第八章 4
课后知能作业
基础巩固练
1．下面各个实例中(除A外都不计空气阻力)，过程中机械能是守恒的是( )
A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
B．抛出的标枪在空中运动
C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D．在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
解析：跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落时，动能不变，重力势能减小，两者之和减小，即机械能减小，故A错误；被抛出的标枪在空中运动时，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；金属块在拉力作用下沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，重力势能变大，故机械能变大，故C错误；小球碰到弹簧被弹回的过程中只有弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故D错误。故选B。
2．关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
B．物体做平抛运动时，机械能一定守恒
C．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．人乘电梯减速上升的过程，人的机械能一定守恒
解析：只有重力或只有内部弹力做功的系统机械能守恒，除重力外物体还受其他力，但其他力不做功或做功和为零，物体机械能也守恒，故A错误；物体做平抛运动时只有重力做功，机械能守恒，故B正确；合力对物体做功为零，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速下落的物体合外力做功为零，但机械能减少，机械能不守恒，故C错误；人乘电梯减速上升过程，支持力做正功，机械能增加，故D错误。故选B。
3.如图所示，一小球自A点由静止开始自由下落，到达B点时与弹簧接触，到C点时弹簧被压缩至最短。若不计弹簧的质量和空气阻力，在小球由A至B到C的运动过程中( )
A．小球在B点时动能最大
B．小球的机械能守恒
C．小球由B到C的加速度先减小后增大
D．小球由B到C的过程中，动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
解析：小球在A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，在B到C的过程中，有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，小球机械能不守恒，故B错误；小球从接触弹簧开始，重力先大于弹力，加速度方向向下，向下加速，加速度逐渐减小，当重力与弹簧弹力相等时，速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，做减速运动，加速度逐渐增大，故小球从B到C过程中加速度先减小后增大，故A错误，C正确；小球由B到C的过程中，动能减小，重力势能减小，弹性势能增加，根据能量守恒定律知，动能和重力势能的减小量等于弹性势能的增加量，故D错误。故选C。
4.如图所示，质量为m的小球以某一速度经过固定光滑圆弧轨道的最低点，已知小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，不计空气阻力，则小球通过最高点时对轨道的压力大小为( )
A．0 B.mg
C.2mg D.3mg
解析：小球经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为7mg，根据牛顿第三定律可知，轨道对小球的支持力大小也为7mg，则在最低点有FN－mg＝，由机械能守恒可得mv＝mg·2R＋mv，在最高点有mg＋FN′＝，联立可得在最高点轨道对小球的压力为FN′＝mg，根据牛顿第三定律可知，通过最高点时，小球对轨道的压力大小也为mg。故选B。
5.一轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的2倍，B球离地面高h，由静止释放小球B，重力加速度为g，滑轮质量忽略，阻力不计，则( )
A．A球上升的最大高度为h
B．B球下落过程机械能守恒
C．当B球刚好落地时，A球的速度大小是
D．B球下落过程中A球的机械能减少
解析：A球上升h时有一定的速度，由于惯性还会继续上升，A错误；B球下落过程，绳上的拉力对B球做负功，B球机械能减少，绳上的拉力对A球做正功，A球机械能增多，B、D错误；B球下落过程，系统机械能守恒，设A球质量为m，B球质量为2m，可得2mgh－mgh＝(m＋2m)v2，解得当B球刚好落地时，A球的速度大小为v＝，C正确。故选C。
6.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为g。则( )
A．下滑过程中小球a机械能增大
B．下滑过程中小球b机械能守恒
C．小球a滑过C点后，速度大小为
D．从释放至小球a滑过C点的过程中，轻杆对小球b做功为－
解析：最终a、b都滑至水平轨道时(即小球a滑过C点后)速度相等，设为v，下滑过程中只有重力对a、b组成的系统做功，系统满足机械能守恒，则有mgR＋mg·2R＝×2mv2，解得v＝，故C正确；设从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为W，对b根据动能定理有W＋mgR＝mv2，解得W＝mgR，故D错误；根据以上分析可知，下滑过程中，杆对a球做负功，对b球做正功，所以a球机械能减少，b球机械能增加，故A、B错误。故选C。
能力提升练
7．(多选)如图甲所示，固定的斜面长为10 m，质量为m＝2.0 kg的小滑块自斜面顶端由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能Ek随位移x的变化规律如图乙所示，取斜面底端所在水平面为重力势能参考平面，小滑块的重力势能Ep随位移x的变化规律如图丙所示，重力加速度g＝10 m/s2。则下列判断中正确的是( )
A．斜面的倾角为45°
B．滑块与斜面间的动摩擦因数为
C．下滑过程滑块的加速度大小为1.25 m/s2
D．滑块自斜面下滑过程中损失的机械能为25 J
