(共48张PPT)
第七章 万有引力与宇宙航行
专题强化3 宇宙航行中的三个典型题型
提升点1 宇宙航行——卫星变轨问题
1．变轨问题概述
2．变轨问题分析
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v大小不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(3)两个不同圆轨道上的线速度v大小不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。
典题1：如图，我国发射“神舟十五号”飞船时，先将飞船发射到一个椭圆轨道上，其近地点M距离地面200 km，远地点N距离地面340 km。飞船进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2。当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3。比较v1、v2和v3及飞船在正常运行中经过M、N、P三点时的加速度大小，下列结论正确的是( )
A．v1>v3>v2，a1>a3>a2 B.v1>v3>v2，a1>a2＝a3
C．v1>v2＝v3，a1>a2>a3 D.v1>v2>v3，a1>a2＝a3
思维点拨：搞清楚卫星受万有引力大小和需要的向心力大小的关系再分析。
?[规律方法]
[规律方法]
(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同。
跟踪训练1：(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
提升点2 宇宙航行——追及相遇问题
绕同一天体运行且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到第二次相距最近，实际情况就是周期小的(角速度大的)比周期大的多转过了2π弧度，从第一次相距最近到第一次相距最远实际情况就是周期小的(角速度大的)比周期大的多转过了π弧度，最远和最近均为“三点一线”。
典题2：2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功将3名航天员送入空间站。假定空间站在距地面450 km高度处做理想的匀速圆周运动，每天绕地球大约19圈。某时刻“北斗”系统中的中轨道卫星A与空间站相距最近如图所示，该中轨道卫星距地面高度为2.1×107 m，地球半径为6.4×106 m，卫星A和空间站的运行轨道在同一平面内且运行方向相同，则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置)，下列说法正确的是( )
A．空间站绕地球运动的线速度大于7.9 km/s
B．轨道卫星A绕地球运动周期大于空间站的周期
C．轨道卫星A绕地球运动的向心加速度大于空间站的向心加速度
D．在卫星A运行一周时间内，空间站与卫星A相距最近的次数为19次
思维点拨：对空间站与卫星A相距最近，可看成在操场上跑步套圈去理解。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)。
(2)圈数关系
跟踪训练2：如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，此时，a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转角速度为ω，若“天宫一号”飞行器a和卫星b、c均沿逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则( )
A．“天宫一号”飞行器a的线速度小于卫星b的线速度
B．“天宫一号”飞行器a在轨运行的周期大于24小时
C．卫星c加速就一定能追上卫星b
提升点3 宇宙航行——双星和多星问题
1．双星系统的特点
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
典题3：(多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
思维点拨：“双星系统”中两星有共同的圆心但半径不一定相等，它们之间的距离不是半径。
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练3：某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为( )
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1.2022年1月22日，我国实践21号卫星(SJ－21)将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道”上。拖拽时，航天器先在P点加速进入转移轨道，而后在Q点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器( )
A．在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期
B．在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度
C．在转移轨道上经过Q点的速度大于在墓地轨道上经过Q点的速度
