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第七章 万有引力与宇宙航行
1．行星的运动
核心素养 考试重点、难点
物理
观念 了解地心说和日心说两种不同的观点，理解开普勒行星运动三定律，能够运用开普勒定律解决一些简单问题。 理解和掌握开普勒行星运动定律，对开普勒行星运动定律的简单应用，认识行星的运动。
科学
思维 培养学生在客观事物的基础上通过分析、推理提出科学假设，再经过实验验证的正确认识事物本质的思维方法。
科学
探究 通过托勒密、哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。
科学态度与责任 体会科学家实事求是、尊重客观事实、不迷信权威、敢于坚持真理和勇于探索的科学态度和科学精神。体会人类对自然界不懈的追求是科学研究的动力之一。
探究点1 初步科学探索宇宙
●新知导学
情境：(1)当我们远古的祖先惊叹星空的玄妙时，他们就开始试图破译天体运行的奥秘……从最初的“天圆地方”到托勒密的“地心宇宙”，人们试图从不同视角探索天文现象的奥秘，但受时代的限制，这些观点与事实相差甚远，直到哥白尼“拦住了太阳，推动了地球”提出了著名的日心说，完成了人类对行星运动规律认识的质的飞跃；开普勒更是在日心说的基础上结合第谷的观测数据，提出了关于行星运动的“开普勒定律”。
(2)如图为行星绕太阳转动的示意图，观察各行星的运动轨迹，它们是规则的圆形吗？它们绕太阳一周的时间分别为：水星约88天、金星约225天、地球约365天、火星约687天、木星约11.9年、土星约29.7年、天王星约84.3年、海王星约165.2年。
探究：(1)什么是地心说？什么是日心说？
(2)猜测行星绕太阳运动的周期与它们到太阳的距离有什么样的定性关系？
?[提示]
[提示]
(1)地心说就是整个宇宙的中心是地球，日心说就是整个宇宙的中心是太阳。
(2)距离越大，周期越长。
●基础梳理
一、两种对立的学说
1．地心说
(1)_______是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月球以及其他星体都绕_______运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家_________。
2．日心说
(1)_______是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动；
(2)日心说的代表人物是_________。
地球
地球
托勒密
太阳
哥白尼
3．局限性
(1)古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的___________运动。
(2)开普勒研究了_______的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据_______(填“不符”或“相符”)。
匀速圆周
第谷
不符
二、开普勒定律
1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_______，太阳处在_________________上。
2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的___________。
椭圆
椭圆的一个焦点
面积相等
半长轴的三次方
公转周期的二次方
都相同
[判断正误]
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。( )
(2)与日、地距离相比，恒星离地球都十分遥远。( )
(3)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。( )
(4)行星轨道的半长轴越长，行星的公转周期越大。( )
(5)在中学阶段可认为地球围绕太阳做圆周运动。( )
提示：(1)所有行星都在绕太阳运动，轨道为椭圆。(3)行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，近日点速率最大，远日点速率最小。
×
√
×
√
√
●重难解读
开普勒三定律
1．开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，如图所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。
2．开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
(1)如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。离太阳越远，行星速率越小。开普勒第二定律又叫面积定律。
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点。同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。
3．开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值的大小由中心天体决定。
类型一：对开普勒第一定律的理解
典题1：(多选)下列说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D．太阳是静止不动的
思维点拨：画出轨迹椭圆找到椭圆的焦点去认识。
解析：太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。故选AB。
?[规律方法] [特别提醒]
[规律方法]
行星的轨道都是椭圆，如图甲所示。不同行星
绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的
一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共
同的焦点——太阳。行星与太阳间的距离是不断变
化的。
[特别提醒]
行星的轨道都是椭圆，但不一定是在同一平面。
跟踪训练1：(多选)对开普勒第一定律的理解，下列说法正确的是( )
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变的
B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
解析：根据开普勒第一定律的内容可以判定，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以它离太阳的距离是变化的，选项A错误，B正确；行星围绕着太阳运动，由于受到太阳的引力作用而被约束在一个椭圆的轨道上，该轨道是在某一固定的平面内的，选项C正确，D错误。故选BC。
类型二：对开普勒第二定律的理解
