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第六章 圆周运动
1．圆周运动
核心素养 考试重点
物理观念 1．认识圆周运动，知道它是变速曲线运动。
2．理解线速度、角速度、周期、转速的概念，掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。 描述圆周运动的物理量。
科学思维 在学习圆周运动相关知识的时候，渗透对化曲为直、取极限等科学思维的认识。
科学探究 以圆周运动的认知途径为探究过程，穿插对圆周运动相关知识的理解，在学习中逐步探究未知的物理知识，达到对科学的认知，学会探究的一般过程。
科学态度
与责任 有学习和研究圆周运动的内在动机，在实际问题中坚持实事求是的态度。
探究点1 描述圆周运动的物理量
●新知导学
情境：
探究：(1)观察上图几个常见的运动，具有什么共同特点？
(2)重点分析指针的针尖和自行车各个轮的边缘，物体做圆周运动经过相同的弧长所用时间一样吗？相同时间内，物体转过的角度大小；物体转一圈，所用时间的长短；相同时间内，物体转过的圈数多少。物理上用什么物理量来表示？
?[提示]
[提示]
(1)都做圆周运动。
(2)用微元法去分析，和瞬时速度分析相似。指针针尖或车轮边缘某点转一周所对应的角度是360°或2π。
●基础梳理
一、线速度
1．线速度大小和方向
(1)定义：质点做圆周运动通过的__________和
所用_________的比值叫作线速度的大小。
(2)大小：v＝_______；单位：_________。
(3)方向：沿圆周在该点的_______方向上，与半径_______。
弧长Δs
时间Δt
m/s
切线
垂直
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)匀速圆周运动是 _______运动。
相等
变速
?[思考]
[思考]匀速圆周运动中的“匀速”指速度不变吗？
二、角速度
1．定义：质点所在的半径转过的_________和所用_________的比值。
2．公式：ω＝______。
3．理解：描述圆周运动转动_______的物理量，角速度越大，转动得_______。
4．单位：_____________
5．匀速圆周运动是_____________的圆周运动。
角度Δθ
时间Δt
快慢
越快
rad/s
角速度不变
三、周期
1．周期
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，转过_____所用的时间，用T表示。
(2)单位：_____
(3)周期越大，运动的越_____。
一周
s
慢
2．转速
(1)定义：表示的是物体在单位时间内转过的_______。
(2)单位：_________(r/s)或转/分(r/min)。
(3)转速越大，运动越_____。
圈数
转/秒
快
[判断正误]
(1)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变。( )
(2)匀速圆周运动是一种匀速运动。( )
(3)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。( )
提示：(2)匀速圆周运动线速度方向时刻在变。
√
×
√
●重难解读
1．匀速圆周运动的特点
(1)“变”与“不变”
描述匀速圆周运动的四个物理量中，角速度、周期和转速恒定不变，线速度是变化的。
(2)性质
匀速圆周运动中的“匀速”不同于匀速直线运动中的“匀速”，这里的“匀速”是“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动。
2. 匀速圆周运动的线速度、角速度、周期、频率、转速的比较
类型：描述圆周运动的物理量
典题1：如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的( )
A．转速之比为k∶1
B．角速度之比为k∶1
C．线速度大小之比为k∶1
D．周期之比为k∶1
?[规律方法]
[规律方法]匀速圆周运动的特点
(1)转速、周期和角速度已知其中一个量就可知道另外两个量。
(2)不打滑的两个圆轮、齿轮边缘交接点处或皮带上各处的线速度大小相等。
跟踪训练1：圆周运动是生活中常见的一种运动，如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上一个小物块随圆盘一起做匀速圆周运动。关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是( )
A．在相等的时间内，小物块的位移相同
B．匀速圆周运动是角速度不变的运动
C．匀速圆周运动的匀速是指速率不变
D．匀速圆周运动一定是变速运动
解析：小物块做匀速圆周运动，线速度大小不变，方向时刻改变，在相等的时间内，小物块通过的路程一定相等，但位移不一定相同，A说法错误，符合题意；匀速圆周运动的线速度大小不变，即速率不变，角速度恒定不变，故B、C说法正确，不符合题意；匀速圆周运动的线速度方向时刻在变化，即速度时刻在变化，一定是变速运动，故D说法正确，不符合题意。故选A。
