第一章 专题强化1
课后知能作业
基础巩固练
1．如图，在倾角为θ的斜面顶端将三个小球M、N、P分别以、v0、2v0的初速度沿水平方向抛出，N恰好落到斜面底端。已知tan θ＝，不计空气阻力，重力加速度大小为g。则M落到斜面时的速度大小与P落到地面时的速度大小之比为( )
A．13∶100 B．1∶4
C．∶10 D．∶10
解析：对M有tan θ＝＝＝＝，解得tM＝，则有vMy＝gtM＝，则M落到斜面时的速度大小为vM＝＝v0，对N有tan θ＝＝＝＝，解得tN＝，则有tP＝tN＝，vPy＝gtN＝v0，则P落到地面时的速度大小为vP＝＝v0，则有vM∶vP＝v0∶v0＝∶10，故选D。
2．某次实验中，实验员让一小钢珠(视为质点)以大小为3 m/s的初速度从楼梯上水平飞出，研究其运动轨迹。已知每格楼梯长25 cm，高15 cm，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，则小钢珠第一次落在( )
A．第二格 B．第三格
C．第四格 D．第五格
解析：设小钢球能落到第n格，由平抛运动的规律可得nx＝v0t，nh＝gt2，联立解得n＝4.32，由题意可知，这里n取大于4.32的整数，因此取n＝5，即小钢珠第一次落在第五格。故选D。
3. 如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制(飞镖能轻易射穿)的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为53°，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为37°，图中没有画出，不计空气阻力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)则( )
A．两次速度增量之比为9∶16
B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球
C．两次下落的高度之比为9∶16
D．两次平抛的初速度之比为3∶4
解析：第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为53°，则tan 53°＝，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为37°，则tan 37°＝，因为v01t1＝v02t2，解得＝，根据Δv＝gt，可知，两次速度增量之比为3∶4，故A错误；因为平抛运动竖直方向是自由落体运动，所以两次均能命中小球，故B错误；根据h＝gt2，两次下落的高度之比为9∶16，故C正确；因为v01t1＝v02t2，两次平抛的初速度之比为4∶3，故D错误。故选C。
4. 如图所示O、A、B三点在同一条竖直线上，OA＝AB，B、C两点在同一条水平线上，O、D在同一水平线上，OD＝2BC，五点在同一竖直面上。现将甲、乙、丙三小球分别从A、B、C三点同时水平抛出，最后都落在水平面上的D点，不计空气阻力。则以下关于三小球运动的说法中正确的是( )
A．三小球在空中的运动时间之比为：t甲∶t乙∶t丙＝1∶2∶2
B．三小球抛出时的初速度大小之比为：v甲∶v乙∶v丙＝4∶2∶1
C．三球的抛出速度大小、在空中运动时间均无法比较
D．三小球落地时的速度方向与水平方向之间夹角一定满足θ甲<θ乙<θ丙
解析：根据公式h＝gt2，可得t＝，所以三小球在空中的运动时间之比为1∶∶，故A错误；水平方向x＝v0t，又水平位移之比为2∶2∶1，所以三小球抛出时的初速度大小之比为2∶2∶1，故B、C错误；三小球落地时的速度方向与水平方向之间夹角，即速度偏转角，满足tan θ＝＝，所以tan θ1∶tan θ2∶tan θ3＝∶∶，因此三小球落地时的速度方向与水平方向之间夹角一定满足θ甲<θ乙<θ丙，故D正确。故选D。
5. (多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气阻力)( )
A．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
B．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
C．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
D．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
解析：由几何关系知hAD∶hBD∶hCD＝xAD∶xBD∶xCD＝AD∶BD∶CD＝9∶4∶1，根据h＝gt2，得t＝，A、B、C处三个小球运动时间之比为tAD∶tBD∶tCD＝3∶2∶1，根据v0＝，A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1，故A正确，C错误；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，根据抛物线特点，不会在空中相交，故B错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，即三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1，故D正确。故选AD。
6. (多选)如图所示，小滑块以初速度v1从倾角θ＝37°的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑动，同时从A点以初速度v2斜向上抛出一个小球，经0.6 s滑块滑到斜面顶端B时，恰好被小球水平击中。滑块和小球均可视为质点，空气阻力忽略不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．小滑块的初速度v1＝6.8 m/s
B．小球的初速度v2＝8 m/s
C．斜面AB的长度为3 m
D．小球从抛出到离斜面最远处所经历的时间为0.3 s
