21.1一元二次方程
一、教学目标
1.学生能够准确理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的一般形式，正确识别其中的二次项、一次项、常数项以及二次项系数和一次项系数；学会根据实际问题建立一元二次方程的数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2.通过分析实际问题中的数量关系，引导学生经历一元二次方程概念的形成过程，让学生感受从实际问题抽象出数学模型的思想方法，提高学生的数学抽象能力和逻辑思维能力；通过观察、比较、归纳等活动，培养学生自主探究、合作交流的学习能力。
二、教学重难点
教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式；根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型；正确识别一元二次方程中各项的系数。
三、教学方法
讲授法、讨论法、探究法相结合，运用多媒体辅助教学。
四、教学过程
（一）情境导入
展示生活中的实际问题：
1.学校要建一个面积为 150 平方米的长方形自行车棚，若车棚的长比宽多 5 米，求车棚的长和宽各是多少？
2.一个数比另一个数大 3，且这两个数的乘积为 28，求这两个数。
引导学生设未知数，根据数量关系列出方程，让学生观察所列方程的特点，从而引出本节课的课题 —— 一元二次方程。
（二）探究新知
1.一元二次方程的概念
让学生观察刚才列出的方程：
方程 1：设车棚的宽为 x 米，则长为 (x + 5) 米，根据长方形面积公式可列方程 x (x + 5) = 150，展开得到x2 + 5x - 150 = 0。
方程 2：设较小的数为 x，则较大的数为 (x + 3)，根据题意可列方程 x (x + 3) = 28，展开得到x2 + 3x - 28 = 0。
引导学生分析这些方程的共同特点：
① 都是整式方程；
② 都只含有一个未知数；
③ 未知数的最高次数是 2。
总结一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
1.一元二次方程的一般形式
介绍一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0（a≠0），其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。强调 a≠0 的重要性，若 a = 0，方程就不是一元二次方程了。
举例说明：对于方程3x2 - 2x + 1 = 0，二次项是3x2，二次项系数是 3；一次项是 -2x，一次项系数是 -2；常数项是 1。
让学生将前面列出的方程化为一般形式，并指出各项系数。
（三）课堂练习
1.判断下列方程是否为一元二次方程：
(1)x2 + 2x - 3；(2)x2 = 5；(3)(x - 2)(x + 1) = x2 - 5；(4)3x2 - 2y = 0
2.把下列一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)2x2 = 1 - 3x；(2)(x - 1)(x + 2) = 7；(3)x(x - 2) = 4x2 - 3x
3.根据实际问题列出一元二次方程：
一个直角三角形的两条直角边的和为 14，面积为 24，求两条直角边的长。
让学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题，并进行针对性讲解。
（四）课堂小结
1.请学生回顾本节课所学内容，回答什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？
2.教师补充总结，强调一元二次方程概念中的关键要点以及一般形式中 a≠0 的条件。
（五）布置作业
1.必做题：课本习题 [具体页码] 第 1、2、3 题。
2.选做题：查阅资料，了解一元二次方程在实际生活中的其他应用，并尝试自己编写一道与一元二次方程相关的实际问题。
五、教学反思
本节课通过生活中的实际问题引入一元二次方程的概念，让学生感受数学与生活的联系，激发了学生的学习兴趣。在教学过程中，注重引导学生自主探究、合作交流，培养了学生的学习能力。但在课堂练习环节，部分学生在将方程化为一般形式时，容易出现符号错误，在后续教学中需要加强这方面的训练。
这份教案涵盖了一元二次方程第一节的核心内容与教学环节。你对教案的教学环节、练习难度等方面有什么想法，都能随时和我说。21.2.1 配方法解一元二次方程
一、教学目标
1.学生能够透彻理解配方法的原理，熟练掌握运用配方法解一元二次方程的具体步骤；准确识别在配方过程中各项的变化，能将一般形式的一元二次方程转化为完全平方式进行求解。
2.通过对实际问题的分析和解决，引导学生经历从特殊到一般探索配方法解一元二次方程的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维的严谨性；让学生在自主探究与合作交流中，学会运用类比、转化的数学思想方法解决问题。
二、教学重难点
1.教学重点：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤；理解配方的关键在于在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方式。
2.教学难点：理解配方法的原理；针对不同形式的一元二次方程，灵活运用配方法进行正确配方和求解，尤其是当二次项系数不为 1 时的处理方法。
三、教学方法
讲授法、演示法、小组合作探究法相结合，运用多媒体课件辅助教学，通过动态演示配方过程，帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程
（一）复习导入