解析：根据题图乙可知动能与位移图像的斜率大小为合外力大小，即F＝ N＝ N，根据题图丙可知重力势能与位移图像斜率大小为重力在斜面上的分力大小，即mgsin θ＝10 N，滑块下滑过程中应用牛顿第二定律：mgsin θ－μmgcos θ＝F，解得：θ＝30°，μ＝，故A错误，B正确；根据上述分析可知滑块所受合外力为 N，根据牛顿第二定律：F＝ma，解得：a＝1.25 m/s2，故C正确；由能量守恒定律可知，重力势能损失100 J，动能增加25 J，说明机械能损失75 J，故D错误。故选BC。
8．(多选)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T-v2图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．轻质绳长为
B．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为－a
C．小球在最低点受到的最小拉力为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中杆始终对小球产生支持力
解析：小球在最高点时，由牛顿第二定律T＋mg＝m，由图像可知mg＝a；＝，解得l＝，选项A正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为T＝m－mg＝－a，选项B正确；小球在最高点时最小速度为v＝b，则由mv＋2mgl＝mv；T2－mg＝m，解得最低点受到的最小拉力为T2＝6a，选项C错误；若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；转到水平位置时由杆的拉力提供向心力，即此时杆对球的作用力是拉力，所以在小球从最高点由静止转过90°的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力，选项D错误。故选AB。
9．(多选)如图所示，竖直平面内有一固定的光滑轨道ABCD，其中倾角为θ＝37°的斜面AB与半径为R的圆弧轨道平滑相切于B点，CD为竖直直径，O为圆心。质量为m的小球(可视为质点)从与B点高度差为h的位置A点沿斜面由静止释放，重力加速度大小为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．当h＝2R时，小球过C点时对轨道的压力大小为5mg
B．当h＝2R时，小球不能从D点离开圆弧轨道
C．当h＝3R时，小球运动到D点时对轨道的压力大小为1.4mg
D．调整h的值，小球能从D点离开圆弧轨道，并能恰好落在B点
解析：当h＝2R时，从A点到C点的过程，根据机械能守恒有mg(h＋R－Rcos θ)＝mv，过C点时根据牛顿第二定律可得FN－mg＝m，解得支持力FN＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球过C点时对轨道的压力大小为mg，故A错误；若小球恰好从D点离开圆弧轨道时，设其速度为v0，则有mg＝m，解得v0＝，根据机械能守恒定律可得mg(h0－R－Rcos θ)＝mv，解得h0＝2.3R>2R，所以当h＝2R时，小球在运动到D点前已经脱离轨道，不会从D点离开做平抛运动，故B正确；当h＝3R时，小球运动到D点时速度大小为vD，从释放到达到D点，由机械能守恒可得mg(3R＋R－Rcos θ)＝mg·2R＋mv，解得vD＝，由牛顿第二运动定律可得N＋mg＝m，解得N＝1.4mg，根据牛顿第三定律可得小球运动到D点时对轨道的压力大小为1.4mg，故C正确；根据B选项可知，若小球能从D点离开圆弧轨道，则小球在D点的速度为v0＝，小球以速度v0从D点离开后做平抛运动，根据平抛运动的规律可得R＋Rcos θ＝gt，解得t0＝6，水平位移x＝v0t0＝≈1.9R>0.6R，小球不能落在B点，故D错误。故选BC。
10．(多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．AB杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL
C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功
D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒
解析：在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B端的球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有mg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2，解得角速度ω＝，A正确；在此过程中，B小球机械能的增量为ΔEB＝E末－E初＝×2m(ω·2L)2－2mg·2L＝mgL，B正确；AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB对C球做负功，对B球做正功，C错误；由C选项分析可知C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D错误。故选AB。
11.(多选)如图所示，一轻绳跨过固定的光滑轻质定滑轮，一端连接重物，另一端连接小环，小环穿在竖直固定的光滑细杆上，重物的质量为小环的2倍。刚开始小环位于杆上A处，A与定滑轮等高且与定滑轮间的距离为d，重物与定滑轮始终没有接触。现将小环从A由静止释放，下列说法正确的是( )
A．小环下降d时，重物与小环的速率之比为1∶2
B．小环下降d时，重物与小环的速率之比为2∶1
C．重物能够上升的最大高度为d
D．重物能够上升的最大高度为d
解析：由几何关系可知，小环下降d时，细线与竖直方向的夹角为60°，则v物＝v环cos 60°即重物与小环的速率之比为1∶2，选项A正确，B错误；当重物上升到最大高度时由能量关系2mgh＝mg，解得h＝d，选项C正确，D错误。故选AC。
12．(多选)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)。则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大