D．在同步轨道上经过P点的加速度大于在转移轨道上经过P点的加速度
2．2023年10月26日11时14分，中国自主研发的神舟十七号载人飞船发射升空，经过对接轨道后成功与空间站天和核心舱前向端口对接，形成三舱三船组合体。空间站轨道可近似看成圆轨道，距离地面的高度约为390 km，已知同步卫星距地球表面高度约为36 000 km，下列说法正确的是( )
A．神舟十七号的发射速度大于7.9 km/s
B．神舟十七号在对接轨道上的运行周期大于空间站的运行周期
C．天和核心舱绕地球公转的线速度比赤道上的物体随地球自转的线速度小
D．神舟十七号从对接轨道变轨到空间站轨道时，需点火减速
A．2次 B.4次
C．6次 D.8次
4.(多选)如图所示，星球P和星球Q组成稳定的双星系统，星球P绕O点做匀速圆周运动的轨道半径为r1，星球Q绕O点做匀速圆周运动的半径为r2，两星球的质量之和为M，引力常量为G，星球P、Q均可视为质点，不考虑其他天体对两星球的作用，下列说法正确的是( )第七章 专题强化3
课后知能作业
基础巩固练
1．2023年4月24日是“中国航天日”，我国正在进行月球探测的四期工程，如图为某次发射月球探测航天器的部分过程，航天器从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，再变轨到轨道Ⅲ，在A、B两点该航天器点火变速。已知地球半径为R，轨道Ⅰ为近地轨道，轨道Ⅲ离地高度2R，轨道Ⅰ、Ⅲ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道；轨道Ⅰ和Ⅱ相切于A点，轨道Ⅱ和Ⅲ相切于B点。设航天器在Ⅱ和Ⅲ轨道上运行的周期分别为T2和T3，下列说法正确的是( )
A．T2∶T3＝2∶3
B．航天器在轨道Ⅰ上运行的速度小于在轨道Ⅲ上运行的速度
C．航天器分别在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行时，在相等时间内航天器与地心连线扫过的面积相等
D．航天器从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ时需要在B处减速
解析：根据开普勒第三定律可知＝，解得T2∶T3＝2∶3，故A正确；根据万有引力提供向心力有＝m，解得v＝，航天器在轨道Ⅰ上运行的速度大于在轨道Ⅲ上运行的速度，故B错误；根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上相同时间内环绕天体(航天器)与地心连线扫过的面积相等，故C错误；航天器从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ时需要在B处点火加速做离心运动，故D错误。故选A。
2．2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。登陆火星前，“天问一号”多次变轨示意图如图所示，轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点。除变轨瞬间，“天问一号”在轨道上运行时均处于无动力航行状态。下列说法正确的是( )
A．“天问一号”在P点从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要进行点火加速
B．“天问一号”在轨道Ⅲ上的周期大于在轨道Ⅱ上的周期
C．“天问一号”在轨道Ⅲ上Q点的加速度大于在轨道Ⅱ上S点的加速度
D．“天问一号”从轨道Ⅲ上的Q点到P点运行过程中，线速度越来越大
解析：卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“天问一号”在P点从轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要进行点火减速，故A错误；根据开普勒第三定律可得＝，由于轨道Ⅲ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，所以“天问一号”在轨道Ⅲ上的周期小于在轨道Ⅱ上的周期，故B错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，则有a＝，由于Q点离火星的距离小于S点离火星的距离，则“天问一号”在轨道Ⅲ上Q点的加速度大于在轨道Ⅱ上S点的加速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知，“天问一号”从轨道Ⅲ上的Q点到P点运行过程中，线速度越来越小，故D错误。故选C。
3．北京时间2023年10月26日，“神舟十七号”飞船与天和核心舱成功对接，中国空间站变成了“三舱三船组合体”，在距离地面约400 km的轨道绕地球做匀速圆周运动，完成交接仪式后，“神舟十六号”飞船返回舱脱离空间站，于10月31日成功着陆，下列说法正确的是( )
A．组合体绕地球运行的速度可能大于7.9 km/s
B．组合体做匀速圆周运动时，“神舟十六号”与“神舟十七号”受到地球的引力大小相等
C．组合体绕地球运行一圈的时间小于24 h
D．返回舱脱离了空间站后，应向后喷气使其轨道高度不断降低
