(共60张PPT)
第七章 万有引力与宇宙航行
3．万有引力理论的成就
核心素养 考试重点
物理观念 建立天体运动模型的物理观念，培养学生的时空观念、相互作用观念。 1.地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。
2．通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
科学思维 通过学习培养学生善于观察、善于思考、善于动手的能力。
科学探究 探究重力与地球自转之间的关系。
科学态度
与责任 培养学生认真严谨的科学态度和大胆探究的心理品质；体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美。
探究点1 “称量”地球的质量
●新知导学
情境：1798年，卡文迪什巧妙地利用扭秤装置较准确地测出了引力常量的值，同时对外宣称：“我称出了地球的重量。”他“称”出的地球的质量和后世测出的地球质量吻合。因此卡文迪什也被称为第一个称出地球质量的人。
探究：卡文迪什是如何在实验室中“称量”地球质量的？
?[提示]
[提示]
●基础梳理
1．地球表面上的重力与万有引力的关系
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得__________。
2．重力与纬度的关系
越大
等于
3.重力、重力加速度与高度的关系
[判断正误]
(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。( )
(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。( )
提示：重力为万有引力的分力。
×
√
●重难解读
类型一：称量地球的质量
典题1：1970年4月24日，第一颗人造卫星东方红一号在酒泉卫星发射中心成功发射。由长征一号运载火箭送入椭圆轨道。若该卫星运行轨道与地面的最近距离为h1，最远距离为h2。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，根据以上信息不可求出的物理量有( )
A．地球的质量
B．月球表面的重力加速度
C．月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径
D.东方红一号绕地球运动的周期
思维点拨：将月球的运动近似看成匀速圆周运动，用开普勒第三定律去分析。
?[规律方法]
[规律方法]计算地球质量的两种方法
(1)重力加速度法
②说明：g为天体表面的重力加速度。
地球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、上抛等运动，从而计算出该地球表面的重力加速度。
(2)“卫星”环绕法
跟踪训练1：一宇航员在地球的表面上做平抛运动实验：在离地面h高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离x和落地时间t，又已知地球的半径为R，引力常量为G，若不考虑地球自转的影响，求：(最后结果必须用题中已知物理量表示)
(1)小球抛出的初速度大小；
(2)地球表面的重力加速度；
(3)地球的质量。
类型二：万有引力与重力的关系
典题2：(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是( )
思维点拨：判断地球的自转是不是影响物体的重力大小。
?[规律方法]
[规律方法]
考虑地球的自转，以两极的连线为轴，地球上所有物体的角速度相同，赤道上的物体由于半径最大，则线速度最大，则需要的向心力最大，两极的物体圆周运动的半径最小为零，不需要向心力，所以对于称量同一个物体时，在赤道地面称量时，弹簧测力计读数小，在两极上称量时，弹簧测力计读数大。
类型三：重力、重力加速度与高度的关系
典题3：设想从地球赤道平面内架设一垂直于地面延伸到太空的电梯，电梯的箱体可以将人从地面运送到地球同步轨道的空间站。已知地球表面两极处的重力加速度为g，地球自转周期为T，地球半径为R，引力常量为G。求：
(1)同步轨道空间站距地面的高度h；
(2)太空电梯的箱体停在距地面R高处时，箱体对质量为m的乘客的作用力F。
思维点拨：电梯的箱体将人从地面运送到地球同步轨道的空间站过程中角速度不变。
所以，箱体对质量为m的乘客的作用力为
方向为背离地心。
?[规律方法]
[规律方法]高度对重力的影响(不考虑地球自转)
由(1)和(2)联立可知高度对重力的影响(不考虑地球自转)
跟踪训练3：运行在星际间的流星体(通常包括宇宙尘粒和固体块等空间物质)，在接近地球时由于受到地球引力的摄动而被地球吸引，从而进入大气层，并与大气摩擦燃烧产生光迹。夜空中的流星非常美丽，人们常赋予它美好的意义，认为看到流星并对它进行许愿就能实现心愿。若某流星距离地面高度为一个地球半径，地球北极的重力加速度为g，则流星的加速度为( )
探究点2 计算天体的质量和密度
●新知导学
探究：地球的质量能测，那么其他天体的质量能测吗？其他天体的密度能测吗？
?[提示]
[提示]
能，和测地球的质量方法相似，密度的测量则需要求出球体的体积。
●基础梳理
计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量，这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量，其中T为公转周期，r为轨道半径。
5．计算天体的密度
(2)利用环绕天体求中心天体质量和密度
(3)说明
②通过g、R法，环绕法求出M后再进一步求出ρ。
类型一：计算天体的质量
典题4：一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，当物体处于竖直静止状态时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
思维点拨：和求地球质量相似可用重力加速度法，或用“卫星”环绕法。
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练4：人类对外太空的探索从未停止，至今已在多方面取得了不少进展。假如人类发现了某X星球，登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，已知小球在最高点的速度为v，轨道半径为r。若已测得X星球的半径为R，引力常量为G，则X星球的质量为( )
