期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 344.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-19 17:20:33 | ||
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文档简介
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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）过点P（t，﹣2t）作曲线y＝﹣2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）
2．（2025春 广东月考）若数列{an}满足a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，则a6﹣a4＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
3．（2025春 广东月考）记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且，则S30＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 滦南县期中）已知曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2025春 湖南月考）已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数n，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 四川期中）已知数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 安岳县校级二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝0，当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
8．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 河南模拟）已知函数f（x）＝xalnx，则（ ）
A．当a＝1时，
B．当a＞0时，
C．当a＝1时，f（x）≥x﹣1
D．当a＞0时，
（多选）10．（2025 孝感模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn.（ ）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
（多选）11．（2025春 苏州期中）已知函数f（x）＝cosx+axsinx（a∈R，x∈R），则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．当a＜0时，f（x）在区间上有最大值
D．当a＝1时，f（x）≤x2+1恒成立
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 虹口区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，对任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝1，则a4＝1的概率为 ．
13．（2025春 江西月考）若e为自然对数的底数，f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，f（0）﹣4＝0，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为 ．
14．（2025春 江西月考）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河南模拟）已知函数的定义域和值域相同．
（1）求a；
（2）记f（x）的导函数为f′（x），求f′（x）的极小值．
16．（2025 漯河三模）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2﹣bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 n＝an+bn，求数列{ n}的前n项和Tn．
17．（2025春 芒市校级期中）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项和Pn．
18．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
19．（2025 兴庆区校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*，数列{bn}满足：对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣1+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D B C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）过点P（t，﹣2t）作曲线y＝﹣2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：因为y＝f（x）＝﹣2x3，所以f′（x）＝﹣6x2，
设过P（t，﹣2t）的切线切曲线y＝﹣2x3于点（s，﹣2s3），
则切线方程为y+2s3＝﹣6s2（x﹣s），又其过P（t，﹣2t），
所以﹣2t+2s3＝﹣6s2（t﹣s），
4s3﹣6ts2+2t＝0，
设g（s）＝4s3﹣6ts2+2t，g′（s）＝12s2﹣12ts，显然t≠0，
由题意可知g（s）有3个零点，
令g′（s）＝0，得s＝0或s＝t，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以g（0）g（t）＝2t（﹣2t3+2t）＜0，所以t＜﹣1，或t＞1．
故选：A．
2．（2025春 广东月考）若数列{an}满足a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，则a6﹣a4＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【解答】解：因为a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，
所以当n＝1时，a3＝|a2﹣a1|＝|﹣2﹣（﹣2）|＝0，
同理a4＝2，a5＝2，a6＝0，
所以a6﹣a4＝0﹣2＝﹣2．
故选：D．
3．（2025春 广东月考）记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且，则S30＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
所以an+1，
化简得，即（n+2）an+1＝nan，
由a1＝1，知an≠0，所以，
累乘可得：，
即，
所以，