解析：小球斜向上抛运动，到达B点时，能恰好水平击中滑块，可将小球运动看成反向的平抛，运动时间为0.6 s，在A点时竖直方向的速度vy＝gt＝6 m/s，由平抛运动的推论可得tan θ＝＝，可得vx＝4 m/s，小球的初速度v2＝，代入数据得v2＝2 m/s，故B错误；小球水平方向的位移x＝vxt＝4×0.6 m＝2.4 m，斜面的长度s＝＝ m＝3 m，故C正确；小球反向的平抛运动，从B点开始，设从抛出到离斜面最远处所经历的时间为t1，当小球下落到速度方向与水平方向夹角为θ时，距离斜面最远，此时竖直方向上的速度vy′＝vxtan θ＝4× m/s＝3 m/s，从B点开始经历的时间t′＝＝ s＝0.3 s，则t1＝t－t′＝0.6 s－0.3 s＝0.3 s，故D正确；滑块从斜面上运动时，加速度a＝gsin θ＝10×sin 37°m/s2＝6 m/s2，滑块从A到B的过程中，由运动学公式s＝v1t－at2，解得v1＝6.8 m/s，故A正确。故选ACD。
能力提升练
7. 如图所示，匀速向右运动的小车顶部左端O点用细线悬挂有两个大小不计的小球A、B，两细线OA与AB的长度均为L，小球B距地面的高度也为L。某时刻绳子OA断裂，B球落地后未移动，且A球落地时AB间细线恰好伸直。忽略空气阻力，重力加速度为g。小车的速度为( )
A． B．
C． D．
解析：绳子OA断裂后两小球做平抛运动，B小球下落的时间为tB＝，A小球下落的时间为tA＝，B球落地后A继续运动的时间为t＝tA－tB＝(－1)，小车的速度与小球的水平速度相同为v＝＝＝，故选B。
8．如图所示，一架战斗机在距地面一定高度，由东向西水平匀速飞行的过程中向坡面投掷炸弹。第一颗炸弹自飞机飞行至O点时释放，恰好击中山坡底端A点，战斗机保持原速度不变，水平运动一段时间后释放第二颗炸弹，投放后迅速爬升，炸弹击中坡面上的B点。已知O点距离A点的高度为h，与A点的水平距离为s；B点距离A点的高度为h，斜坡与水平面的夹角为30°，则两次投弹的时间间隔为( )
A． B．
C． D．
解析：设自C释放第二颗炸弹，两颗炸弹释放初速度相同。C到B竖直方向位移为，炸弹在竖直方向做自由落体运动，连续相等时间间隔位移之比为1∶3，所以O到D和D到A时间相等，水平位移相等，因此OC＝BD＝＋＝＋h，由O到A过程，根据平抛运动规律飞机的速度v＝，两次释放炸弹的时间间隔Δt＝＝，故选D。
9．(多选)如图所示，A、B两球沿倾角为37°的斜面先后向上滚动，离开斜面后同时落在水平地面上，C点为斜面的最高点，C点距地面的高度为2 m。B球在地面上的落点距C点的水平距离为1.6 m，距A球落点的距离为2.4 m。不计空气阻力，两球均可视为质点，已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A．A、B两球离开斜面后运动至与C点等高位置时的速度方向相同
B．A、B两球到达地面时的速度方向相同
C．A、B两球离开斜面的时间间隔为0.1 s
D．A、B两球离开斜面的时间间隔为0.2 s
解析：根据位移偏角θ和速度偏角φ的正切值之间的关系tan φ＝2tan θ，可知位移偏角相同时速度偏角也相同，根据斜抛运动的对称性可知A、B两球离开斜面后运动至与C点等高位置时的速度方向相同，到达地面时速度方向不相同，故A正确，B错误；设两球离开斜面时的速度为vA、vB，根据斜抛运动的规律可知xA＝vAcos θ·t1，hA＝－vAsin θ·t1＋gt，xB＝vBcos θ·t2，联立解得t1＝1 s，t2＝0.8 s，因为两球同时落地，所以A、B两球离开斜面的时间间隔为Δt＝t1－t2＝0.2 s，故C错误，D正确。故选AD。
10. (多选)某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，如图所示，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．若将炮弹初速度由v0变为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B．若将炮弹初速度由v0变为，则炮弹下落的竖直高度变为原来的
C．若炮弹初速度为v0，则炮弹运动到距斜面最大距离L时所需要的时间为
D．若炮弹初速度为v0，则运动过程中炮弹距斜面的最大距离L＝
解析：炮弹落到斜面上时，竖直方向位移与水平方向位移关系为tan θ＝＝＝，可得＝2tan θ，所以速度偏转角的正切值不变，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面夹角不变，故A正确；由炮弹落到斜面竖直方向位移与水平方向位移关系，可以解得炮弹的飞行时间为t＝，所以炮弹速度变为原来一半时，飞行时间也变为原来一半，由竖直位移公式y＝gt2可知，竖直位移为原来的，故B错误；炮弹与斜面距离最大时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向速度与水平速度的关系为＝＝tan θ，解得飞行时间为t′＝，故C正确；建立如图所示坐标系，对炮弹初速度和加速度进行分解vy′＝v0sin θ，gy＝gcos θ，当y轴方向速度减小为0时，炮弹距离斜面最远，则最远距离为L＝＝，故D正确。故选ACD。
11．(多选)如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度v0沿水平方向飞行，先后释放A、B两颗炸弹，分别击中倾角为θ的山坡上的M点和N点，释放A、B两颗炸弹的时间间隔为Δt1，此过程中飞机飞行的距离为s1；击中M、N的时间间隔为Δt2，M、N两点间水平距离为s2，且A炸弹到达山坡的M点时位移垂直于斜面，B炸弹是垂直击中山坡N点的。不计空气阻力，下列正确的是( )
A．A炸弹在空中飞行的时间为
B．>
C．Δt1＝Δt2＋
D．＝v0
解析：设炸弹从A→M用时t1，有x1＝v0t1，因AM垂直斜面，则θ1＋θ＝90°，而tan φ＝2tan θ1＝，可得t1＝＝＝，故A错误；
同理B→N，vN方向垂直于斜面，用时t2＝＝＝，x2＝v0t2，由图得s1＋x2＝x1＋s2[或s2＝s1＋x2－x1＝v0(Δt1＋t2－t1)]，时间关系Δt1＋t2＝t1＋Δt2(或Δt1＋t2－t1＝Δt2)，则＝v0，同时有v0＝＝，Δt1＝Δt2＋，故B错误，C、D正确。故选CD。
12．“冲关”类节目中有这样一个环节，选手遇到一个人造山谷AOB，BC段是长为L＝2 m的水平跑道，选手需要自A点水平跃出冲上水平跑道，其中AO是高R＝3.6 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)选手从A点水平跃出后经多少时间落到水平跑道上？