1.回顾一元二次方程的一般形式ax2+bx + c = 0（），以及上节课学习的一元二次方程的概念，随机提问学生进行回答，巩固旧知。
2.展示两个简单的一元二次方程：x2=4和(x - 1)2=9，请学生运用直接开平方法求解，并请两名学生到黑板上板演解题过程，其他学生在练习本上完成。
3.引导学生思考：对于方程x2+6x + 4 = 0，能否直接用直接开平方法求解？为什么？从而引出本节课的课题 —— 配方法解一元二次方程。
（二）探究新知
1.配方法原理探究
(1).以方程x2+6x + 4 = 0为例，引导学生回顾完全平方公式
(2)提出问题：如何将方程x2+6x + 4 = 0的左边转化为完全平方式？组织学生进行小组讨论，教师巡视各小组，参与讨论并适时引导。
(3)小组代表发言后，教师进行总结：对于x2+6x，在等式两边加上一次项系数 6 一半的平方，原方程变形为x2+6x + 9 = - 4 + 9，即(x + 3)2=5，此时就可以用直接开平方法求解。
(4)进一步讲解：配方的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方式，这就是配方法的原理。
2.配方法步骤归纳
再次以方程x2+6x + 4 = 0为例，详细演示用配方法求解的完整步骤：
移项：把常数项移到方程的右边，得到x2+6x = - 4。
配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即x2+6x + 9 = - 4 + 9。
变形：将方程左边写成完全平方式，右边计算出结果，得到(x + 3)2=5。
求解：用直接开平方法解方程，
引导学生共同归纳用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项、配方、变形、求解。
（三）课堂练习（15 分钟）
1.基础练习：用配方法解方程：
X2-4x + 3 = 0
X2+8x - 9 = 0
让学生独立完成这两道题，教师巡视，及时发现学生在配方过程中出现的问题，如配方时只在方程左边加上一次项系数一半的平方，而忘记在右边也加上等，进行个别指导。
提高练习：用配方法解方程：
2x2-4x - 6 = 0
3x2+6x - 1 = 0
对于二次项系数不为 1 的方程，引导学生先将二次项系数化为 1，再按照配方法的步骤进行求解。请几名学生到黑板上板演解题过程，其他学生在练习本上完成，然后师生共同对板演的过程进行评价和纠正。
（四）课堂小结
1.请学生回顾本节课所学内容，说一说配方法解一元二次方程的原理和步骤。
2.教师进行补充总结，强调配方的关键要点，以及在解方程过程中需要注意的事项，如二次项系数不为 1 时的处理方法、移项要变号等。
（五）布置作业（课后完成）
必做题：课本习题 [具体页码] 第 1、2 题。
选做题：用配方法解方程ax2+bx + c = 0（），推导一元二次方程的求根公式，为下节课的学习做准备。
五、教学反思
在本节课的教学中，通过复习直接开平方法和解简单方程，自然地引入配方法，符合学生的认知规律。在探究配方法原理和步骤的过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生通过小组讨论、自主探究等方式理解和掌握知识。但在课堂练习环节，部分学生对于二次项系数不为 1 的方程，在将系数化为 1 后进行配方时容易出错，在后续教学中需要加强针对性的训练和辅导，进一步帮助学生熟练掌握配方法。
这个教案围绕配方法解一元二次方程展开，结合多种教学活动。你若对教学节奏、练习内容还有其他想法，欢迎和我交流。21.2.2 公式法
一、教学目标
1.学生能够正确推导一元二次方程的求根公式，熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤，准确运用求根公式解各种类型的一元二次方程；理解判别式与一元二次方程根的关系，并能根据判别式判断方程根的情况。
2.通过推导求根公式，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力；在运用公式法解题过程中，让学生经历从特殊到一般、再从一般到特殊的思维过程，提高学生分析问题和解决问题的能力；通过小组合作探究判别式与根的关系，增强学生的合作交流意识。
二、教学重难点
教学重点：推导一元二次方程的求根公式；熟练运用公式法解一元二次方程；掌握判别式与一元二次方程根的关系，并能应用其判断方程根的情况。
教学难点：求根公式的推导过程；理解判别式与方程根的关系及其应用。
三、教学方法
讲授法、启发式教学法、小组合作探究法，结合多媒体辅助教学。
四、教学过程
（一）复习导入
1.提问学生一元二次方程的一般形式是什么？用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？请学生回顾并回答。
2.给出一道简单的一元二次方程，如x2+4x - 5 = 0，请一名学生上台用配方法求解，其他学生在练习本上完成，复习配方法的同时，为推导求根公式做铺垫。
（二）新课讲授
1.推导求根公式
引导学生对一元二次方程的一般形式ax2+bx + c = 0（）进行配方。
首先将方程两边同时除以a，得到
然后移项，得到
接着在方程两边加上一次项系数一半的平方，
对左边进行完全平方公式变形，右边通分，得到
引导学生分析4a2>0，根据平方根的意义，当时，，进而得到，这就是一元二次方程的求根公式。
强调求根公式成立的条件是且
2.讲解公式法的步骤及应用
总结公式法解一元二次方程的步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
计算判别式的值；
根据的值判断方程根的情况，当时代入求根公式求出方程根。
给出例题：用公式法解方程2x2-5x + 3 = 0。
先引导学生确定a = 2，b = -5，c = 3；
计算
代入求根公式