解析：圆环沿杆滑下过程中，弹簧的拉力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，故A错误；圆环沿杆滑下过程中，弹簧和圆环系统满足机械能守恒条件：只有弹簧弹力和重力做功，故系统的机械能守恒，根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒可知，圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故D正确；图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h＝L，根据圆环和弹簧系统的机械能守恒，得弹簧的弹性势能增加值为ΔEp＝mgh＝mgL，故B正确；圆环所受合力为零时，加速度为0，速度达最大，此后圆环将继续向下运动，则弹簧的弹力继续增大，所以当圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零，故C错误。故选BD。
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第八章 机械能守恒定律
4．机械能守恒定律
核心素养 考试重点、难点
物理观念 围绕功能关系的基本线索，建立“通过做功的多少，定量的研究能量及其相互转化”的观念，进而理解机械能守恒定律。 会分析具体实例中动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化，理解机械能守恒定律的推导过程。会判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。
科学思维 初步学会从能量守恒的角度来解释物理现象，分析物理问题。
科学探究 体会自然界中“守恒”思想和利用“守恒”思想解决问题的方法。
科学态度
与责任 通过机械能守恒的学习，使学生树立科学观点，理解和利用自然规律，解决实际问题。
探究点1 追寻守恒量及动能与势能的相互转化
●新知导学
情境：伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现：无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
探究：在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？
?[提示]
[提示]
将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在运动过程中重力势能减小则动能就增加，小球的动能减小则重力势能就增加，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。
●重难解读
动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能。
2．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能。
类型：动能与势能的相互转化
典题1：如图所示，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动，记住它向右能够达到的最大高度，然后用一把直尺在P点挡住悬线，继续观察之后小球的摆动情况并分析，下列结论中正确的是( )
A．在P点放置直尺后，小球向右摆动的最大高度明显低于没放直尺时到达的高度
B．在P点放置直尺后，小球向右摆动的最大高度明显高于没放直尺时到达的高度
C．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度变大
D．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球加速度变大,
思维点拨：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，这个转化过程中机械能守恒。
?[规律方法]
[规律方法]
只有重力做功时，物体的动能和重力势能可以相互转化，在转化过程中其动能和重力势能的和保持不变。
跟踪训练1：把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示，迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)。松手后，小球从A到B再到C的过程中，忽略弹簧的质量和空气阻力，下列分析正确的是( )
A．小球处于A位置时小球的机械能最小
B．小球处于B位置时小球的机械能最小
C．小球处于C位置时小球的机械能最小
D．小球处于A、B、C三个位置时小球的机械能一样大
解析：对于系统而言，只有重力和弹簧弹力做功，动能、重力势能、弹性势能相互转化，系统机械能守恒，所以小球处于A、B、C三个位置时系统机械能一样大；而对于小球而言，在A到B的过程中，弹簧对小球做正功，弹簧弹性势能减小，故小球机械能增加，B到C过程中小球只有重力做功，小球机械能不变，所以小球在A位置机械能最小，B、C位置小球机械能一样大，故A正确。故选A。
?[思考]
[思考]一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落(如图)。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？
提示：这两种情况下，重力做功相等，重力势能的变化相等，动能变化不相等，小球在黏性较大的液体中运动末动能小，小球只受重力作用时小球减小的重力势能转化成了小球的动能，小球在黏性较大的液体中运动时小球减小的重力势能一部分转化成了小球的动能，还有一部分转化成了油的部分动能和内能。
探究点2 机械能守恒定律
●新知导学
探究：动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系？
?[提示]
[提示]
这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下，物体受到重力和曲面支持力的作用，因为支持力方向与运动方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。
这就是说，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为动能。
等式左边为物体末状态动能与势能之和，等式右边为物体初状态动能与势能之和。
可见，在只有重力做功的系统内，动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。
●基础梳理
机械能守恒定律