当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以，
所以S30．
故选：C．
4．（2025春 滦南县期中）已知曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值．
令导数 y′＝x+1，曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，可得 x＝2，故切点的横坐标为2，
故选：D．
5．（2025春 湖南月考）已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数n，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
设等比数列{an}的公比为q，则，
所以，
由，得，
当n为奇数时，则，所以，
因为单调递增，所以，
当n为偶数时，则，所以，
因为单调递增，
当n＝2时，此时取最小值，故，
综上可得：，所以实数A的取值范围为．
故选：B．
6．（2025春 四川期中）已知数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，
∴
．
故选：C．
7．（2025 安岳县校级二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝0，当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【解答】解：令g（x）＝x3f（x），则g′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝x2[3f（x）+xf′（x）]，
∵当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴g（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝x3f（x）＝g（x），
∴g（x）是定义域为R的偶函数，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵f（1）＝0，∴g（1）＝g（﹣1）＝0，
∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）＝x3f（x）＜0，则f（x）＞0；
当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x3f（x）＞0，则f（x）＜0；
当x∈（0，1）时，g（x）＝x3f（x）＞0，则f（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＝x3f（x）＜0，则f（x）＜0．
∴不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
8．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 河南模拟）已知函数f（x）＝xalnx，则（ ）
A．当a＝1时，
B．当a＞0时，
C．当a＝1时，f（x）≥x﹣1
D．当a＞0时，
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
对于A，当a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，
当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，
所以当时，f（x）取到最小值，
即，故A正确；
对于B，当a＞0时，f′（x）＝xa﹣1（alnx+1），
当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，
所以当时，f（x）取到最小值，
所以当a＞1，；当0＜a＜1时，
即不一定成立，故B错误；
对于C，当a＝1时，f（x）＝xlnx，设g（x）＝xlnx﹣x+1，则g′（x）＝lnx，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x＝1时，g（x）取到最小值0，即g（x）≥0，故C正确；
对于D，当a＞0时，设，
则h′（x）＝axa﹣1lnx，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x＝1时，h（x）取到最小值0，即h（x）≥0，，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025 孝感模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn.（ ）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
【解答】解：若Sn＝n2﹣1，则有a1＝S1＝0，a2＝S2﹣S1＝22﹣12＝3，a3＝S3﹣S2＝32﹣22＝5，2a2≠a1+a3，此时数列{an}不是等差数列，∴选项A错误；
若Sn＝2n﹣1，则当n＝1时，有a1＝S1＝1，当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，故an＝2n﹣1，2，此时数列{an}是等比数列，∴选项B正确；
又由等差数列的性质可得：S9999a50，故选项C正确；
∵当a1＞0，q＝1时，有an＝a1，S2n﹣1S2n+1＝（2n﹣1）（2n+1）a12＝（4n2﹣1）a12，S2n2＝（2na1）2＝4n2a12，
此时S2n﹣1S2n+1＜S2n2，故选项D错误，
故选：BC．
（多选）11．（2025春 苏州期中）已知函数f（x）＝cosx+axsinx（a∈R，x∈R），则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．当a＜0时，f（x）在区间上有最大值
D．当a＝1时，f（x）≤x2+1恒成立
【解答】解：对于A，因为f（﹣x）＝cos（﹣x）+a（﹣x）sin（﹣x）＝cosx+axsinx＝f（x），
所以f（x）是偶函数，故A正确；
对于B，当a＝0时，f（x）＝cosx，是周期函数；
当a≠0时，由周期函数的定义可知，
若f（x）是周期函数，
则有f（x+T）＝cos（x+T）+a（x+T）sin（x+T）＝cosx+axsinx＝f（x），
已知sinx，cosx的周期都是2π，
但是使得a（x+T）＝ax的非零常数T值却不存在，
所以 f（x）不一定是周期函数，故B错误；
对于C，f（x）＝﹣sinx+asinx+axcosx＝（a﹣1）sinx+axcosx，
当a＜0时，a﹣1＜0， x∈，有（a﹣1）sinx≤0，axcosx≤0，
所以f'（x）≤0所以f（x）在上单调递减，又因为f（x）是偶函数，
所以f（x）在上单调递增，
由图象的对称可知当 x＝0时，f（x）取得最大值且f（0）＝1，故C正确；
对于D，当a＝1时，令g（x）＝（x2+1）﹣f（x）＝x2+1﹣（cosx+xsinx），
则 g（x）＝2x+sinx﹣（sinx+xcosx）＝x（2﹣cosx），
令g'（x）＝0可得x＝0，
所以当x＞0，g（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＜0，g（x）＜0，g（x）单调递减，
