU(AU为天文单位)。下列说法正确的是( )
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星会发生冲日现象
B．木星会发生凌日现象
C．火星相邻两次冲日的时间间隔最短
D．小行星相邻两次冲日时间间隔约为1.1年
解析：行星处在太阳与地球之间，三者排列成一条直线时会发生凌日现象，由此可知：只有位于地球和太阳之间的水星和金星才能发生凌日现象；地球在绕日运行过程中处在太阳与行星之间，三者排列成一条直线时会发生冲日现象，所只有位于地球公转轨道之外的行星才会发生冲日现象，所以金星会发生凌日现象，木星会发生冲日现象，故A、B错误；地球公转周期为T＝1年，地外行星的公转周期为T′，如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有－＝1，解得t＝＝，故地外行星中，火星距地球最近，其公转周期T′最小，所以火星相邻两次冲日的时间间隔最长，故C错误；若地球的公转轨道半径为r，则小行星的公转轨道半径为4r，公转周期为T′，根据开普勒第三定律可得＝，解得T′＝8T＝8年，由此可得：两次冲日现象的时间间隔t＝年≈1.1年，故D正确。故选D。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多个选项符合题意，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分。)
8．2007年10月24日18时05分，长征三号甲运载火箭托举着“嫦娥一号”卫星顺利升空，开始了中国人的探月之旅。通过适时变轨，使“嫦娥一号”先后经历16 h、24 h和48 h轨道，于10月31日将“嫦娥一号”加速至10.58 km/s后进入地月转移轨道。11月2日在“嫦娥一号”奔向月球的过程中，对卫星飞行航向实施了一次必要的修正。11月5日，对“嫦娥一号”卫星第一次实施成功的减速，使它成为真正的绕月卫星，之后又经过适时的减速，经3.5 h轨道过渡到周期约为2 h的工作轨道上。“嫦娥一号”奔月整个过程的轨道变化情况示意图如图所示，对于“嫦娥一号”卫星的运动过程，下列说法中正确的是( )
A．“嫦娥一号”卫星每次运动到绕地轨道近地点和绕月轨道近月点时都需要加速
B．“嫦娥一号”卫星在绕地球运行的轨道上进行最后一次加速后进入地月转移轨道，并在地月转移轨道途中对卫星飞行航向实施了必要的修正
C．“嫦娥一号”卫星在绕地轨道远地点时一定做近心运动
D．“嫦娥一号”卫星在月球附近至少需要经历三次减速，才能使“嫦娥一号”卫星进入绕月球飞行的工作轨道
解析：每次运动到绕地轨道近地点时都需要加速，运动到绕月轨道近月点时都需要减速，A错误；由题目中，于10月31日将“嫦娥一号”加速至10.58 km/s后进入地月转移轨道。11月2日在“嫦娥一号”奔向月球的过程中，对卫星飞行航向实施了一次必要的修正，知B正确；“嫦娥一号”卫星在绕地轨道远地点时，万有引力大于向心力，故此时“嫦娥一号”卫星做近心运动，C正确；由题目中，11月5日，对“嫦娥一号”卫星第一次实施成功的减速，使它成为真正的绕月卫星，之后又经过适时的减速，经3.5 h轨道过渡到周期约为2 h的工作轨道上，D正确。故选BCD。
9．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为( )
A．2π B.
