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第五章 抛体运动
2．运动的合成与分解
核心素养 考试重点
物理观念 通过阅读课本，掌握运动的合成与分解的规律，并且运用运动的合成与分解的规律来解决速度关联、小船渡河等实际问题，形成运动的合成与分解的观念。 将复杂运动分解为简单运动的物理思想。
科学思维 通过探究的过程，让学生体会得到结论的科学方法：归纳法。
科学探究 通过蜡块在平面内运动的实验探究过程总结出运动的合成与分解的规律。
科学态度
与责任 能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲。
探究点1 运动的合成
●新知导学
情境：实验观察蜡块的运动。
探究：(1)蜡块在竖直玻璃管内向上匀速运动的同时，
将玻璃管沿水平方向向右做匀速运动，观察到蜡块向什
么方向运动。
(2)如何确定某时刻蜡块的位置？
(3)如何描述蜡块运动的轨迹？
(4)如何描述蜡块的速度？
?[提示]
?[思考]
[提示]
(1)右上方。
(2)蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，则在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。
[思考]
如果蜡块在水平方向不是做匀速直线运动，其轨迹还是一条过原点的直线吗？
提示：不是。
●基础梳理
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循_________________。
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间_______，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动_______进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的_______。
平行四边形定则
相等
独立
效果
[判断正误]
(1)合速度等于两个分速度的代数和。( )
(2)合速度不一定大于任一分速度。( )
(3)合位移一定大于任意一个分位移。( )
(4)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。( )
(5)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。( )
提示：(1)合速度是各分速度的矢量和，而不是代数和。(3)根据矢量三角形可知，合位移不一定大于任一分位移。(4)运动的分解是由已知的合运动求分运动的过程。
×
√
×
×
√
●重难解读
1．合运动的性质判断
2．互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
分运动 合运动 矢量图 条件
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
类型一：运动的合成
典题1：路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内，车匀加速向左沿直线匀加速运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述不正确的是( )
A．工人运动轨迹可能是曲线
B．工人运动轨迹可能是直线
C．工人一定是匀变速运动
D．工人可能是变加速运动
思维点拨：关键看物体受合力方向和物体的合速度方向是否同线。
?[规律方法]
[规律方法]
运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。
跟踪训练1：某质点在Oxy平面上运动。t＝0时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y方向的位移—时间图像如图乙所示。在Oxy平面上大致描绘质点在2 s内的运动轨迹，下面四图中正确的是( )
类型二：小船渡河问题
典题2：如图，有一条宽为20 m的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直。小船在静水中的速度大小为5 m/s，水流速度为12 m/s。下列说法正确的是( )
思维点拨：渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，说明垂直河岸方向的速度不变。
?[规律方法]
[规律方法]渡河的三种情境
跟踪训练2：如图，河宽d＝20 m，小船要行驶到河对岸，P处为小船的正对岸位置，已知小船的划行速度v1＝5 m/s，水流速度v2＝3 m/s。下列说法正确的是( )
A．小船行驶到对岸P点的时间为4 s
B．小船行驶到对岸P点的时间为5 s
C．若水流速变大，小船行驶到对岸的最短时间变长
D．若水流速变大，小船行驶到对岸的最短时间变短
典题3：如图是轮渡的简化图。已知船在静水中的速度为v1，水流速度为9 m/s。当船从A处过河时，船头与上游河岸的夹角θ＝53°，一段时间后，船正好到达正对岸B处。若河宽为450 m，船在静水中的速度大小不变，水流的速度不变，则( )