所以 g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≤x2+1恒成立，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 虹口区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，对任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝1，则a4＝1的概率为 ．
【解答】解：因为|an+1﹣an|＝1，则an+1﹣an＝1或者an+1﹣an＝﹣1，
从a1到a4，需经过a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3三次递推，
不妨设三次递推关系an+1﹣an中取1的次数为x，取﹣1的次数为y，则x+y＝3①，且a4﹣a1＝a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3．
因为a1＝0，a4＝1，所以a4﹣a1＝1，即x×1+y×（﹣1）＝1，化为x﹣y＝1②，
联立①②，解得x＝2，y＝1；
因为每次an+1﹣an取1或﹣1的机会是等可能的，即概率都为，
所以a4＝1的概率为：P．
故答案为：．
13．（2025春 江西月考）若e为自然对数的底数，f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，f（0）﹣4＝0，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为 （﹣∞，0） ．
【解答】解：f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，
要求不等式exf（x）＞ex+3的解集，
可令g（x）＝exf（x）﹣ex，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]＜0，
∴g′（x）＜0，g（x）在R上单调递减，又f（0）﹣4＝0，
∴g（0）＝f（0）﹣1＝4﹣1＝3，
∴exf（x）＞ex+3 g（x）＞g（0），
∴x＜0，
即不等式exf（x）＞ex+3的解集为（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
14．（2025春 江西月考）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
【解答】解：因为{an}，{bn}为等差数列，，
由等差数列的性质可得，．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河南模拟）已知函数的定义域和值域相同．
（1）求a；
（2）记f（x）的导函数为f′（x），求f′（x）的极小值．
【解答】解：（1）若a≥0，则f（x）的定义域为R，则值域为，不符合题意；
若a＜0，令ex+a≥0，得x≥ln（﹣a），值域为[0，+∞），则有ln（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
（2），定义域为，
记g（x）＝f′（x），，
当0＜x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因为f′（x）的极小值为f′（ln2）＝1．
故f′（x）的极小值为1．
16．（2025 漯河三模）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2﹣bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 n＝an+bn，求数列{ n}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，an+1＝an+2，可得数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
由Sn＝2﹣bn，得b1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣bn﹣1，可得Sn﹣Sn﹣1＝2﹣bn﹣2+bn﹣1，
即（n≥2），则数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列．
∴；
（Ⅱ） n＝an+bn＝（2n﹣1）．
则Tn＝C1+C2+…+ n
．
17．（2025春 芒市校级期中）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项和Pn．
【解答】解：（1）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1，
因为数列{an}的前n项和，
所以当n＝1时，，
当n≥2时，，
此时满足上式，故；
因为数列{bn}的前n项和，
所以当n＝1时，b1＝1，
当n≥2时，
，此时b1＝1满足上式，
故；
（2）因为，
所以，
则，
两式相减得，
化简得{cn}的前n项和．
18．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
【解答】解：（1）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．
若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，
则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．（x2+3x）′＝2x+3．
∵（x+1）2+3（x+1）≥1 （2x+3）等价于x2+2x≥0，在（0，+∞）时恒成立，
∴y＝x2+3x是（0，+∞）上的M（1）函数．
（2）实数t满足：，
即．①
特别地，在①中取，可知，
反之，当时，①成立．
令φ（t）＝sint﹣t，由于φ'（t）＝cost﹣1≤0，且φ'（t）＝0的t为离散的点，
故y＝φ（t）为严格减函数，又φ（0）＝0，所以sint﹣t≥0 t≤0．
cost≥0 [2k，2k]，
从而t的取值范围是：{t|t≤0且t∈[2k，2k]}．
（3）若P成立，则对任意正整数n，有：f（x+n）≥0≥n f'（x）（ x∈R），
即y＝f（x）为R上的M（n）函数，Q成立．故P为Q的充分条件．
若Q成立，即对任意正整数n，有：f（x+n）≥n f'（x）（ x∈R）②，
记函数y＝f（x）的最大值为K．
先证明f'（x）≤0恒成立．
反证法，假如存在x1∈R使得f'（x1）＞0，则取正整数n，使得n f'（x1）＞K，
此时有n f'（x1）＞K≥f（x1+n），与②矛盾．
这意味着y＝f（x）为R上的严格减函数．
再证明f（x）≥0恒成立．
取x0为y＝f（x）的一个最大值点，
则当x≤x0时，由单调性知f（x）≥f（x0）＝K，但f（x）≤K，所以f（x）＝K（ x≤x0），
于是f'（x）＝0（ x＜x0）．
对任意x2∈R，可取一个与x2有关的正整数n，使得x2﹣n＜x0，
由②知：f（x2）≥n f'（x2﹣n）＝0．
于是P成立．故P也为Q的必要条件．
