(共36张PPT)
第八章 机械能守恒定律
专题强化4 变力做功和机车启动问题
提升点1 变力做功
变力做功求解的几种常用方法
方法 内容 图例 适用条件
微元法 物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，每个小段里的功可由公式W＝Flcos α计算，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。 此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
?[思考]
[思考]从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比。你认为应该怎样增大它们的牵引力呢？
典题1：如图所示，在西部的偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设“驴拉磨”的平均拉力大小F＝300 N，驴做圆周运动的等效半径r＝1.5 m，则“驴拉磨”转动一周所做的功约为( )
A.2 800 J B.2 200 J
C.1 400 J D.0
思维点拨：“驴拉磨”过程中，驴做的是圆周运动，任意时刻力的方向都在发生变化，属于变力做功的情况，但力的方向时时刻刻都和速度方向相同，所以其时时刻刻做正功。用微元法处理这样的问题。
解析：“驴拉磨”过程中，驴做的是圆周运动，任意时刻力的方向都在发生变化，属于变力做功的情况，可将驴转动一圈的路程分割成无数个小段，当将曲线进行切割，切割成极小段时，将趋近于直线，进行累加，从而得到“驴拉磨”一周所做的功为W＝F·2πr＝300×2×1.5×π J≈2 800 J，故选A。
?[特别提醒]
[特别提醒]
机车启动问题注意：
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm。
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。
跟踪训练1：(图像法)如图1所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的变化关系如图2所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F所做的总功为( )
跟踪训练2：(转换研究对象法)(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝F·scos α求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
跟踪训练3：(力的平均值法)如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为( )
提升点2 机车启动问题
典题2：一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
思维点拨：根据速度—时间图线的斜率求出匀加速运动的加速度，结合牛顿第二定律求出匀加速运动的牵引力．根据匀加速运动的最大速度和牵引力的大小求出汽车的额定功率，结合P＝Fv求出速度为25 m/s时的牵引力，根据牛顿第二定律求出此时的加速度。当牵引力等于阻力时，速度最大，根据P＝fv求出最大速度。本题考查了机车的启动问题，知道牵引力等于阻力时，速度最大，结合P＝Fv进行求解。
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练4：新能源汽车是低碳发展观念下的新型动力汽车，能够不依赖于传统能源。如图所示，某款新能源汽车能输出的最大功率为P，试车员在某段平直路面上以恒定加速度a由静止开始启动汽车，汽车受到的阻力恒为f，试车员和汽车的总质量为m，从启动到以最大功率匀速行驶的过程中，下列说法中正确的是( )
A．该车所受牵引力一直不变
C．该车在到达匀速行驶前，一直做匀加速直线运动
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
2.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
解析：轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确。故选A。
3．水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．拉力F对小球做的功为16π(J)
B．拉力F对小球做的功为8π(J)
C．小球克服摩擦力做的功为16π(J)
D．小球克服摩擦力做的功为4π(J)
4．2020年1月12日，中国人民解放军海军055型驱逐舰首舰“南昌舰”正式服役。若“南昌舰”满载时的最大速度为15 m/s，额定输出功率为2.25×105 kW。“南昌舰”在海面航行的过程中所受的阻力Ff与速度v成正比，即Ff＝kv，则“南昌舰”满载时( )
A．“南昌舰”在额定输出功率下匀速航行时的牵引力大小为5×104 N
B．“南昌舰”在额定输出功率下由静止开始航行，在达到最大速度前做匀加速直线运动
C．“南昌舰”在海面上航行的过程中，k＝1×106 kg·s－1
D．“南昌舰”以7.5 m/s的速度匀速航行时，发动机的输出功率为1.125×105 kW第八章 专题强化4
课后知能作业
基础巩固练
1．一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在这个运动过程中F做的功为( )
A．4 J B.6 J
C.18 J D.22 J
解析：根据W＝Fx可知，力F的功等于F-x图像的面积，则W＝2×2 J－2×1 J＋4×4 J＝18 J，故选C。