A．v1＝5.4 m/s
B．船渡河的时间为37.5 s
C．若改变船的航行方向，船最短的
渡河时间为25 s
D．若增大船头与上游河岸的夹角θ，则小船将到达河对岸B的上游
思维点拨：关键词“船正好到达正对岸B处”，说明船合速度方向垂直河岸。
平行四边形定则，可知，船的合速度方向指向河对岸B的下方，即若增大船头与上游河岸的夹角θ，则小船将到达河对岸B的下游，故D错误。故选B。
跟踪训练3：一艘小船从河岸A处出发渡河，若小船保持船头与河岸垂直，则经过40 s到达正对岸下游120 m的C处，如图所示。若小船船头保持与河岸成α角方向行驶，则经过50 s恰好到达正对岸的B处。小船在静水中的速度大小和水流速度均不变，下列说法正确的是( )
A．水流速度大小为4 m/s
B．船在静水中的速度大小为3 m/s
C．河宽为150 m
D．sin α＝0.8
探究点2 运动的分解
●新知导学
情境：在实际生活中，常见到物体斜拉绳(或杆)或绳(或杆)斜拉物体的问题。
探究：上图中A物体和B物体的速度关系？v和v0的关系？
?[提示]
[提示]
(1)分析物体A 、B速度哪个大？从物体通过一段相同的时间比较它们的位移哪个大去分析。
(2)分析物体v和v0速度哪个大？从船通过一段相同的时间比较位移哪个大去分析。
(3)合速度可能比分速度大，也可能比分速度小，还可能和分速度大小相等。
●基础梳理
由于绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相等。例如，小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B，某一时刻绳与水平方向的夹角为θ，如图所示。小船速度vB有两个效果(两个分运动)：一是沿绳方向的平动，二是垂直绳方向的转动。将vB沿着这两个方向分解，其中v1＝vBcos θ＝vA，v2＝vBsin θ。
类型：“关联”速度问题的处理
典题4：(绳连接的速度关联问题)或(斜牵引运动的运动分解)如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦和绳子质量，某时刻绳子与水平面的夹角为θ时，下列说法正确的是( )
A．此过程中物体A在匀速上升
B．此时物体A的速度大小为vcos θ
C．此时物体A的速度大小为vsin θ
D．绳子对物体A的拉力小于物体A的重力
思维点拨：对车的实际速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。
解析：小车沿绳子方向的速度等于A的速度，如图所示：根据平行四边形定则，物体A的速度vA＝vcos θ，小车向右匀速运动时，θ减小，则A的速度增大，所以A加速上升，加速度方向向上，故B正确，A、C错误；对A根据牛顿第二定律有：T－GA＝mAa，知绳子的拉力大于A的重力，故D错误。故选B。
?[规律方法]
[规律方法]绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
(3)解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
跟踪训练4：如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一绕过定滑轮的轻绳相连，现在A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是( )
典题5：(多选)(杆连接的速度关联问题)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上。初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是( )
跟踪训练5：(2024·陕西咸阳高一阶段练习)如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A，B，О三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L(L>R)，当OB杆以角速度逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。
在滑块A从右向左滑动过程中( )
A．滑块A做加速度减小的加速运动
B．滑块A做加速度减小的减速运动
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为
解析：滑块A与B点沿杆方向的分速度相等；当B点处于水平杆O点左侧时，B点速度垂直杆OB向下，此时滑块处于最右端，滑块的速度为零；当B点处于水平杆O点右侧时，B点速度垂直杆OB向上，此时滑块处于最左端，滑块的速度为零；则滑块A从右向左滑动过程中，滑块A应
?[思考]
[思考]在课本图5.2－1所示的实验中，如果将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀加速移动，若玻璃内壁是光滑的，蜡块的轨迹还是一条直线吗？
提示：蜡块竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，蜡块的速度方向和加速度方向不同线，蜡块做曲线运动。