探究点2 线速度与角速度的关系
●新知导学
情境：
探究：(1)线速度的大小描述了做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢，角速度的大小描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢。它们之间有什么关系呢？
(2)周期和转速的大小也可以描述做圆周运动的物体运动的快慢，那么线速度和角速度的大小与周期和转速之间有什么关系呢？
?[提示]
[提示]
(1)摩天轮或旋转木马上半径不同的点其周期相同，但线速度不同，半径越大，其对应的线速度越大。
(2)已知周期或转速，先求出角速度再去找其和线速度之间的关系。
●基础梳理
1．线速度与角速度的关系：v＝________。
2．线速度、角速度与周期、转速的关系：v＝ ________ ；ω＝
________ ；v＝ _______________ ；ω＝ ________ 。
ωr
2πnr
2πn
●重难解读
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
类型一：传动装置问题的分析
典题2：如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起同轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比。
思维点拨：会分析哪些点角速度相同，哪些点线速度大小相等。
解析：A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1①
由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2②
B、C两轮固定在一起同轴转动，则B、C两轮的角速度相等，即ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
答案：1∶2∶2 1∶1∶2
?[规律方法]
[规律方法]传动装置的特点
(1)在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定相同的量。
①同轴传动：物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。
②皮带传动(皮带不打滑)：与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。
(2)技巧归纳：v、ω及r间的关系
①由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；ω一定时，v∝r.v与ω、r间的关系如图
跟踪训练2：如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无相对滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶3∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．周期之比为2∶3∶2
类型二：圆周运动中的多解问题
典题3：(多选)半径为R的水平圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，A为圆盘边缘上一点，在O的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA恰好与v的方向相同，如图所示，若要使小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则圆盘转动的角速度可能为( )
思维点拨：小球落在A位置的时间一定，但转盘上的A点转到图示位置可能转了多圈。
?[规律方法]
[规律方法]
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
跟踪训练3：如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
素养能力提升
拓展整合 启智培优
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
2．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
3．如图所示，两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动。将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。若木板的长度L>2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间是( )