19．（2025 兴庆区校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*，数列{bn}满足：对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣1+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由2Sn+an＝3，①
得2Sn﹣1+an﹣1＝3，（n≥2），②
由①﹣②得2an+an﹣an﹣1＝0，即anan﹣1（n≥2）．
对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以an≠0，
所以{an}为等比数列，首项为1，公比为，
即an＝（）n﹣1，n∈N*．
（2）由an＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．
有bnbn﹣1+（）2bn﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③
则bn﹣1bn﹣2+（）2bn﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④
则bn﹣1+（）2bn﹣2+（）3bn﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤
由③﹣⑤得bn＝2n﹣1（n≥2），
对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，
因此bn＝2n﹣1，n∈N*．
（3）由（1）（2）可知cn＝anbn，
则cn+1﹣cn，
所以当n＝1时，cn+1＝cn，即c1＝c2，
当n≥2时，cn+1＜cn，即{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，
故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
假设存在三项cs，cp，cr成等差数列，其中s，p，r∈N*，
由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
可不妨设s＜p＜r，则2cp＝cs+cr（*），
即，
因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，
由数列{cn}的单调性可知，cs≥cp﹣1，即，
因为cr，＞0，
所以，
即以，化简得p，
又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，
当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，cr＜c2＝1，
此时c1，c2，cr不构成等差数列，不合题意．
当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即cs＝1，又cp＝c3，
代入（*）式得cr．
因为数列{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5，
r≥4，所以r＝5．
综上所述，数列{cn}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．
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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）过点P（t，﹣2t）作曲线y＝﹣2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）
2．（2025春 广东月考）若数列{an}满足a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，则a6﹣a4＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
3．（2025春 广东月考）记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且，则S30＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 滦南县期中）已知曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2025春 湖南月考）已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数n，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025春 四川期中）已知数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025 安岳县校级二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝0，当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
8．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 河南模拟）已知函数f（x）＝xalnx，则（ ）
A．当a＝1时，
B．当a＞0时，
C．当a＝1时，f（x）≥x﹣1
D．当a＞0时，
（多选）10．（2025 孝感模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn.（ ）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
（多选）11．（2025春 苏州期中）已知函数f（x）＝cosx+axsinx（a∈R，x∈R），则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．当a＜0时，f（x）在区间上有最大值
D．当a＝1时，f（x）≤x2+1恒成立
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 虹口区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，对任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝1，则a4＝1的概率为 ．
13．（2025春 江西月考）若e为自然对数的底数，f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，f（0）﹣4＝0，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为 ．
14．（2025春 江西月考）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河南模拟）已知函数的定义域和值域相同．
（1）求a；
（2）记f（x）的导函数为f′（x），求f′（x）的极小值．
16．（2025 漯河三模）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2﹣bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 n＝an+bn，求数列{ n}的前n项和Tn．