素养能力提升
拓展整合 启智培优
运动的合成与分解内容的考点归纳：
1．研究蜡块运动的分解；
2．生活中其他运动分解现象；
3．互成角度的两个匀速运动的合成；
4．一个匀速运动和一个变速运动的合成；
5．两个变速直线运动的合成；
6．过河时间最短问题；
7．船速大于水速时最短过河位移问题；
8．船速小于水速时最短过河位移问题；
9．小船过河模型在其他运动中的应用；
10．求分速度大小和方向；
11．杆连接物体运动的分析；
12．斜牵引运动中的受力分析；
13．斜牵引运动的运动分解；
14．合运动与分运动的概念及关系；
15．用相对运动规律处理运动的合成与分解。
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运
动员可完成更多的动作
B．运动员着地时的速度方向竖直向下
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：运动员下落时间只与竖直方向上的运动有关，与风力的大小无关，故A错误，C正确；运动员在水平方向上受到风力的作用会有速度，风力越大，则水平方向的速度越大，运动员着地时的速度不是竖直向下的，且速度的大小与风力有关，故B、D错误。故选C。
2．关于合运动与分运动的关系，下列说法中正确的是( )
A．合运动的速度一定大于分运动的速度
B．合运动的速度可以小于分运动的速度
C．合运动的位移就是两个分运动位移的代数和
D．合运动的时间与分运动的时间不一样
解析：根据平行四边形定则，合运动的速度可能大于、小于或等于分运动的速度，故A错误，B正确；合运动的位移等于两个分运动位移的矢量和，故C错误；合运动与分运动间具有等时性，即合运动的时间与分运动的时间相等，故D错误。故选B。
3．为保障灾民生命财产安全，消防队员利用无人机为灾民配送物资，某次在执行任务时，无人机从地面起飞，将配送物资运输到预定地点，在飞行过程中，通过速度传感器测出无人机水平方向和竖直方向的分速度vx和vy随飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示，无人机到达最大高度后释放物资，物资落在预定地点，不计空气阻力，g取10 m/s2，以下说法正确的是( )
A．在0～10 s内，无人机做曲线运动
B．30 s时无人机速度为10 m/s
C．25 s时无人机加速度大小为0.3 m/s2
D．20 s时物资从无人机上释放
4. 如图所示，一根长为L的直杆右端抵在墙角，左端靠在箱子的光滑竖直侧壁上，将箱子以大小为v的速度向右推，直杆绕O点在竖直面内转动，当直杆与竖直方向的夹角为θ时，直杆左端沿箱子竖直移动的速度大小为( )第一章 2
课后知能作业
基础巩固练
1．有一只小青蛙要穿过一条宽为3 m的小河到对岸寻找食物。已知两侧河岸平行，河水流动的速度为v＝3 m/s，小青蛙没有采用跳跃方式，而是采用游泳方式过河。小青蛙在静止水面上最大的游动速度为5 m/s，下列说法正确的是( )
A．若小青蛙以最短时间渡河，到达河对岸时在出发点的下游3 m处
B．若小青蛙以最短时间渡河，其到达对岸的最短的运动时间为0.6 s
C．若小青蛙以最短时间渡河，小青蛙在水中运动的轨迹是一条曲线
D．小青蛙不管如何渡河，都不能垂直游到河对岸
解析：根据题意可知，当青蛙垂直河岸游动时，过河时间最短，最短时间为：tmin＝＝0.6 s，到达河对岸时在出发点的下游位置为：x＝v水tmin＝1.8 m，故A错误，B正确；若青蛙以最短时间渡河，青蛙保持匀速运动，水流也是以恒定速度流动，则青蛙做匀速直线运动，青蛙在水中运动的轨迹是一条直线，故C错误；由于水流速度小于青蛙相对于水的运动速度，则青蛙可以垂直游到河对岸，故D错误。故选B。
2．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，以橡皮初始位置为坐标原点，则橡皮运动的轨迹可能为( )
解析：橡皮参与了水平向右和竖直向上的分运动，如图所示，两个方向的分运动都是匀速直线运动，vx和vy恒定，则v合恒定，则橡皮做匀速直线运动，故A正确，B、C、D错误。故选A。
3．如图所示，纸面内有两个完全相同的等腰直角三角形。若两三角形同时沿底边所在的水平直线分别向左和向右匀速运动，速率均为v，则在两三角板完全分开之前，腰上交点O的速度大小为( )
A．v B．v
C．v D．2v
解析：设等腰直角三角形的直角边长为L，从重叠到刚好完全分开所需时间为t＝＝，这段时间内腰上的交点O从顶部动到底部，位移为x＝L，则其速度大小为v0＝＝v，故B、C、D错误，A正确。故选A。
4．在雨中，当雨滴垂直落在伞面上时，伞下的人不易被雨淋着，若雨滴在空中以1.6 m/s的速度竖直下落，而打着伞的人以1.2 m/s的速度向前行走，已知tan 37°＝0.75，则伞下的人不易被雨淋着的打伞方式为( )
解析：在水平方向上，雨滴的速度为零，人的速度为1.2 m/s，方向向左，则雨滴相对于人在水平方向上的速度为1.2 m/s，方向向右；在竖直方向上，雨滴的速度为1.6 m/s，人的速度为零，则雨滴相对于人在竖直方向上的速度为1.6 m/s，方向向下；根据矢量合成法则可知，雨相对于人的速度与竖直方向的夹角为tan θ＝＝0.75，解得θ＝37°，故B正确，A、C、D错误。故选B。