4．如图是自行车的传动部分，大齿轮通过链条带动小齿轮(固定在后轮轴上)转动，c、b、a分别是大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的三点，下列说法正确的是( )
A．c、b两点的角速度相等
B．a、b两点的线速度大小相等
C．a点角速度比c点角速度小
D．a点线速度比c点线速度大
解析：链条传动线速度相等，同轴传动角速度相等。由图可知b、c两点线速度相等，即vb＝vc，由于c的半径大于b的半径，根据v＝ωr可知，ωb＞ωc，故A错误；后轮边缘点a与小齿轮边缘点b为同轴，所以角速度相等即ωa＝ωb，因为a的半径大于b的半径，由v＝ωr可知，va＞vb，故B错误；由以上可知ωa＝ωb＞ωc，va＞vb＝vc，故C错误，D正确。故选D。第六章 1
课后知能作业
基础巩固练
1. 如图所示，地球可以看作一个球体，O点为地球球心，位于北纬60°的物体A和位于赤道上的物体B，都随地球自转做匀速圆周运动，则( )
A．物体的周期TA∶TB＝1∶2
B．物体的周期TA∶TB＝1∶1
C．物体的线速度大小vA∶vB＝1∶1
D．物体的角速度大小ωA∶ωB＝1∶2
解析：A、B两物体共轴转动，角速度相同，周期相等，即两物体的周期TA∶TB＝1∶1，角速度大小ωA∶ωB＝1∶1，故A、D错误，B正确；设地球半径为R，B物体做匀速圆周运动的半径为RB＝R，A物体做匀速圆周运动的半径为RA＝Rcos 60°＝R根据v＝ωr，可知两物体的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶2，故C错误。故选B。
2. 2019年1月1日，美国宇航局(NASA)“新视野号”探测器成功飞掠柯伊伯带小天体“天涯海角”，图为探测器拍摄到该小天体的“哑铃”状照片示意图，该小天体绕固定轴匀速自转，其上有到转轴距离不等的A、B两点(LA>LB)，关于这两点运动的描述，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小相等
B．A点的线速度恒定
C．A、B两点角速度相等
D．相同时间内A、B两点通过的弧长相等
解析：A、B两点同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr，LA>LB可得vA>vB，故A错误，C正确；A点的线速度方向不断改变，故B错误；A点的线速度比B点的线速度大，相同时间内A点通过的弧长较长，故D错误。故选C。
3. 如图所示，A、B、C分别是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮的边缘上的三个点，到各自转动轴的距离分别为3r、r和10r。支起自行车后轮，在转动踏板的过程中，A、B、C三点( )
A．角速度大小关系是ωA>ωB＝ωC
B．线速度大小关系是vAC．转动周期之比TA∶TB∶TC＝3∶1∶1
D．转速之比nA∶nB∶nC＝3∶3∶1
解析：根据题意可知，B、C为同轴转动，角速度相等，A、B为皮带传动，线速度相等，由公式v＝ωr可知，由于rA>rB，rB4．如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮(接触处没有滑动)，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的有( )
A．va＝2vb B．ωb＝2ωc
C．vc＝va D．ωb＝ωc
解析：a和b两点在轮的边缘，线速度大小相等，则有va＝vb，故A错误；a和c两点同轴转动，角速度相等；b点和c点角速度之比等于b点和a点角速度之比，根据v＝ωr，可得＝＝＝，故B正确，D错误；a和c两点同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr可知a和c两点线速度大小之比为＝＝，故C错误。故选B。
5. 株洲市时代新材风电项目部可以生产风力发电设备，如图所示的风力发电叶片上有M、N两点，在叶片转动过程中( )
A．vM>vN B．vM＝vN
C．ωM>ωN D．ωM＝ωN
解析：由于M、N属于同轴转动，故角速度相等ωM＝ωN，故C错误，D正确；由v＝ωr，rN>rM知vM6．明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图所示)，记录了我们祖先的劳动智慧。若A、B、C三齿轮的半径大小关系如图，则( )
A．齿轮A的角速度比C的大
B．齿轮A与B的角速度大小相等
C．齿轮B与C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比C边缘的线速度大
解析：由图可知，A、B、C三齿轮半径大小的关系为rA>rB>rC齿轮A的边缘与齿轮B的边缘接触，齿轮B与C同轴转动，故vA＝vB；ωB＝ωC根据v＝ωr可得ωA<ωB＝ωC；vA＝vB>vC，故选D。
能力提升练
7．如图所示，山地自行车的牙盘、飞轮之间用链条传动。运动员为获得较好的加速效果，骑行时将牙盘上的链条放在半径最大的轮盘上，将飞轮上的链条放在半径最小的轮盘上。已知牙盘上最大轮盘的半径为18 cm，飞轮上最小轮盘的半径为2 cm，则牙盘飞轮边缘上两点的( )
