第六章 专题强化2
课后知能作业
基础巩固练
1. 如图所示为滚筒洗衣机的竖直截面图，洗衣机里的衣物随滚筒一起转动以达到脱水效果。下列说法正确的是( )
A．衣物在最高点时处于超重状态
B．当滚筒匀速转动时，衣物在最高点与最低点所受合力相同
C．当滚筒匀速转动时，衣物在最高点与最低点的加速度大小相等
D．衣物在最低点时受重力、滚筒对衣物的弹力以及指向圆心的向心力的作用
解析：衣物在最高点时，加速度竖直向下指向圆心，此时衣物处于失重状态，故A错误；设衣服在最高点滚筒壁对其的压力为FN1，在最低点滚筒壁对其的压力为FN2，在最高点时FN1＋mg＝m＝ma1，在最低点时FN2－mg＝m＝ma2，由于滚筒匀速转动，则两个位置的向心力即合外力大小相同，方向相反，且加速度大小相等，故B错误，C正确；衣物在最低点时受重力、滚筒对衣物的弹力作用，两个力的合力提供衣物做圆周运动的向心力，故D错误。故选C。
2．如图所示，某同学表演“水流星”，他抡动长L的轻绳让装有水的杯子在竖直平面内做圆周运动。若杯子经过最高点时速率为v，杯子和水的质量为m，重力加速度为g，忽略杯子的大小，此时轻绳拉力的大小为( )
A．mg B．－mg
C．＋mg D．mg－
解析：在最高点时细绳的拉力和重力的合力充当向心力，故有T＋mg＝，解得T＝－mg，故选B。
3. 如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上
B．小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点
C．若ω＝，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零
D．小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下
解析：根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有mg＝mω2l，解得ω＝，可知，若小球运动的角速度ω>，杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度ω<，杆对球的作用力向上，故A错误，C正确；根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形定则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误；根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。故选C。
4. 如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中不正确的是( )
A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
解析：细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A正确；根据F向＝m知，速度增大，向心力增大，故B正确；当v＝时，杆的作用力为零，当v＞时，杆表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正确；当v＜时，杆表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D错误。故选D。
5．如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与在最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：由图乙可知，当在最高点v2＝b时，FN＝0，则在最高点重力提供小球做圆周运动的向心力，此时mg＝m，代入得R＝，A错误；由图乙知，当v2＝0时，在最高点重力等于下管道对小球向上的弹力，此时FN＝mg＝a，代入得m＝，B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力，D错误。故选B。
6. 如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
A．受到的向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μmg
D．受到的合力方向竖直向上
解析：物体滑到半球形金属球壳最低点时，速度大小为v，半径为R，向心力大小为Fn＝m，故A错误；根据牛顿第二定律得N－mg＝m，得到金属球壳对小球的支持力N＝mg＋m，由牛顿第三定律可知，小球对金属球壳的压力大小N′＝N＝mg＋m，物体在最低点时，受到的摩擦力为f＝μN＝μ，故B正确，C错误；物块竖直方向的合力向上，还受到水平方向的摩擦力，所以在最低点总的合力不是竖直向上，而是斜向上，故D错误。故选B。
能力提升练
7. 如图所示，一质量为M的人站在台秤上，台秤的示数表示人对秤盘的压力；一根长为R的细线一端系一个质量为m的小球，手拿细线另一端，小球绕细线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是( )
A．小球运动到最高点时，小球的速度为零
B．当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为Mg＋mg
C．小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从c点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于失重状态
解析：小球恰好能通过圆轨道最高点，重力刚好提供向心力，则有mg＝，解得v＝，A错误；当小球运动到最高点时，细线拉力为零，台秤示数为Mg，B错误；小球在最高点b时，细线拉力为0，以人为研究对象，根据受力平衡可得FN＝Mg，小球在a或c时，细线拉力提供向心力，但此时细线拉力处于水平方向，以人为研究对象，竖直方向根据受力平衡可得FN′＝Mg，可知小球在a、b、c三个位置时，人对秤盘的压力相等，故台秤的示数相同，C正确；小球从c点运动到最低点的过程中，细线对小球的拉力逐渐增大，且拉力与竖直方向的夹角逐渐减小，可知细线对人的拉力的竖直向下分力逐渐增大，台秤的示数增大，但此过程人一直处于静止平衡状态，D错误。故选C。