C. D.2π
解析：设地球赤道上有一质量为m的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动，则物体与地球之间的万有引力提供所需的向心力，则有G＝mω2R，解得ω＝，A错误，B正确；在地球北极表面附近有G＝mg，则有GM＝gR2，解得ω＝，C正确，D错误。故选BC。
10．设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，宇航员可通过竖直的电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的有( )
A．随着r增大，宇航员的线速度增大
B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
D．随着r增大，宇航员感受到“重力”也增大
解析：对于相对地面静止在不同高度的宇航员，因为地球自转角速度不变，根据v＝ωr可知，宇航员的线速度随着r的增大而增大，故A正确；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，所以宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处即在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，由牛顿第二定律可得－FN＝mω2r，其中FN为太空舱对宇航员的支持力，宇航员感受的“重力”为FN＝－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图可知在R三、非选择题(本题共5小题，共54分。)
11．(12分)某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估测太阳半径，再利用万有引力定律估算太阳的密度，准备的器材有：①不透光圆筒，一端封上不透光的厚纸，其中心扎一小孔，另一端封上透光的薄纸(如图甲所示)；②毫米刻度尺。某次实验中该组同学绘出了太阳通过小孔成像的光路图(如图乙所示)，图中CD线段表示太阳的直径，AB线段表示太阳的像。已知地球绕太阳公转的周期为T，万有引力常量为G。则：
(1)为估算太阳的密度，实验中需要测量的物理量是图乙中的：_太阳像的直径d__和_圆筒长L__。
(2)设太阳到地球的距离为r，根据小孔成像原理估测太阳半径的表达式为：R＝ 。
(3)由本实验中所测量的物理量，推算出的太阳密度的表达式为ρ＝ 。
解析：(1)为了测定太阳的密度，还需要测量太阳像的直径d和圆筒长L。
(2)设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r，由成像光路可知△ABO∽△CDO
则＝
解得R＝。
(3)地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，则＝m
体积V＝πR3
由密度公式ρ＝
联立解得ρ＝。
12．(9分)宇航员站在一星球表面高h处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，球落到星球表面的水平射程为s，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g0；
(2)该星球的质量M。
答案：(1) (2)
解析：(1)近似认为小球受到的万有引力恒定，由星球表面物体受到的重力等于万有引力可知小球只受重力作用，故小球做平抛运动，由平抛运动规律可得s＝v0t，h＝g0t2
所以，该星球表面的重力加速度为g0＝。
(2)由星球表面物体受到的重力等于万有引力可得mg0＝G
所以，该星球的质量为M＝＝。
13．(9分)一宇宙飞船绕质量为M的行星做匀速圆周运动，运动的轨道半径为r，已知引力常量为G，行星的半径为R。求：
(1)飞船绕行星做圆周运动的线速度v；
(2)飞船绕行星做圆周运动的周期T；
(3)行星表面的重力加速度g。
答案：(1) (2)2π (3)
解析：(1)绕行星运动的宇宙飞船，万有引力提供向心力，所以G＝m
解得v＝。
(2)绕行星运动的宇宙飞船T＝
解得T＝2π。
(3)在行星表面G＝mg
解得g＝。
14．(12分)北京时间2022年6月5日，神舟十四号飞船成功发射后，与空间站天和核心舱成功对接，6月6日航天员陈东、刘洋、蔡旭哲顺利进入天和核心舱。三位航天员承担着空间站的在轨建造任务，将在轨工作6个月。已知地球半径为R，空间站距离地面高度为h，地球表面重力加速度为g，万有引力常量G，求：
(1)地球的平均密度；
(2)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期；
(3)若已知空间站的高度h＝，同步卫星距离地面的高度为空间站高度90倍，试计算空间站的运行周期约为多少小时？(已知地球自转周期为24小时，计算结果保留两位有效数字)
答案：(1) (2)2π (3)1.5小时
解析：(1)假设地球表面一质量为m的物体，其受到的万有引力等于重力，所以有＝mg
解得地球质量为M＝
则地球的平均密度为ρ＝＝＝。
(2)空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，所以有＝m·(R＋h)
解得周期为T＝2π。
(3)设一物体绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，所以有＝m·r
则通过公式可以得出，不同轨道半径的物体绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径与周期的关系满足＝
则根据题意可知，空间站与同步卫星的轨道半径分别为r1＝R＋＝R＝17h
r2＝R＋×90＝R＝106h
所以可以得到空间站的周期为
T1＝＝≈1.5 h。
15．(12分)如图所示，宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出地球的张角为α。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不考虑地球公转的影响。求：
(1)飞船运行的高度h；
(2)飞船绕地球一周经历“日全食”过程的时间t。
答案：(1)R (2)α
解析：(1)几何关系sin ＝
飞船高度h＝r－R
解得h＝R。
(2)飞船绕地球做圆周运动
G＝m2r
每次“日全食”对应的圆心角β＝α
又β＝ωt
ω＝
解得t＝α。
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