A．转速之比为1∶9
B．线速度之比为9∶1
C．角速度之比为9∶1
D．周期之比为1∶9
解析：牙盘飞轮边缘上两点的线速度相等，由v＝ωr＝＝2πnr，可得＝＝＝＝，故选A。
8．如图所示，当工人师傅用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的转动半径之比为2∶3，其角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则( )
A．ωP∶ωQ＝1∶1，vP∶vQ＝2∶3
B．ωP∶ωQ＝1∶1，vP∶vQ＝3∶2
C．ωP∶ωQ＝3∶2，vP∶vQ＝1∶1
D．ωP∶ωQ＝2∶3，vp∶vQ＝1∶1
解析：P、Q两点同轴转动，角速度大小相等，故ωP∶ωQ＝1∶1，根据v＝ωr可得P、Q两点线速度之比vP∶vQ＝2∶3，故选A。
9．学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆转轴O与车左侧面水平距离为0.6 m，闸杆距地面高为1 m，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，已知4 s内可转过90°。汽车以速度3 m/s匀速驶入自动识别区，识别的反应时间为0.3 s。若汽车可看成高1.6 m的长方体，要使汽车匀速顺利通过，则自动识别区ab到a′b′的距离至少为( )
A．6.9 m B．7.0 m
C．7.2 m D．7.6 m
解析：要使汽车匀速顺利通过，闸杆转动的最小角度为θ，根据几何关系有tan θ＝＝1，解得θ＝45°，闸杆转轴在竖直面内匀速转动，4 s内可转过90°，故闸杆的转动时间至少为t＝2 s，自动识别区ab到a′b′的距离至少为x＝v(t＋t0)＝3×(2＋0.3)m＝6.9 m，故选A。
10．(多选)如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D．大齿轮和小齿轮边缘的线速度大小之比为1∶1
解析：小齿轮和后轮共轴，角速度相等，故A错误；大齿轮和小齿轮共线，线速度相等，根据v＝ωr可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B、D正确；小齿轮和后轮共轴，根据v＝ωr可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C错误。故选BD。
11. (多选)如图所示为某种水轮机的示意图，水平管中流出的水流冲击水轮机上的某挡板时，水流的速度方向刚好与水轮机上该挡板的线速度方向相同，水轮机圆盘稳定转动时的角速度为ω，圆盘的半径为R。水流冲击某挡板时，该挡板和圆心连线与水平方向的夹角为37°，水流速度为该挡板线速度的2倍。忽略挡板的大小，重力加速度为g，不计空气阻力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则下列说法正确的是( )
A．水从管口流出的速度v0为1.2Rω
B．水从管口流出的速度v0为0.6Rω
C．水管出水口距轮轴O的水平距离为－R
D．水管出水口距轮轴O的水平距离为－R
解析：由题意可知，水流冲击挡板时速度大小v＝2Rω，因此水从管口流出时的速度v0＝vsin 37°＝1.2Rω，故A正确，B错误；水在空中做平抛运动，竖直方向上有vy＝vcos 37°＝1.6Rω＝gt，水平方向上有x＝v0t，可得水管出水口距轮轴O的水平距离为d＝x－Rcos 37°，联立以上式子，求得d＝－R，故C错误，D正确。故选AD。
12．如图所示，将小球从A点对准竖直放置的圆盘的上边缘B点水平抛出，圆盘绕圆心O以ω＝10 rad/s的角速度匀速转动，小球运动到圆盘的边缘时速度方向正好与圆盘的边缘相切于D点，且速度大小与圆盘边缘的线速度相等，O、D的连线与竖直方向的夹角为60°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小球从A点运动到D点所用的时间及圆盘的半径；
(2)小球从A点运动到D点的过程中，圆盘转过的角度(用弧度表示)；
(3)A、D两点间的距离。
答案：(1) s 0.4 m (2)2 rad (3) m
解析：(1)小球从A点运动到D点，设时间为t，初速度为v0，圆盘的半径r，则r＋rcos 60°＝gt2
把小球在D点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据几何知识tan 60°＝
ωrcos 60°＝v0
解得v0＝＝2 m/s
r＝＝0.4 m
t＝＝ s。
(2)根据ω＝
解得转过的角度θ＝2 rad。
(3)小球从A点运动到D点，平抛运动的水平位移x＝v0t
A、D两点间的距离d＝
解得d＝ m。
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