再给出一道 = 0的方程，如x2-2x + 1 = 0，以及的方程，如x2+x + 2 = 0，让学生分别求解，观察方程根的情况，引导学生总结判别式与方程根的关系：
当>0时，方程有两个不相等的实数根；
当 = 0时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根。
（三）课堂练习
1.用公式法解下列方程：
3x2+5x - 2 = 0；
X2-6x + 9 = 0；
2x2-3x + 4 = 0。
2.不解方程，判断下列方程根的情况：
X2-3x - 1 = 0；
X2+6x + 10 = 0；
9x2-6x + 1 = 0。
让学生独立完成练习，教师巡视，及时发现学生的问题并进行个别指导，对于共性问题进行集中讲解。
（四）课堂小结（5 分钟）
1.请学生回顾本节课所学内容，包括求根公式的推导过程、公式法解一元二次方程的步骤以及判别式与方程根的关系。
2.教师补充强调重点内容，如求根公式成立的条件，判别式的应用等。
（五）布置作业（课后完成）
1.必做题：课本习题 [具体页码] 第 1、2、3 题。
2.选做题：已知关于x的一元二次方程mx2-(2m - 1)x + m - 2 = 0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。21.2.3 因式分解法
一、教学目标
1.使学生掌握用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程的方法。
2.让学生学会根据方程的具体特征，灵活选择恰当的方程解法，深切体会解决问题方法的多样性。
3.通过引导学生探索用因式分解法解一元二次方程的过程，以及依据方程特征选择合适方法解一元二次方程的实践，进一步锻炼学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
。
二、课型
新授课
三、教学重难点
1.教学重点：教会学生熟练运用因式分解法解一元二次方程。
2.教学难点：帮助学生深入理解并正确应用因式分解法解一元二次方程，尤其是在面对复杂方程时能准确进行因式分解。
四、教学过程
（一）导入新课
1.回顾解一元二次方程的方法
提问学生：“解一元二次方程的方法有哪些？” 引导学生回答出直接开平方法，配方法，公式法
2.复习因式分解的概念
接着询问学生：“什么叫因式分解？” 学生回答后明确：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
3.复习分解因式的方法
继续提问：“分解因式的方法有那些？” 引导学生回答出：
提取公因式法：am + bm + cm = m(a + b + c)。
公式法：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
十字相乘法（简单提及）。
4.引出问题
教师提出：“下面的方程如何使解答简单呢？X2+25x = 0。”
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x - 4.9x2。问学生：“你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）” 引导学生设物体经过xs落回地面，此时它离地面的高度为0m，从而列出方程10x - 4.9x2=0。接着问：“你能想出解此方程的简捷方法吗？”
（二）探索新知
1.探究因式分解法的概念
让学生用配方法和公式法解方程10x - 4.9x2=0（请两生板演）。
教师引导学生尝试找出其简洁解法为：对10x - 4.9x2=0进行因式分解得x(10 - 4.9x)=0。根据 “若ab = 0，则a = 0或b = 0”，所以x = 0或10 - 4.9x = 0，解得x1=0，x2=
提问学生：“以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的？从x(10 - 4.9x)=0到x = 0或10 - 4.9x = 0的依据是什么？” 通过学生的讨论、交流归纳得出方法：这种解法是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
教师提示：
用因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零。
关键是熟练掌握因式分解的方法。
理论依据是 “ab = 0，则a = 0或b = 0”。
师生共同归纳（出示课件 10）分解因式法解一元二次方程的步骤是：
将方程右边化为等于0的形式。
将方程左边因式分解为ab=0（a、b为两个一次因式）。
根据 “ab = 0，则a = 0或b = 0”，转化为两个一元一次方程。
分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根。
2.例题讲解
例 1解下列方程：
x(x - 2)+x - 2 = 0；
分析：方程左边可以通过提取公因式(x - 2)进行因式分解。
解答过程：因式分解，得(x - 2)(x + 1)=0。故有x - 2 = 0或x + 1 = 0。所以x1=2，x2=-1。
想一想：以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点。
学生思考后，教师总结如下：
一。因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解。
二。选择解一元二次方程的技巧：
开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程。
因式分解法适用于能化为两个因式之积等于0的形式的方程。
配方法、公式法适用于所有一元二次方程。
练习：
解下列方程：
(1)x2+x = 0 (2)x2-2x = 0 (3)x2-2x + 1 = 0
(4)4x2-121 = 0
(5)6x2-x - 2 = 0