17．（2025春 芒市校级期中）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项和Pn．
18．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
19．（2025 兴庆区校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*，数列{bn}满足：对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣1+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D B C D D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 广东月考）过点P（t，﹣2t）作曲线y＝﹣2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：因为y＝f（x）＝﹣2x3，所以f′（x）＝﹣6x2，
设过P（t，﹣2t）的切线切曲线y＝﹣2x3于点（s，﹣2s3），
则切线方程为y+2s3＝﹣6s2（x﹣s），又其过P（t，﹣2t），
所以﹣2t+2s3＝﹣6s2（t﹣s），
4s3﹣6ts2+2t＝0，
设g（s）＝4s3﹣6ts2+2t，g′（s）＝12s2﹣12ts，显然t≠0，
由题意可知g（s）有3个零点，
令g′（s）＝0，得s＝0或s＝t，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以g（0）g（t）＝2t（﹣2t3+2t）＜0，所以t＜﹣1，或t＞1．
故选：A．
2．（2025春 广东月考）若数列{an}满足a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，则a6﹣a4＝（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【解答】解：因为a1＝a2＝﹣2，an+2＝|an+1﹣an|，
所以当n＝1时，a3＝|a2﹣a1|＝|﹣2﹣（﹣2）|＝0，
同理a4＝2，a5＝2，a6＝0，
所以a6﹣a4＝0﹣2＝﹣2．
故选：D．
3．（2025春 广东月考）记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和，且，则S30＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
所以an+1，
化简得，即（n+2）an+1＝nan，
由a1＝1，知an≠0，所以，
累乘可得：，
即，
所以，
当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以，
所以S30．
故选：C．
4．（2025春 滦南县期中）已知曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值．
令导数 y′＝x+1，曲线f（x）x2+x的一条切线斜率是3，可得 x＝2，故切点的横坐标为2，
故选：D．
5．（2025春 湖南月考）已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数n，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
设等比数列{an}的公比为q，则，
所以，
由，得，
当n为奇数时，则，所以，
因为单调递增，所以，
当n为偶数时，则，所以，
因为单调递增，
当n＝2时，此时取最小值，故，
综上可得：，所以实数A的取值范围为．
故选：B．
6．（2025春 四川期中）已知数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵数列{an}，{bn}是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，
∴
．
故选：C．
7．（2025 安岳县校级二模）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，f（1）＝0，当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【解答】解：令g（x）＝x3f（x），则g′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝x2[3f（x）+xf′（x）]，
∵当x＜0时，xf′（x）+3f（x）＞0，则g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴g（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝x3f（x）＝g（x），
∴g（x）是定义域为R的偶函数，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵f（1）＝0，∴g（1）＝g（﹣1）＝0，
∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）＝x3f（x）＜0，则f（x）＞0；
当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x3f（x）＞0，则f（x）＜0；
当x∈（0，1）时，g（x）＝x3f（x）＞0，则f（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＝x3f（x）＜0，则f（x）＜0．
∴不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
8．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 河南模拟）已知函数f（x）＝xalnx，则（ ）
A．当a＝1时，
B．当a＞0时，
C．当a＝1时，f（x）≥x﹣1
D．当a＞0时，
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
对于A，当a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，
当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，
所以当时，f（x）取到最小值，
即，故A正确；
对于B，当a＞0时，f′（x）＝xa﹣1（alnx+1），
当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，
所以当时，f（x）取到最小值，
所以当a＞1，；当0＜a＜1时，
即不一定成立，故B错误；
对于C，当a＝1时，f（x）＝xlnx，设g（x）＝xlnx﹣x+1，则g′（x）＝lnx，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x＝1时，g（x）取到最小值0，即g（x）≥0，故C正确；
对于D，当a＞0时，设，