8. 如图所示，两个小球A、B固定在长为2L的轻杆上，球A质量为2m，球B质量为m。B球固定在杆的中点，A球在杆的一端，不计小球的大小，重力加速度为g。整个装置在光滑的水平面上绕杆的另一端点O匀速转动时，OB杆的拉力F1与AB杆的拉力F2之比为( )
A．5∶4 B．4∶5
C．1∶4 D．4∶1
解析：整个装置在光滑的水平面上绕杆的另一端点O匀速转动时，角速度相同，对A球，F2＝2m×2Lω2，对B球，F1－F2＝m×Lω2，OB杆的拉力F1与AB杆的拉力F2之比为5∶4。故选A。
9．如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN-v2图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为R
C．v2＝c时，杆对小球弹力方向向上
D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
解析：通过题图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，A错误；当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝＝R，B正确；当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C错误；若v2＝2b，则mg＋FN＝m，解得FN＝a，方向竖直向下，D错误。故选B。
10．(多选)如图所示，下列有关生活中圆周运动实例分析，其中说法正确的是( )
A．甲图中，汽车通过凹形桥的最低点时，速度不能超过
B．乙图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最小
C．丙图中，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
D．丁图中，内表面光滑的固定圆锥筒内(轴线竖直)，同一小球先后在A、B所在水平面内做圆周运动，则在两位置小球向心加速度大小相等
解析：甲图中，汽车通过凹形桥的最低点时，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，汽车通过凹形桥的最低点时，速度可以超过，此时有FN>2mg，故A错误；乙图中，“水流星”匀速转动过程中，设圆心为O，最高点为A，最低点为B，水桶所处位置为C，水桶从A运动到B的过程中，设OC与OA的夹角为θ(0≤θ≤π)，对桶中的水受力分析，沿半径方向，由牛顿第二定律得FN＋mgcos θ＝m，从A点运动到B点的过程中，cos θ逐渐减小，则桶对水的支持力逐渐增大，由牛顿第三定律可得，水对桶的压力逐渐增大，所以在最低处水对桶底的压力最大，故B错误；丙图中，火车按规定速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，所以外轨对轮缘产生向里的挤压作用，故C正确；丁图中，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，设圆锥的顶角为2θ，则＝ma，解得a＝，则在A、B两位置小球向心加速度相等，故D正确。故选CD。
11. 如图所示，质量m＝1 kg的小球在长为L＝0.5 m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42 N，转轴离地高度h＝5.5 m，不计阻力，g＝10 m/s2。
(1)小球经过最高点的速度v是多少？
(2)若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求细绳被拉断后小球运动的水平位移x。
答案：(1) m/s (2)4 m
解析：(1)依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点根据牛顿第二定律有mg＝
代入数据可得小球经过最高点的速度大小为v＝ m/s。
(2)小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为Tmax，设此时小球的速度大小为v1。小球在最低点时由牛顿第二定律有Tmax－mg＝，解得v1＝4 m/s，此后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球在竖直方向上h－L＝gt2，代入数据求得t＝1 s，在水平方向上水平位移为x＝v1·t＝4 m。
12．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8 m顶部水平的高台，接着以v＝3 m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径R＝1.0 m，人和车的总质量为180 kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计。g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：(人和车可视为质点)
(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
(2)从平台飞出到达A点时的速度大小及圆弧对应圆心角θ；
(3)人和车运动到达圆弧轨道A点时对轨道的压力。
答案：(1)1.2 m (2)5 m/s 106° (3)5 580 N
解析：(1)车做的是平抛运动，据平抛运动的规律可得，
竖直方向上有H＝gt2
水平方向上有s＝vt
解得s＝v＝3× m＝1.2 m。
(2)摩托车落至A点时，其竖直方向的分速度为vy＝gt＝4 m/s
到达A点时速度为vA＝＝5 m/s