1．内容：在只有_______或_______做功的物体系统内，_______与_______可以互相转化，而_____________保持不变。
2．表达式：
(1)Ek2－Ek1＝___________，即_________＝_________。
(2)Ek2＋Ep2＝___________。
(3)E2＝_______。
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和_______，不必考虑两个状态间_____________，即可以简化计算。
重力
弹力
动能
势能
总的机械能
Ep1－Ep2
ΔEk增
ΔEp减
Ek1＋Ep1
E1
末状态
过程的细节
[判断正误]
(1)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(2)物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。( )
(3)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( )
(4)做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒。( )
(5)物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒。( )
(6)物体所受合力做功为零，机械能一定守恒。( )
×
×
√
×
√
×
(7)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。( )
(8)合力做的功等于物体机械能的改变量。( )
(9)克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。( )
(10)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。( )
√
×
√
√
●重难解读
机械能守恒条件
1．物体系统内只有重力或弹力做功。
2．对机械能守恒条件的理解
(1)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化。
(2)从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
①只受重力作用，例如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力时)机械能守恒。
②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示。
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒。
图乙中，A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒。
图丙中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，机械能不守恒。
类型一：机械能守恒的判断
典题2：在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角的位置释放后小球绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有A、B两小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断正确的是( )
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球A的机械能守恒
C.丙图中两车组成的系统机械能守恒
D.丁图中小球的机械能守恒
思维点拨：对物体或系统进行受力分析，看是否只有重力或弹力做功，除去重力或弹力以外受其他力但其他力是否做功去判断。
解析：甲图中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时系统的机械能守恒；丙图中细绳绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的运动轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒，故A正确。故选A。
?[规律方法]
[规律方法]机械能是否守恒的两种判断方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
跟踪训练2：如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
类型二：单物体机械能守恒问题
典题3：如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
思维点拨：物块在运动过程中只有重力做功，可以用机械能守恒定律去分析解决。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)机械能守恒的三种表达式
(2)解题的一般步骤
①选取研究对象；
②进行受力分析，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒；
③选取参考平面，确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量；
④根据机械能守恒定律列出方程；
⑤解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明。
跟踪训练3：(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
类型三：系统机械能守恒问题
典题4：如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
思维点拨：轻杆对物体的力属于内力，a、b组成的系统机械能是否守恒，看系统重力以外的其他力是否对物体做功。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)解决多物体系统机械能守恒的注意点
①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
(2)几种实际情景的分析