(2)若要落在BC段上，选手的速度应该满足什么范围？
(3)如果选手不幸掉落在OB弧面上，速度会不会与OB弧面垂直？如果会，推出选手落在OB弧面上初速度应具备的规律(用v0、R、g表示)。
答案：(1)0.6 s (2)3 m/s≤v0≤m/s (3)不会
解析：(1)由图可知，A、B两点之间的高度差为hAB＝AB·cos 60°＝1.8 m
由hAB＝gt2可得选手从A点水平跃出后落到水平跑道上需要的时间为tAB＝＝ s＝0.6 s。
(2)由图可知，A、B两点之间的水平距离为
xAB＝AB·sin 60°＝ m
要落在BC段上，选手的速度最小应为
vmin＝＝＝3 m/s
最大不超过vmax＝＝＝m/s
即速度应该满足3 m/s≤v0≤m/s。
(3)平抛运动任一时刻速度方向的反向延长线，应该过此时刻水平位移的中点。若选手落在OB弧面上，并且与OB弧垂直的话，那么速度方向的反向延长线应该会过圆心A点。不符合平抛运动的规律，所以不可能与OB弧面垂直。
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第五章 抛体运动
专题强化1 平抛运动的两个重要推论
提升点 抛体运动轨迹中某点速度
的表达？其速度和位移的方向
有什么关系？
●新知导学
情境：如下图。
探究：(1)如图所示，平抛运动轨迹中某点的速度怎么表达？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？
(2)如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系怎样？
?[提示]
[提示]
(1)速度是矢量，从速度的分解来看，用速度偏转角的正切值来表达速度方向比较方便。
平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2．推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tan θ＝2tan α。
类型一：斜面上的平抛运动
典题1：(多选)跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特点建造一个特殊跳台。运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角为37°，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列说法正确的是( )
A．运动员在空中飞行的时间为3 s
B．A、B间的距离为75 m
C．运动员到B处着陆时的速度大小为25 m/s
D．运动员在空中离坡面的最大距离为9 m
思维点拨：斜面上的平抛运动，其隐含条件是已知位移夹角，根据推论二可知其速度夹角。
?[规律方法]
[规律方法]
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模型如下：
跟踪训练1：一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
类型二：速度偏转角和位移偏转角
典题2：投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
下列说法正确的是( )
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
思维点拨：这类平抛运动，其隐含条件是已知速度夹角，根据推论二可知其位移夹角，再根据其水平位移相同来分析。
?[规律方法]
[规律方法]平抛运动中若已知位移夹角或速度夹角基本求解思路
(1)给出末速度方向
①画速度分解图，确定速度与水平方向的夹角θ；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy；
跟踪训练2：飞镖游戏是一种非常有趣味性的娱乐活动，如图所示，某次飞镖比赛，某选手在距地面某相同的高度，向竖直墙面发射飞镖，每次飞镖均水平射出，且发射点与墙壁距离相同，某两次射出的飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角第一次为30°和第二次为60°，若不考虑所受的空气阻力，则( )
A．两次末速度的反向延长线不一定交于
水平位移的中点
B．第一次出手速度比第二次小
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1. 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
解析：根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。
2. 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间
t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻
力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
3. 如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为( )
A．1 s B．1.5 s
C．2.5 s D．3 s
4．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd，从a点正上方O以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面的b点；若小球从O以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．d点 D．c与d之间某一点
解析：过b做一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。故A正确，B、C、D错误。故选A。
5．如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，小球A、B在空中运动的时间之比为( )
A．2tan2θ∶1
B．tan2θ∶1
C．1∶2tan2θ
D．1∶tan2θ