类型二：计算天体的密度
典题5：假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。求：
(1)地球的密度；
(2)地球自转的角速度增大到原来的多少倍，地球将会瓦解。
思维点拨：若考虑星球自转，两极万有引力等于重力，赤道上所需向心力最大，重力最小，当随星球自转所需向心力等于万有引力时，星球会瓦解。
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练5：2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离为L2，已知探测器在轨道上运行的周期为T，L1＋L2≈18R，引力常量为G。则火星的密度约为( )
?[思考]
[思考]已知太阳与地球间的平均距离约为1.5×1011 m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
探究点3 发现未知天体和预言哈雷彗星回归
●新知导学
1．发现未知天体
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷用一年时间计算发现1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星是同一颗彗星，并预言这颗彗星将于1758年底或1759年初再次回归。结果，在哈雷去世17年后的1759年3月，这颗彗星如期通过近日点。无论是卡文迪什对地球质量的准确测量，还是哈雷对哈雷彗星回归的准确预测，都体现了理论对实践的巨大指导作用，同时也确立了万有引力定律的地位。哈雷又是根据什么准确预测哈雷彗星的回归的？万有引力理论还有哪些成就？
●基础梳理
发现未知天体
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶发现了________。近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了_________、阋神星等几个较大的天体。
英国天文学家哈雷依据___________定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
海王星
冥王星
万有引力
[判断正误]
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( )
(2)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。( )
(3)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。( )
提示：(3)海王星被称为“笔尖下发现的行星”。
√
√
×
素养能力提升
拓展整合 启智培优
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
C．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
D．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
2．已知地球的半径约为R＝6 400 km，地球表面的重力加速度约为g＝9.80 m/s2，引力常量约为G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则地球的质量约为( )
A．2.0×1024 kg B.2.0×1030 kg
C．6.0×1024 kg D.6.0×1030 kg
3．中子星是一种密度很大的特殊天体。若某中子星恰好能维持不解体，其自转的周期为T，已知引力常量为G，则中子星的平均密度为( )
4．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为( )第七章 3
课后知能作业
基础巩固练
1.如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的向心加速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
解析：P、Q两质点所受地球引力大小都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，则vP>vQ，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，由an＝ω2r可知，P的向心加速度大，故B、C错误；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。故选A。
2．下列关于重力和万有引力的说法正确的是( )
A．重力和万有引力是不同性质的力
B．在任何情况下，都可以认为地球表面物体的重力等于地球对它的万有引力
C．由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关
D．在地球赤道上的物体，物体的重力等于万有引力
解析：重力是由于地球吸引而受到的力，在不考虑地球自转的情况下，重力等于万有引力，是同种性质的力，故A、B错误；万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关，故C正确；在地球赤道上的物体，万有引力提供重力和向心力，故D错误。故选C。
3．理论的威力在于预见性，以牛顿引力理论为指导从笔尖下发现的大行星是( )
A．木星 B.土星
C．天王星 D.海王星
解析：太阳系的第八颗行星“海王星”是凭借牛顿的万有引力定律，通过计算在笔尖下发现的行星，故A、B、C错误，D正确。故选D。
4．地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则离地球表面高处的重力加速度为( )
A. B.g
C.g D.g
解析：地球表面万有引力等于重力有＝mg，同理离地球表面高处有＝mg′，联立解得g′＝g，故选C。
5．随着空间探测技术的发展，中国人的飞天梦已经成为现实。某质量为m的探测器关闭发动机后被某未知星球捕获，在距未知星球表面一定高度的轨道上以速度v做匀速圆周运动，测得探测器绕星球运行n圈的总时间为t。已知星球的半径为R，引力常量为G，则该未知星球的质量为( )