①速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr知，v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
跟踪训练4：(多选)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)( )
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
类型四：功能关系
典题5：如图是某种固定在同一竖直平面内的弹射装置，B、C、E分别是圆弧轨道最高或最低处，且R2＝2R1＝2r。某质量为m的小球压缩弹簧由静止弹出，小球离开水平轨道AG后，直接进入光滑竖直圆轨道BC的最高点B处，在B处对轨道压力大小为mg(g为重力加速度)，小球经过C点后平抛飞出，恰好无能量损失地从D点切线进入光滑圆弧轨道DE，最后停在EF轨道某处，小球在两段水平轨道上运动的距离相等，且小球与AG、EF的动摩擦因数也相同，不计空气阻力。已知∠DO2E＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球经过C点的速度大小；
(2)小球在E点处对轨道的压力；
(3)弹簧储存的弹性势能。
思维点拨：本题考查机械能守恒定律和能量守恒定律，解题过程中分析清楚小球各阶段运动是关键，对于多过程运动选择合适的初末状态列式。
(1)根据牛顿第二定律求在B点时速度，B到C过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求得C点时速度；
(2)从C点飞出之后，小球做平抛运动，恰好无能量损失从D点切入第二个圆弧轨道，根据机械能守恒定律求E点速度，再根据牛顿第二定律求在E点对轨道的压力；
(3)整个过程中，弹簧弹性势能和重力势能转化为内能，小球在两段水平轨道上运动的距离相等，说明克服摩擦力所做的功是相同的，根据功能关系联立求解。
解析：(1)小球经过圆弧轨道最高点B时，对轨道压力为mg，根据牛顿第三定律，则轨道对小球的压力也为mg。
(3)小球在两段水平轨道上运动的距离相等，说明克服摩擦力所做的功是相同的。
?[规律方法]
[规律方法]功能关系及其应用
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功，就有多少能量发生转化。
跟踪训练5：(多选)如图所示，将一轻弹簧下端固定在粗糙斜面底端，弹簧处于自然状态时上端位于A点，一个物体从斜面上的B点由静止开始自由下滑，与弹簧发生若干次相互作用后，最终停在斜面上某点处。下列判断正确的是( )
A．物体最终停在A、B间的某点
B．物体第一次反弹后不能到达B点
C．整个过程中物体第一次到达A点时动能最大
D．整个过程中物体重力势能的减少量大于物体克服摩擦力做的功
解析：由题意可知，物块从斜面上的B点由静止开始自由下滑，说明重力的下滑分力大于最大静摩擦力，因此物体最终不可能停于A、B间的某点，故A错误；由于运动过程中存在摩擦力，摩擦力做功，所以物体第一次反弹后不可能到达B点，故B正确；物体接触弹簧后，还要继续加速，直到弹力和摩擦力的合力与重力的分力相等时，达到最大速度，故最大速度在A点下方，第一次到达A点时动能不是最大，故C错误；重力的下滑分力大于最大静摩擦力，因此物体最终停止时弹簧有向上的弹力，弹簧被压缩，具有弹性势能，根据能量守恒可知整个过程中物体重力势能的减少量等于物体克服摩擦力做的功和弹簧增加的弹性势能，故D正确。故选BD。
素养能力提升
拓展整合 启智培优
1．几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力的功 重力势能变化 (1)重力做正功，重力势能减少
(2)重力做负功，重力势能增加
(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功 弹性势能变化 (1)弹力做正功，弹性势能减少
(2)弹力做负功，弹性势能增加
(3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
力做功 能的变化 定量关系
只有重力、弹簧弹力做功 机械能不变化 机械能守恒，ΔE＝0
除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能变化 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少
(3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少
内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加
(2)摩擦生热Q＝Ffx
2.两种摩擦力做功特点的比较
类型
比较 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
不同点 能量的转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力所做功的代数和总等于零 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
解析：电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D错误。故选B。
2.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是( )
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
解析：不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。故选B。
3．如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物体的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒
解析：甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。故选D。
4．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中( )
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
解析：斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。故选C。