5. 2023年2月6日，土耳其发生两次7.8级地震，多地建筑被夷为平地，震感遍及亚欧非多地，中国第一时间派出多支救援队参与救援工作。救援过程中，有救援人员利用悬停的无人机，由静止释放急救包。急救包在下落过程中受到水平风力的影响，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．风力越大，急救包下落时间越长
B．风力越大，急救包下落时间越短
C．急救包着地速度大小与风力大小无关
D．急救包下落时间与风力大小无关
解析：救灾物资同时参加两个分运动，即水平方向受到水平风力的影响，做加速运动，竖直方向做自由落体运动，由于竖直分运动不受水平分运动的干扰，所以下落的时间与风速无关，故A、B错误，D正确；物资落地速度由水平分速度和竖直分速度合成，水平速度由风速决定，故风速越大，合速度越大，即着地速度越大，故C错误。故选D。
6．河水的流速与离河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，河宽为300 m，若要使船以最短时间渡河，则( )
A．船渡河的最短时间是150秒
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是4米/秒
解析：当静水速度与河岸垂直，即船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短。分运动与合运动具有等时性，则t＝＝ s＝100 s，故A错误，B正确；船在垂直于河岸方向上是匀速直线运动，在沿河岸方向是变速运动，所以合运动的轨迹是曲线，不是直线，故C错误；当水流速最大时，合速度最大，最大速度v＝＝ m/s＝5 m/s，故D错误。故选B。
能力提升练
7．有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为，回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：设河宽为d，则去程所用的时间t1＝＝；回程时的合速度v′＝＝，回程的时间为t2＝＝；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。故选B。
8．如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是( )
A．将竖直向上做匀速运动
B．将处于超重状态
C．将处于失重状态
D．将竖直向上先加速后减速
解析：设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块向上加速运动，A、D错误；物块加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误。故选B。
9. 如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcos θ
C．vtan θ D．
解析：由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确。故选A。
10．如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v－t图像中，最接近物体B运动情况的是( )
解析：将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsin θ，在t＝0时刻θ＝0°，vB＝0，C项错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，随θ增大，速度增加变慢，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，只有A项正确。故选A。
11. (多选)如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
解析：如图O点向右运动，O点的运动使AO绕A点逆时针转动的同时，沿OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA具有相同的速度。速度分解如图所示，对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcos θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。故选BC。
12. 曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转化的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
解析：当OP与OQ垂直时，P点速度的大小为v0，此时杆PQ整体运动的方向是相同的，方向沿平行OQ的方向，所以活塞运动的速度等于P点的速度，都是v0，故A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P点的速度方向与OQ垂直，沿OQ的分速度为0，所以活塞运动的速度等于0，故C、D错误。故选A。
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