则h′（x）＝axa﹣1lnx，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；
当x＝1时，h（x）取到最小值0，即h（x）≥0，，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025 孝感模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn.（ ）
A．若Sn＝n2﹣1，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n﹣1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S99＝99a50
D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n﹣1 S2n+1＞S2n2
【解答】解：若Sn＝n2﹣1，则有a1＝S1＝0，a2＝S2﹣S1＝22﹣12＝3，a3＝S3﹣S2＝32﹣22＝5，2a2≠a1+a3，此时数列{an}不是等差数列，∴选项A错误；
若Sn＝2n﹣1，则当n＝1时，有a1＝S1＝1，当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，故an＝2n﹣1，2，此时数列{an}是等比数列，∴选项B正确；
又由等差数列的性质可得：S9999a50，故选项C正确；
∵当a1＞0，q＝1时，有an＝a1，S2n﹣1S2n+1＝（2n﹣1）（2n+1）a12＝（4n2﹣1）a12，S2n2＝（2na1）2＝4n2a12，
此时S2n﹣1S2n+1＜S2n2，故选项D错误，
故选：BC．
（多选）11．（2025春 苏州期中）已知函数f（x）＝cosx+axsinx（a∈R，x∈R），则（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．当a＜0时，f（x）在区间上有最大值
D．当a＝1时，f（x）≤x2+1恒成立
【解答】解：对于A，因为f（﹣x）＝cos（﹣x）+a（﹣x）sin（﹣x）＝cosx+axsinx＝f（x），
所以f（x）是偶函数，故A正确；
对于B，当a＝0时，f（x）＝cosx，是周期函数；
当a≠0时，由周期函数的定义可知，
若f（x）是周期函数，
则有f（x+T）＝cos（x+T）+a（x+T）sin（x+T）＝cosx+axsinx＝f（x），
已知sinx，cosx的周期都是2π，
但是使得a（x+T）＝ax的非零常数T值却不存在，
所以 f（x）不一定是周期函数，故B错误；
对于C，f（x）＝﹣sinx+asinx+axcosx＝（a﹣1）sinx+axcosx，
当a＜0时，a﹣1＜0， x∈，有（a﹣1）sinx≤0，axcosx≤0，
所以f'（x）≤0所以f（x）在上单调递减，又因为f（x）是偶函数，
所以f（x）在上单调递增，
由图象的对称可知当 x＝0时，f（x）取得最大值且f（0）＝1，故C正确；
对于D，当a＝1时，令g（x）＝（x2+1）﹣f（x）＝x2+1﹣（cosx+xsinx），
则 g（x）＝2x+sinx﹣（sinx+xcosx）＝x（2﹣cosx），
令g'（x）＝0可得x＝0，
所以当x＞0，g（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＜0，g（x）＜0，g（x）单调递减，
所以 g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≤x2+1恒成立，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 虹口区校级月考）已知数列{an}满足a1＝0，对任意n∈N*，都有|an+1﹣an|＝1，则a4＝1的概率为 ．
【解答】解：因为|an+1﹣an|＝1，则an+1﹣an＝1或者an+1﹣an＝﹣1，
从a1到a4，需经过a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3三次递推，
不妨设三次递推关系an+1﹣an中取1的次数为x，取﹣1的次数为y，则x+y＝3①，且a4﹣a1＝a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3．
因为a1＝0，a4＝1，所以a4﹣a1＝1，即x×1+y×（﹣1）＝1，化为x﹣y＝1②，
联立①②，解得x＝2，y＝1；
因为每次an+1﹣an取1或﹣1的机会是等可能的，即概率都为，
所以a4＝1的概率为：P．
故答案为：．
13．（2025春 江西月考）若e为自然对数的底数，f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，f（0）﹣4＝0，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为 （﹣∞，0） ．
【解答】解：f（x）是定义在R上的函数，且f（x）+f′（x）＜1，
要求不等式exf（x）＞ex+3的解集，
可令g（x）＝exf（x）﹣ex，
∵f（x）+f′（x）＜1，
∴g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]＜0，
∴g′（x）＜0，g（x）在R上单调递减，又f（0）﹣4＝0，
∴g（0）＝f（0）﹣1＝4﹣1＝3，
∴exf（x）＞ex+3 g（x）＞g（0），
∴x＜0，
即不等式exf（x）＞ex+3的解集为（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
14．（2025春 江西月考）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
【解答】解：因为{an}，{bn}为等差数列，，
由等差数列的性质可得，．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 河南模拟）已知函数的定义域和值域相同．
（1）求a；
（2）记f（x）的导函数为f′（x），求f′（x）的极小值．
【解答】解：（1）若a≥0，则f（x）的定义域为R，则值域为，不符合题意；
若a＜0，令ex+a≥0，得x≥ln（﹣a），值域为[0，+∞），则有ln（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
（2），定义域为，
记g（x）＝f′（x），，
当0＜x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因为f′（x）的极小值为f′（ln2）＝1．
故f′（x）的极小值为1．
16．（2025 漯河三模）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2﹣bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设 n＝an+bn，求数列{ n}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，an+1＝an+2，可得数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