典题2：如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是( )
A．卫星在C点的速度最大
B．卫星在C点的加速度最大
思维点拨：根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，画出图形找到对应面积去分析。
?[规律方法]
[规律方法]
行星离太阳较近时速度较大，在近日点行星的速度最大；行星靠近太阳时速度增大。行星离太阳较远时速度较小，在远日点行星的速度最小；行星远离太阳时速度减小。
跟踪训练2：某行星绕太阳沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为( )
类型三：对开普勒第三定律的理解
典题3：如图所示，一颗卫星与同步卫星在同一轨道面内，运行方向相同，其轨道半径为同步卫星轨道半径的二分之一，地球自转的周期为T。从该卫星与同步卫星距离最近的位置开始计时，到第一次两卫星连线与该卫星轨道相切所经历的时间为( )
思维点拨：画图找到第一次两卫星连线与该卫星轨道相切时对应的位置关系，再根据几何关系找的边的关系，用开普勒第三定律去求解。
?[规律方法]
跟踪训练3：国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( )
A．8年 B．6年
C．4年 D．2年
探究点2 行星运动的近似处理
●重难解读
行星运动的近似处理
圆心
不变
匀速圆周运动
轨道半径r
公转周期T
类型：行星运动的近似处理
典题4：如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M(M m1，M m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4。从图示位置开始(a、c连线和b、c连线的夹角为一很小的锐角)，在b运动两周的过程中，a、b、c三点共线了( )
A．14次 B．24次
C．28次 D．32次
思维点拨：试分析a比b多转一圈相遇几次，多转两圈相遇几次？
?[规律方法]
[规律方法]
天体运动中的“相遇”指的是两个环绕天体和中心天体在一条直线上的时候，即相距最近(或最远)。若同向转动，则转的快的比转的慢的多转2π弧度再次相遇；若反向转动，则两者转过弧度加起来等于2π。
跟踪训练4：有一个名叫谷神的小行星，质量为m＝1.00×1021 kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动轨道半径的2.77倍，求它绕太阳运动一周所需要的时间。
答案：4.61年
解析：假设地球绕太阳运动的轨道半径为R0，则谷神绕太阳运动的轨道半径为R＝2.77R0。
已知地球绕太阳运动的周期为T0＝1年。
素养能力提升
拓展整合 启智培优
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．太阳系八大行星绕太阳运动，下列说法正确的是( )
A．太阳处在八大行星绕太阳运动的所有椭圆轨道的一个焦点上
B．金星比地球离太阳近，金星公转周期比地球公转周期大
C．水星与地球在同一椭圆轨道上绕太阳运动
D．火星与太阳的连线越长，火星运动越快
2．关于天体的运动，下列说法正确的是( )
A．日心说是哥白尼提出的，观点是行星绕太阳做椭圆运动
B．开普勒第一定律认为：行星绕太阳运动时太阳在轨道的中心
3．开普勒定律指出，行星绕太阳运行的
轨道都是椭圆。太阳与这些椭圆的关系是( )
A．太阳处在所有椭圆的中心上
B．在相等时间内，太阳与每一颗行星的连
线扫过相等的的面积
C．所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，且该比值与太阳无关
D．所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，且该比值与行星无关
解析：根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，不是椭圆的中心，A错误；根据开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积，此定律针对的是同一椭圆轨道，B错误；根据开普勒第三定律，所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，比值由中心天体太阳决定，与环绕天体行星无关，C错误，D正确。故选D。
4．北京冬奥会开幕式24节气倒计时惊艳全球，
如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对
应的节气，下列说法正确的是( )
A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫
过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上第七章 1
课后知能作业
基础巩固练
1．了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要。以下符合史实的是( )
A．牛顿将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动
B．伽利略开创了实验研究和逻辑推理相结合探索自然规律的科学方法
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．哥白尼发明了望远镜，发现了围绕木星转动的星球，表明了“地球中心说”是错误的
解析：伽利略将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动，A错误；伽利略开创了实验研究和逻辑推理相结合探索自然规律的科学方法，B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，即开普勒三大定律，但是未找出行星按照这些规律运动的原因，C错误；伽利略发明了望远镜，发现了围绕木星转动的星球，表明了“地球中心说”是错误的，D错误。故选B。
2．月球运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了月球经过相等时间间隔的位置。只考虑月球与地球间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．月球在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝Cb3，其中C为常数，b为椭圆半短轴
解析：由开普勒第二定律知，月球与地球连线经过相等时间间隔所扫过的面积相等，则S1＝S2，且可得，从近地点到远地点的过程中线速度逐渐减小，所以月球在轨道A点的速度大于B点的速度，故A、B错误；由开普勒第三定律知，月球绕地球运动的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，故C正确，D错误。故选C。