2．如图所示，传送带通过滑道将长为L、质量为m的匀质物块以初速度v0向右传上水平台面，物块前端在台面上滑动s后停下来。已知滑道上的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦因数为μ且s>L，则物块在整个过程中克服摩擦力所做的功为( )
A．μmg B.μmgs
C．μmg D.μmg(s－L)
解析：分两个阶段计算物块克服摩擦力所做功：物块在完全滑上台面前，摩擦力随滑上的距离从0均匀增大，最大值为μmg；物块滑上平台后摩擦力恒定，则有整个过程中克服摩擦力做的功W＝L＋μmg(s－L)＝μmg，故C正确，A、B、D错误。故选C。
3．电动汽车能实现更精确的运动控制，有一电动汽车由静止启动并沿直线运动，其速度—时间图像(v－t图)如图所示，0到t1段图像为倾斜直线，t1到t2段图像为曲线，t2时刻以后的图像为与时间轴平行的直线，则下列选项中正确的是( )
A．0～t1内，牵引力的功率保持不变
B．t1时刻起，牵引力的功率一定增加
C．t1～t2内，牵引力大小保持不变
D．t2时刻起，牵引力与阻力大小相等
解析：0到t1段图像为倾斜直线，则汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，由P＝Fv，可知，牵引力的功率增大，故A错误；t1～t2内，加速度减小，则牵引力减小，而速度在增加，所以牵引力的功率可能保持不变，故B错误，C错误；t2时刻起，汽车做匀速直线运动，牵引力与阻力平衡，保持不变，故D正确。故选D。
4．一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图所示。关于拉力的功率随时间变化的图像，下图中可能正确的是( )
解析：由题图知：在0～t0时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力的功率为P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at，可知功率的图像为过原点的倾斜直线；在t0时刻以后，物体做匀速运动，v不变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，可知功率图像为水平直线，且功率的值小于加速阶段功率的最大值，故D正确。故选D。
5．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体的位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为55 J
C．合力在0～6 s内做的功大于0～2 s内做的功
D．滑动摩擦力的大小为 N
解析：0～6 s内物体的位移大小x＝×6 m＝30 m，故A错误；0～6 s内拉力做功W＝×2×30 J＋4×10 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，物体做匀速运动，合力为零，则合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等，故C错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力f＝F，得到f＝F＝＝ N，故D正确。故选D。
6．人们生活中出现越来越多的环保电动自行车，这种轻便的交通工具受到许多上班族的喜爱。下表是一辆电动车铭牌上的参数。若质量为70 kg的人骑此电动自行车沿平直公路行驶的v-t图像如图所示，所受阻力大小恒为车重(包括载重)的0.02倍，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
规格 后轮驱动直流永磁体电动机
车型 26′电动自行车 额定输出功率 400 W
整车质量 30 kg 最大载重 120 kg
A．匀速阶段牵引力大小为25 N
B．匀速阶段电动机的输出功率为400 W
C．匀加速阶段牵引力大小为50 N
D．匀加速阶段电动机的输出功率随时间均匀增大
解析：电动车匀速运动时，牵引力等于阻力，则F＝0.02(m1＋m2)g＝20 N，A错误；匀速阶段电动机的输出功率为P出＝Fv＝20×5 W＝100 W，B错误；电动车的加速度大小为a＝ m/s2＝0.5 m/s2，根据F－0.02(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，匀加速阶段牵引力大小为F＝70 N，C错误；根据P＝Fv＝Fat，匀加速阶段牵引力不变，电动机的输出功率随时间均匀增大，D正确。故选D。
能力提升练
7．用钉锤将一钉子钉入木板中，设钉子所受木板阻力与进入木板的深度成正比，不计钉子重力，钉锤每次打击钉子所做的功相同，则打击第n次与打击第一次钉子进入木板的深度之比为( )
A.－ B.
C. D.1
解析：由题意可知，阻力与深度d成正比，f-d图像如图所示，图像与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：每次所围面积相同，根据相似比的平方等于面积比可得：第1次∶前2次∶前3次∶…＝1∶：∶…∶，故第1次∶第2次∶第3次∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，打击第n次与打击第一次钉子进入木板的深度之比为－。故选A。
8．如图所示，密度为ρ、边长为a的正立方体木块漂浮在水面上(h为木块在水面上的高度)。现用竖直向下的力F将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则此过程中木块克服浮力做功为(已知水的密度为ρ0、重力加速度为g)( )
A．ρa3gh B.a3gh(ρ＋ρ0)
C．ρ0a3gh(a－h) D.a3gh(a－h)(ρ＋ρ0)
解析：木块漂浮在水面上时有F浮＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为F浮′＝ρ0ga3，浮力做的功为W＝h＝ga3h(ρ＋ρ0)，故选B。