由Sn＝2﹣bn，得b1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣bn﹣1，可得Sn﹣Sn﹣1＝2﹣bn﹣2+bn﹣1，
即（n≥2），则数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列．
∴；
（Ⅱ） n＝an+bn＝（2n﹣1）．
则Tn＝C1+C2+…+ n
．
17．（2025春 芒市校级期中）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求{cn}的前n项和Pn．
【解答】解：（1）已知数列{an}的前n项和Sn，数列{bn}的前n项和Tn＝2n﹣1，
因为数列{an}的前n项和，
所以当n＝1时，，
当n≥2时，，
此时满足上式，故；
因为数列{bn}的前n项和，
所以当n＝1时，b1＝1，
当n≥2时，
，此时b1＝1满足上式，
故；
（2）因为，
所以，
则，
两式相减得，
化简得{cn}的前n项和．
18．（2025 宝山区校级模拟）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．
（1）判断y＝x2+3x是否为（0，+∞）上的M（1）函数，说明理由；
（2）若实数t满足：y＝sinx为上的M（t）函数，求t的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）存在最大值．对于：
P：对任意x∈R，f'（x）≤0与f（x）≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y＝f（x）都是R上的M（n）函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论．
【解答】解：（1）设定义域为R的函数y＝f（x）在R上可导，导函数为y＝f'（x）．
若区间I及实数t满足：f（x+t）≥t f'（x）对任意x∈I成立，
则称函数y＝f（x）为I上的“M（t）函数”．（x2+3x）′＝2x+3．
∵（x+1）2+3（x+1）≥1 （2x+3）等价于x2+2x≥0，在（0，+∞）时恒成立，
∴y＝x2+3x是（0，+∞）上的M（1）函数．
（2）实数t满足：，
即．①
特别地，在①中取，可知，
反之，当时，①成立．
令φ（t）＝sint﹣t，由于φ'（t）＝cost﹣1≤0，且φ'（t）＝0的t为离散的点，
故y＝φ（t）为严格减函数，又φ（0）＝0，所以sint﹣t≥0 t≤0．
cost≥0 [2k，2k]，
从而t的取值范围是：{t|t≤0且t∈[2k，2k]}．
（3）若P成立，则对任意正整数n，有：f（x+n）≥0≥n f'（x）（ x∈R），
即y＝f（x）为R上的M（n）函数，Q成立．故P为Q的充分条件．
若Q成立，即对任意正整数n，有：f（x+n）≥n f'（x）（ x∈R）②，
记函数y＝f（x）的最大值为K．
先证明f'（x）≤0恒成立．
反证法，假如存在x1∈R使得f'（x1）＞0，则取正整数n，使得n f'（x1）＞K，
此时有n f'（x1）＞K≥f（x1+n），与②矛盾．
这意味着y＝f（x）为R上的严格减函数．
再证明f（x）≥0恒成立．
取x0为y＝f（x）的一个最大值点，
则当x≤x0时，由单调性知f（x）≥f（x0）＝K，但f（x）≤K，所以f（x）＝K（ x≤x0），
于是f'（x）＝0（ x＜x0）．
对任意x2∈R，可取一个与x2有关的正整数n，使得x2﹣n＜x0，
由②知：f（x2）≥n f'（x2﹣n）＝0．
于是P成立．故P也为Q的必要条件．
19．（2025 兴庆区校级二模）设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+an＝3，n∈N*，数列{bn}满足：对于任意的n∈N*，都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣1+…+anb1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设数列cn＝anbn，问：数列{cn}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由2Sn+an＝3，①
得2Sn﹣1+an﹣1＝3，（n≥2），②
由①﹣②得2an+an﹣an﹣1＝0，即anan﹣1（n≥2）．
对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以an≠0，
所以{an}为等比数列，首项为1，公比为，
即an＝（）n﹣1，n∈N*．
（2）由an＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．
有bnbn﹣1+（）2bn﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③
则bn﹣1bn﹣2+（）2bn﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④
则bn﹣1+（）2bn﹣2+（）3bn﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤
由③﹣⑤得bn＝2n﹣1（n≥2），
对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，
因此bn＝2n﹣1，n∈N*．
（3）由（1）（2）可知cn＝anbn，
则cn+1﹣cn，
所以当n＝1时，cn+1＝cn，即c1＝c2，
当n≥2时，cn+1＜cn，即{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，
故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
假设存在三项cs，cp，cr成等差数列，其中s，p，r∈N*，
由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，
可不妨设s＜p＜r，则2cp＝cs+cr（*），
即，
因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，
由数列{cn}的单调性可知，cs≥cp﹣1，即，
因为cr，＞0，
所以，
即以，化简得p，
又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，
当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，cr＜c2＝1，
此时c1，c2，cr不构成等差数列，不合题意．
当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即cs＝1，又cp＝c3，
代入（*）式得cr．
因为数列{cn}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5，
r≥4，所以r＝5．
综上所述，数列{cn}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．
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