学考复习之三角函数

三角函数总复习
C1
角的概念及任意角的三角函数
【例一】C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ]
如图1 1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)
图1 1
　　　
A　
　　　
　　　　　B
C　
　　　　　　　　D
【解析】根据三角函数的定义，点M(cos
x，0)，△OPM的面积为|sin
xcos
x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin
xcos
x|＝|sin
2x|，且当x＝时上述关系也成立，
故函数f(x)的图像为选项C中的图像．
C2
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【例二】C2、C4、C6[2014·福建卷]
已知函数f(x)＝cos
x(sin
x＋cos
x)－.
(1)若0<α<，且sin
α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解析】解：方法一：(1)因为0<α<，sin
α＝，所以cos
α＝.
所以f(α)＝×－＝.
(2)因为f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－＝sin
2x＋－＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－＝sin
2x＋－＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
(1)因为0<α<，sin
α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
C3
三角函数的图象与性质
【例三】C3
将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【解析】由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．
【例四】C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ]
函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)的最大值为________．
【解析】函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin
φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos
φ－cos(x＋φ)sin
φ＝sin
x，故其最大值为1.
C4　函数的图象与性质
【例五】为了得到函数y＝sin
(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin
2x的图像上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
【解析】因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin
2x的图像向左平行移动个单位长度．
【例六】设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
【解析】结合图像得＝－，即T＝π.
C5
两角和与差的正弦、余弦、正切
【例七】C5、C8[2014·安徽卷]
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
【解析】(1)因为A＝2B，所以sin
A＝sin
2B＝2sin
Bcos
B，由余弦定理得cos
B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2
.
由余弦定理得cos
A＝＝＝－.
因为0A＝＝＝.
故sin＝sin
Acos＋cos
Asin＝×＋×＝.
【例八】C8，C5[2014·重庆卷]
已知△ABC的内角A，B，C满足sin
2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．bc(b＋c)>8
B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12
D．12≤abc≤24
【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin
2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin
2A＋sin
2B＝sin
2(A＋B)＋，
所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin
2(A＋B)＋，
所以2
sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，
所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin
Asin
Bsin
C＝.
由1≤S≤2，得1≤bcsin
A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，所以1≤2R2·sin
Asin
Bsin
C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin
Asin
Bsin
C＝R3≥8.
C6
二倍角公式
【例九】H4、C6[2014·全国卷]
直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
【解析】如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2
，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.
C7
三角函数的求值、化简与证明
【例十】C4、C7[2014·江西卷]
已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
【解析】(1)f(x)＝sin＋cos＝(sin
x＋cos
x)－sin
x＝cos
x－sin
x＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈，故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得又θ∈，知cos
θ≠0，
所以解得
C8　解三角形
【例十一】C8[2014·天津卷]
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin
B＝3sin
C，则cos
A的值为________．
【解析】－　[解析]
∵2sin
B＝3sin
C，∴2b＝3c.
又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，
∴cos
A＝＝＝－.
【例十二】C8[2014·新课标全国卷Ⅰ]
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin
A－sin
B)＝(c－b)sin
C，则△ABC面积的最大值为________．
【解析】根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos
A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.
C9
单元综合
【例十三】C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ]
设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
【解析】在△OMN中，OM＝eq
\r(1＋x)≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得eq
\f(\r(1＋x),sin
α)＝，所以eq
\r(1＋x)＝sin
α∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．
【例十四】C8、C9[2014·湖南卷]
如图1 5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【解析】(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝，
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝＝，
sin∠BAD＝＝＝.
于是sin
α＝sin
(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝.
故BC＝＝＝3.
练习
1．[2014·湖南联考]
设α是第三象限角，且tan
α＝2，则＝____________．
2．[2014·福州期中]
已知tan(π－α)＝，则＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
3．[2014·四川乐山一中月考]
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图X13 2所示，则f(0)＝____________.
4．[2014·昆明一模]
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若cos
B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值为____________．
5．[2014·广州七校联考]
设函数f(x)＝sin
ωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
6．[2014·成都外国语学校月考]
已知函数f(x)＝cos2－sin2x.
(1)求f的值；
(2)若对于任意的x∈，都有f(x)≤c，求实数c的取值范围．
7.[2014·景德镇质检]
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2sin
A，＋＋＝0.
(1)求c的值；
(2)求△ABC面积的最大值．