9．大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽车尾气排放。无锡已经开通地铁1号线和2号线，其中1号线起点堪桥站，终点长广溪站，全长29.42 km。若一列地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20 s，达到最高速度72 km/h，再匀速运动80 s，接着匀减速运动15 s到达乙站停住。设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106 N，匀速阶段牵引力的功率为6×103 kW，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。如果燃油公交车运行中做的功与地铁列车从甲站到乙站牵引力做的功相同，则燃油公交车排放气体污染物的质量是(燃油公交车每做1焦耳功排放气体污染物3×10－6 g)( )
A．2.00 kg B.2.02 kg
C．2.04 kg D.2.06 kg
解析：地铁匀加速运动阶段，牵引力做的功为W1＝Fx1＝F··t1＝1×106××20 J＝2×108 J，地铁匀速运动阶段，牵引力做的功为W2＝P2t2＝6×103×103×80 J＝4.8×108 J，地铁从甲站到乙站，牵引力做的总功为W＝W1＋W2＝6.8×108 J，燃油公交车运行中做的功为W′＝W，燃油公交车牵引力每做1焦耳功，排放气体污染物为Δm＝3×10－6 g＝3×10－9 kg，故燃油公交车排放气体污染物的质量是m＝6.8×108×3×10－9 kg＝2.04 kg，故选C。
10．(多选)图甲中的辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水桶等部分构成，图乙为提水设施工作原理简化图，辘轳绕绳轮轴半径r＝0.1 m，水桶的质量M＝0.5 kg，井足够深，忽略井绳质量和因绳子缠绕导致轮轴的半径变化。某次从井中汲取m＝2 kg的水，轮轴由静止开始绕中心轴转动从而竖直向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，取重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．10 s末水桶的速度大小为2 m/s
B．水桶的速度大小随时间变化规律为v＝2t
C．0～10 s内水桶上升的高度为10 m
D．0～10 s内井绳拉力所做的功为255 J
解析：由图丙可知ω＝2t，所以水桶速度随时间变化规律为v＝ωr＝0.2t，则10 s末水桶的速度大小为2 m/s，故A正确，B错误；水桶匀加速上升，加速度a＝0.2 m/s2，由牛顿第二定律F－(m＋M)g＝(m＋M)a，所以井绳拉力大小为F＝25.5 N，水桶匀加速上升，0～10 s内它上升的高度为h＝at2＝10 m，则0～10 s内井绳拉力所做的功为W＝Fh＝255 J，故C、D正确。故选ACD。
11．(多选)我国一箭多星技术居世界前列，一箭多星是一枚运载火箭同时或先后将数颗卫星送入轨道的技术。某两颗卫星释放过程简化为如图所示，火箭运行至P点时，同时将A、B两颗卫星送入预定轨道，A卫星进入轨道1做圆周运动，B卫星进入轨道2沿椭圆轨道运动，P点为椭圆轨道的近地点，Q点为远地点，B卫星在Q点喷气变轨到轨道3，之后绕地球做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．A卫星在P点的加速度等于B卫星在P点的加速度
B．A卫星在轨道1的速度小于B卫星在轨道3的速度
C．B卫星从轨道2上Q点变轨进入轨道3时需要喷气减速
D．B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中引力做负功
解析：两卫星在P点时，根据G＝ma，可得a＝G，显然两卫星的加速度相等，故A正确；由题知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有G＝m，可得v＝，由于B卫星在轨道3上运动的轨道半径大于A卫星在轨道1上运动的轨道半径，所以B卫星在轨道3上运动的速度小于A卫星在轨道1上运动的速度，故B错误；卫星从低轨道运动到高轨道，需要在轨道相切点点火加速实现，所以B卫星在Q点变轨进入轨道3时需要向后喷气加速，故C错误；B卫星沿轨道2从P点运动到Q点过程中速度减小，则动能减小，故引力做负功，故D正确。故选AD。
12．(多选)“复兴号”动车组的总质量为m，在平直的轨道上行驶。该动车组有4节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，动车组所受的阻力与其速率成正比(f＝kv)。动车组能达到的最大速度为vm。若动车组从静止开始运动，则下列正确的是( )
A．若动车组匀加速启动，则牵引力逐渐增大
B．若动力车输出功率恒定，则动车组做匀加速运动
C．若动力车输出功率变为，则动车组的最大速度为
D．若动力车输出功率变为，则动车组的最大速度为
解析：若动车组匀加速启动则有F－f＝ma，则动车的牵引力F＝ma＋f＝ma＋kv，随着速度的增加，动车组的牵引力F逐渐增大，故A正确；若动车输出功率恒定，则据F＝，动车加速度a＝＝，可知当功率一定时，随着速度增加，动车的加速度减小，动车不可能做匀加速运动，故B错误；动车速度最大时，牵引力与阻力相等，则P＝Fv＝fvm＝kv，可得vm＝，即动车的最大速度与功率的平方根成正比，所以若动车的输出功率变为，则动车组的最大速度为，故C正确；同理，若动车的输出功率变为，则动车组的最大速度为vm，故D错误。故选AC。
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