设摩托车落至A点时速度方向与水平方向的夹角为α，则有tan α＝＝
即有α＝53°，所以有θ＝2α＝106°。
(3)对摩托车受力分析可知，摩托车受到的指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，所以有FNA－mgcos α＝m
代入数据解得FNA＝5 580 N。
人和车运动到A点时对轨道的压力FNA′＝FNA＝5 580 N。
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第六章 圆周运动
专题强化2 竖直面内的圆周运动模型
提升点1 绳模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是“绳模型”。
情境：如图所示。
探究：(1)小球在竖直平面内做圆周运动过程中什么力提供向心力？
(2)在竖直平面内完成圆周运动要具有什么条件？
?[提示]
[提示]
(1)球在竖直平面内做圆周运动过程中受向下的重力和绳子拉力作用，其指向圆心的合力提供向心力。
(2)球在竖直平面内做圆周运动过程中绳的拉力(过山车内壁对小球的支持力)要大于或等于零。
典题1：如图所示，质量为0.5 kg的小桶里盛有1 kg的水，用细绳系住小桶在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小桶在最高点的速度为5 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)在最高点时，绳的拉力。
(2)在最高点时，水对水桶底的压力。
(3)为使小桶经过最高点时水不流出，在最高点时的最小速率是多少？
思维点拨：解此题的关键有两点：(1)在最高点应是桶和水整体受到的合力提供向心力。(2)明确绳类模型通过最高点的临界条件(绳拉力恰好为零)。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)向心力分析
(3)能过最高点的条件：v≥v临。
(4)不能通过最高点的条件：v跟踪训练1：如图所示，长为L的轻质细长物体一端
与小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直
平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为
g，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
提升点2 轻杆模型
有支撑物(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
情境：如图所示。
探究：(1)小球在运动过程中什么力提供向心力？
(2)在竖直平面内完成圆周运动要具有什么条件？
?[提示]
[提示]
(1)球运动过程中受向下的重力和杆对小球作用，其指向圆心的合力提供向心力。
(2)球运动过程过程中杆的作用力(轨道壁对球的作用力)要大于或等于零(可以是压力也可以是拉力)。
(1)小球通过A点时轻杆对小球的弹力；
(2)若小球通过最高点B时轻杆中的弹力为零，小球通过B点时的速度大小；
(3)若小球通过B点时的速度大小为1 m/s，轻杆对小球的弹力。
答案：(1)60 N，方向竖直向上 (2)2 m/s (3)7.5 N，方向竖直向上
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练2：(多选)如图所示，有一个半径为R
的光滑圆管轨道，现给小球一个初速度，使小球在
竖直面内做圆周运动，则关于小球在通过最高点时
的速度v，下列叙述正确的是( )
?[特别提醒]
[特别提醒]绳模型和杆模型
(1)竖直面内的圆周运动多为非匀速圆周运动，关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况，由哪些力来提供向心力，再对此瞬时状态应用牛顿第二定律，有时还要应用牛顿第三定律求受力。
素养能力提升
拓展整合 启智培优
1．比较分析
类型 描述 方法
斜面上的圆周
运动 静摩擦力控制下的圆周运动 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻杆控制下的圆周运动
轻绳控制下的圆周运动
2. 竖直面内圆周运动的求解思路
(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
(3)确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合＝F向。
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．日常生活中，我们看到的桥面都是中间高的凸形桥，中间低的凹形桥很少见。下列有说法正确的是( )
A．汽车通过凹形桥的最低点时，支持力提供向心力
B．汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
C．汽车通过凹形桥的最低点时，为了防止爆胎，车应快速驶过
D．同一辆汽车以相同的速率通过凹形桥的最低点时，比通过凸形桥最高点对桥面的压力大
A．4mg B．3mg
C．2mg D．mg
3．在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。一辆质量为m的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为N1，通过凹形路面最低处时对路面的压力为N2，则( )
A．N1C．N2解析：汽车通过凸形路面的最高处时，加速度方向向下，合力方向向下，处于失重状态，则有N1mg，故选A。
4. 如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道。质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道最高点时( )
A．处于超重状态
B．加速度方向竖直向下