解析：地球第一宇宙速度等于地球表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，根据＝m，可得v＝，可知组合体绕地球运行的速度小于7.9 km/s，故A错误；组合体做匀速圆周运动时，“神舟十六号”与“神舟十七号”的质量不一定相等，受到地球的引力大小不一定相等，故B错误；卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得＝mr，可得T＝，由于组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以组合体绕地球运行一圈的时间小于24 h，故C正确；返回舱脱离了空间站后，应向前喷气使其轨道高度不断降低，故D错误。故选C。
4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为( )
A.T B.T
C.T D.T
解析：设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有G＝m1r1，
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L，解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T′＝2π＝T。故选B。
5.(多选)2022年3月23日，“天宫课堂”进行了第二次授课活动。授课过程中信号顺畅不卡顿，主要是利用天链系列地球同步轨道卫星进行数据中继来实现的。如图所示，天链卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入圆形同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g0，卫星质量保持不变，则下列说法中正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运动的周期均与地球自转周期相同
B．卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B点的加速度大小相同
C．卫星在轨道Ⅲ上的运行速率小于
D．卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时，火箭需在A点点火向前喷气
解析：在同步轨道Ⅲ运行时卫星属于同步卫星，与地球自转周期保持相同，轨道Ⅰ属于近地卫星轨道，与地球自转不同步，A错误；根据万有引力充当合外力，则有G＝ma，经过B点时与地心距离相同，所以加速度相同，B正确；在地面上，则有G＝mg0，对于轨道卫星，则有G＝m，可解得v＝，C正确；卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时做离心运动，需要加速，故火箭需在A点点火向后喷气，D错误。故选BC。
6.(多选)随着科技的发展，人类的脚步已经踏入太空，并不断向太空发射人造卫星以探索地球和太空的奥秘。如图所示为绕地球旋转的两颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的角速度分别为ω1、ω2。关于它们的运动，下列说法正确的是( )
A．卫星1绕地球旋转的周期小于卫星2
B．卫星1绕地球旋转的角速度小于卫星2
C．卫星1绕地球旋转的向心加速度小于卫星2
D．若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，我们说此时两颗卫星相距最近。从此时开始计时，两卫星要再次相距最近，需要的时间为t＝
解析：根据G＝mr＝mω2r＝ma得T＝，ω＝，a＝，卫星1的运动半径小于卫星2的运动半径，则卫星1绕地球旋转的周期小于卫星2，卫星1绕地球旋转的角速度大于卫星2，卫星1绕地球旋转的向心加速度大于卫星2，A正确，B、C错误；两卫星要再次相距最近，卫星1比卫星2多转动一周，则ω1t－ω2t＝2π得t＝，D正确。故选AD。
能力提升练
7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示，三颗恒星位于同一直线上，两颗环绕星甲、丙绕中央星乙在同一半径的圆轨道上运行，假设甲、丙的质量均为m，圆周运动的轨道半径均为R，向心加速度的大小均为a，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．甲对丙的引力大小为
B．甲的速度大小为aR
C．乙的质量为－
D．丙对乙的引力大小为－ma
解析：甲对丙的引力大小F1＝，A项错误；由a＝，可得甲的速度大小为v＝，B项错误；对甲有F1＋＝ma，综合解得乙的质量为m乙＝－，C项正确；设乙对丙的引力大小为F2，对丙有F1＋F2＝ma，综合解得F2＝ma－，由牛顿第三定律可知，丙对乙的引力大小F2′＝ma－，D项错误。故选C。
8．2023年10月26日，“神舟十七号”载人飞船发射升空，顺利进入近地点200 km、远地点363 km的近地轨道(LEO)，并在同一天，经转移轨道与高度为400 km的中国空间站(正圆轨道)完成对接，轨道简化如图。则( )
A．飞船在LEO轨道的运行周期大于空间站周期
B．飞船在M点减速进入转移轨道
C．飞船在转移轨道运行经过M点的加速度大于N点的加速度
D．飞船在转移轨道从M点运动到N点过程中速度逐渐增大
解析：由题图可知，LEO轨道的半长轴小于空间站的轨道半径，根据开普勒第三定律＝k可知飞船在LEO轨道的运行周期小于空间站周期，故A错误；飞船在M点进入转移轨道做离心运动，需要点火加速，故B错误；根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝，可知飞船在转移轨道运行经过M点的加速度大于N点的加速度，故C正确；由开普勒第二定律可知飞船在转移轨道M点运动到N点过程中速度逐渐减小，故D错误。故选C。