3. 如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知( )
A．火星绕太阳运行过程中，速率不变
B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小
C．火星远离太阳过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
解析：根据开普勒第二定律可知，行星与中心天体的连线相等时间内扫过的面积相等，则地球和火星靠近太阳的过程中，运行速率均增加，故A、B错误；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故C错误；根据开普勒第三定律，由火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D正确。故选D。
4．太阳系有八大行星，八大行星离地球的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是( )
解析：由开普勒第三定律＝k，近似处理有＝k，即R3＝kT2，D正确。故选D。
5．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运动轨道的半长轴之比为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：根据开普勒第三定律＝k，又因为公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为＝＝。故选C。
6. 如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式中正确的是( )
A．地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上
B．卫星B和卫星C运动的速度大小均不变
C．＝，该比值的大小与地球有关
D．≠，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
解析：由开普勒第一定律可知地球位于B卫星轨道的一个焦点上，位于C卫星轨道的圆心上，A正确；由开普勒第二定律可知，B卫星绕地球转动时速度大小在不断变化，C卫星绕地球做匀速圆周运动，B错误；由开普勒第三定律可知＝＝k，该比值的大小仅与地球有关，则≠，比值大小和地球、轨道半径有关，则C、D错误。故选A。
能力提升练
7. 如图所示，水星和金星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动。若测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2(均为锐角)，则由此条件可求得水星和金星( )
A．质量之比为θ1∶θ2
B．绕太阳运动的周期之比为θ1∶θ2
C．绕太阳运动的轨道半径之比为∶
D．相同时间内与太阳连线扫过的面积之比为1∶1
解析：水星和金星作为环绕体，根据ω＝可知T＝＝可求出周期比＝，但无法求出质量之比，故A、B错误；根据开普勒第三定律＝可知＝＝，故C正确；因火星和金星沿不同的轨道绕太阳运动，则在相同时间内火星和金星与太阳连线扫过的面积不相等，选项D错误。故选C。
8. 如图所示，地球卫星P绕地球做匀速圆周运动，地球相对卫星的张角为θ＝2α；另一卫星Q(图中未画出)的张角为4α。则P与Q的周期之比为( )
A． B．
C． D．
解析：根据几何关系可知卫星P的轨道半径r1＝，卫星Q的轨道半径r2＝，根据开普勒第三定律＝k，可知P与Q的周期之比为＝，故选D。
9．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。最终哈雷的预言得到了证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒第三定律估算，它下次飞近地球将在( )
A．2062年 B．2026年
C．2050年 D．2066年
解析：设彗星的周期为T1，地球的公转周期为T2，这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，由开普勒第三定律＝k，得＝＝≈76，即彗星下次飞近地球将在t＝年＝2062年，故选A。
10. (多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球绕地球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比
B．海王星在Q点的角速度大于P点的角速度
C．从P到M所用时间小于T0
D．从P到Q阶段，速率逐渐变小
解析：海王星绕太阳转，月球绕地球转，中心天体不同，故开普勒第三定律不适用，故A错误；根据开普勒第二定律可知对每一个行星而言，太阳和行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，所以海王星从P→Q的过程中，海王星与太阳的距离变大，角速度逐渐减小，速度逐渐减小，故B错误，D正确；公转周期为T0，海王星从P→Q的过程中所用的时间是0.5T0，由于海王星从P→M→Q的过程中，速率逐渐变小，从P→M与从M→Q的路程相等，所以海王星从P→M所用的时间小于，故C正确。故选CD。
11．“天问一号”探测器于2020年7月23日成功发射，由“长征五号”运载火箭直接送入地火转移轨道，成为一颗人造行星，与地球、火星共同绕太阳公转，并逐渐远离地球，飞向火星，其运动轨道如图所示。若地球到太阳的平均距离为1 Au(天文单位)，火星到太阳的平均距离为1.5 Au，则“天问一号”在地火转移椭圆轨道上运动的周期约为( )
A．0.8年 B．1.4年
C．2.2年 D．2.6年
解析：“天问一号”做椭圆运动的轨迹半长轴为r天＝(1 Au＋1.5 Au)＝1.25 Au，根据开普勒第三定律，可得＝，地球公转周期为T地＝1年，解得T天≈1.4年。故选B。
12. 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求：
(1)飞船由A点运动到B点所需要的时间。
(2)飞船在半径为R的圆周轨道与椭圆轨道上运行时的周期之比为多少？
答案：(1) (2)
解析：(1)飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中椭圆轨道运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，根据开普勒第三定律有＝，解得T′＝T＝，所以飞船由A点到B点所需要的时间为t＝＝。
(2)由＝k知，T∝。则周期之比为＝。
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