A. B.
C. D.
解析：探测器做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，n圈的总时间为t，则周期为T＝。根据线速度与周期关系有v＝，设星球的质量为M，根据探测器做圆周运动的向心力是由万有引力提供有G＝mr，联立方程得到M＝，故B正确，A、C、D错误。故选B。
6．一物体静止在质量均匀的星球表面的“赤道”上。已知引力常量G，星球密度ρ。若由于星球自转使物体对星球表面的压力恰好为零，则该星球自转的周期为( )
A. B.
C.ρGπ D.
解析：设某行星质量为M，半径为R，物体质量为m，万有引力充当向心力，则有G＝mω2R，又M＝ρV＝ρπR3，联立两式解得：ω＝。又因为ω＝，故T＝，故A正确。故选A。
能力提升练
7．由于地球的自转，地球表面不同位置的重力加速度是不相等的。若地球自转加快，地球两极和赤道的重力加速度差值会( )
A．不变 B.变小
C．变大 D.无法确定
解析：若地球自转加快，角速度ω变大，地球两极重力加速度为g1，万有引力等于重力，故有：mg1＝，g1＝，在赤道，设重力加速度为g2，mg2＋mω2R＝，g2＝－ω2R。地球两极和赤道的重力加速度差值为ω2R，随着ω变大而变大。故选C。
8．在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉，最后船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为( )
A．0.25g B.0.5g
C．2g D.4g
解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝，由于地球的质量为M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝GρπR，根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在位于地面以下深0.5R处，受到地球的万有引力即为半径等于0.5R的球体在其表面产生的万有引力，故在位于地面以下深0.5R处的重力加速度为g′＝Gρπ·＝＝0.5g，故B正确，A、C、D错误。故选B。
9.电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星(比邻星)。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示(N较大，图中只画出了4个)。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地球转动的F动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F＝ma具有相似性，为M＝Iβ，其中M为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR，I为地球相对地轴的转动惯量，β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是( )
A．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小
B．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大
C．地球自转刹车过程中，两极点的重力加速度逐渐变大
D．β-t图像中曲线与t轴所围成面积的绝对值等于角速度变化量的大小
解析：地球自转刹车过程中，赤道上的物体的向心加速度减小，根据F万＝mg＋ma向可知，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，两极点的重力加速度不变，故A、C错误；停止自转后，地球表面任何地方的向心加速度均为零，万有引力完全提供重力，所以赤道附近与极地附近的重力加速度大小相等，故B错误；在M＝Iβ与F＝ma的类比中，β为单位时间内地球的角速度的改变量，即β＝，β-t图像中曲线与t轴所围成面积的绝对值等于角速度变化量的大小，故D正确。故选D。
10．一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A.倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
解析：该物体放在火箭中，对物体进行受力分析，物体受重力和支持力N；火箭以a＝5 m/s2的加速度匀加速竖直向上，根据牛顿第二定律得：N－G′＝ma，解得：G′＝1 N；由于不考虑地球自转的影响，根据万有引力等于重力得出：在地球表面：G0＝G＝mg；在航天器中：G′＝G；则：＝＝，所以r＝4R，即此时火箭距地高度为h＝r－R＝3R。故A、B、D错误，C正确。故选C。
11．美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)，其中T＝，解得M＝，土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正确。故选D。
12．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L，如图所示。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量。
答案：
解析：两次平抛运动，
竖直方向有h＝gt2
水平方向有x＝v0t，
根据勾股定理可得L2－h2＝(v0t)2，
抛出速度变为2倍时(L)2－h2＝(2v0t)2，
联立解得h＝L，g＝，
在星球表面有G＝mg，
解得M＝。
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