9.(多选)2023年10月26日11时14分，长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”。飞船入轨后先在近地停泊轨道1上进行数据确认，后经椭圆转移轨道2与在轨道3做匀速圆周运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化成如图所示，则( )
A．由于不受力，所以宇航员会“漂浮”在空间站内
B．飞船在转移轨道2上P点的速率大于Q点的速率
C．飞船在停泊轨道1上的速度大于第一宇宙速度
D．飞船在转移轨道2上Q点的加速度等于在轨道3上Q点的加速度
解析：宇航员受到万有引力的作用，万有引力提供向心力，所以会“漂浮”在空间站内，故A错误；转移轨道2上P点是近地点，Q点是远地点，根据开普勒第二定律可知，飞船在转移轨道2上P点的速率大于Q点的速率，故B正确；第一宇宙速度是最大的在轨运行速度，所以飞船在停泊轨道1上的速度不会大于第一宇宙速度，故C错误；飞船在转移轨道2上Q点的和在轨道3上Q点受到的万有引力相同，所以加速度相同，故D正确。故选BD。
10．(多选)2023年9月17日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十九号卫星发射升空，卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。测定遥感三十九号卫星P的运行周期为T，另一个人造地球卫星Q的运行周期为8T，则下列说法正确的是( )
A．卫星P和Q的角速度之比为8∶1
B．卫星P与Q的轨道半径之比为1∶2
C．卫星P和Q的线速度大小之比为8∶1
D．某时刻卫星P、Q和地球球心在一条直线上，则经过T它们又一次在一条直线上
解析：根据角速度与周期关系可得ω1＝，ω2＝，卫星P和Q的角速度之比为＝，A正确；根据开普勒第三定律＝，可得＝，B错误；根据v＝ωr可得＝＝，C错误；设再过时间t，卫星P、Q和地球球心在一条直线上，可得t－t＝π，求得t＝T，D正确。故选AD。
11.(多选)由20个国家持续25年、投入数万名科学家倾力合作的詹姆斯·韦伯太空望远镜被成功发射，被送入日—地拉格朗日L2点；如图所示的L1、L2、L3、L4、L5为法籍意大利数学家拉格朗日指出的太阳和地球所在同一平面上的5个拉格朗日点。韦伯太空望远镜位于这个点上，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。下列说法正确的是( )
A．韦伯太空望远镜绕太阳运动的线速度比地球绕太阳运动的线速度小
B．韦伯太空望远镜绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
C．韦伯太空望远镜在L2点处于平衡状态
D．同一飞行器稳定在L2处所受太阳和地球引力的合力比稳定在L1处大
解析：韦伯太空望远镜位于拉格朗日L2点，其半径比地球公转半径大，由于韦伯太空望远镜在拉格朗日L2点与地球同步绕太阳做圆周运动，即两者角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r，可知韦伯太空望远镜绕太阳运动的线速度比地球绕太阳运动的线速度大，韦伯太空望远镜绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，A错误，B正确；由于韦伯太空望远镜保持与地球同步绕太阳做圆周运动，由合外力提供向心力，则韦伯太空望远镜在L2点处于非平衡状态，C错误；由于飞行器在拉格朗日点保持与地球同步绕太阳做圆周运动，即角速度与地球绕太阳公转的角速度相等，根据F＝mω2r，由于同一飞行器稳定在L2处的半径比稳定在L1处大，可知同一飞行器稳定在L2处所受太阳和地球引力的合力比稳定在L1处大，D正确。故选BD。
12.已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r＝5R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：
(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
(3)飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间。
答案：(1)减速 减速 (2) (3)6π
解析：(1)根据变轨原理，飞船在轨道Ⅰ的A点减速，做近心运动进入椭圆轨道Ⅱ，飞船在轨道Ⅱ的近月点B点减速，做近心运动进入近月轨道Ⅲ。
(2)根据万有引力与重力的关系G＝mg0
根据万有引力提供向心力G＝m
解得飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为v＝＝。
(3)根据万有引力提供向心力G＝mR
解得飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间为
T＝2π＝2π
根据开普勒第三定律＝
飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间为T1＝6π。
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