期末真题重组练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册

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期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 宝山区期末）若、均是单位向量，且，则（　　）
A． B．7 C． D．6
2．（2020春 南阳期末）若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
3．（2024秋 太和县校级期末）某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
4．（2024春 昭平县校级期末）已知i是虚数单位，则复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
5．（2024春 清远期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021春 潍坊期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝8km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．cos＜v1，v2
C．|v|＝2km/h
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
7．（2022春 邯郸期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　）
A．当n＝2时，
B．当n＝2时，事件A与事件B不独立
C．当n＝3时，
D．当n＝3时，事件A与事件B不独立
8．（2024春 安徽期末）已知△ABC中，，且O为△ABC的外心．若在上的投影向量为，且，则μ的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 钦州期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的极差为9，平均数为11，方差为13，则（　　）
A．am＝9 B．a2+b＝11 C．a2b+b＝13 D．|a2﹣b|
（多选）10．（2024秋 成都期末）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（　　）
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C．分数在区间[60，70）内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70，80）应抽取30人
（多选）11．（2024春 新城区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（0＜λ＜1，0＜μ＜1），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的最小值为
C．若λ+μ＝1，则的最小值为
D．若AP＝PD，，则的最大值为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区期末）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则的值为 　 　 ．
13．（2025春 宝山区期末）平行四边形ABCD中，，F是BC的中点，记，则 　 　 ．（用表示）
14．（2024秋 安徽校级期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 宝山区期末）已知点A（﹣2，﹣1）、B（1，3）．
（1）求的单位向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．（2024秋 钦州期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按[15，25），[25，35），[35，45），[45，55）分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求m；
（2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
（3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
17．（2024秋 长沙校级期末）已知函数f（x）＝sin（x）+sin（x）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
18．（2023春 丰城市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若b＝2，求△ABC的面积．
19．（2024春 丰城市校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为△ABC的面积且4．
（1）若b＝2，求△ABC外接圆的半径R；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
期末真题重组练习卷-2024-2025学年高一数学下学期苏教版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B D B D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BC ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 宝山区期末）若、均是单位向量，且，则（　　）
A． B．7 C． D．6
【解答】解：已知、均是单位向量，且，
则
．
故选：A．
2．（2020春 南阳期末）若sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，则cos（α﹣β）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【解答】解：∵sinα+sinβ+sinγ＝0，cosα+cosβ+cosγ＝0，
∴（sinα+sinβ）2＝（﹣sinγ）2，（cosα+cosβ）2＝（﹣cosγ）2，
两式相加得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，
∴cos（α﹣β），
故选：C．
3．（2024秋 太和县校级期末）某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（　　）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
【解答】解：由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选：D．
4．（2024春 昭平县校级期末）已知i是虚数单位，则复数（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【解答】解：∵i＝i，
∴．
故选：B．
5．（2024春 清远期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设CC1的中点为P，
连接NP，DP，D1M，AM，AD1，
则根据正方体的性质易知NP⊥平面DCC1D1，
∴DN在平面DCC1D1内的射影为DP，
又M为棱DC的中点，CC1的中点为P，
∴易得D1M⊥DP，
∴根据三垂线定理可得D1M⊥DN，
同理可得AM⊥DN，又D1M∩AM＝M，
∴DN⊥平面AMD1，
∴平面α截正方体AC1所得的截面即为△AMD1，
又易知AM＝D1M＝2，AD1＝4，可得cos∠AMD1，
可得sin∠AMD1，
∴平面α截正方体AC1所得的截面面积AM MD1 sin∠AMD1224．
故选：D．
6．（2021春 潍坊期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝8km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（　　）
A．船头方向与水流方向垂直
B．cos＜v1，v2
C．|v|＝2km/h
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
【解答】解：如图，
A′是河对岸一点，且AA′与河岸垂直，那么当这艘船实际沿AA′方向行驶时船的航程最短，
v＝v1+v2，||，故C错误；
设船头方向与AA′的夹角为θ，则sin，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误；
cos＜v1，v2＞＝cos（）＝﹣sinθ，故B正确；
该船到达对岸的时间为t分钟，故D错误．
故选：B．
7．（2022春 邯郸期末）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　）
A．当n＝2时，
B．当n＝2时，事件A与事件B不独立
C．当n＝3时，
D．当n＝3时，事件A与事件B不独立
【解答】解：当n＝2时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，
且n（A）＝2，n（B）＝3，n＝（A∩B），P（A），P（B），P（AB），
所以P（A∩B），故A正确；
P（AB）≠P（A）P（B），所以事件
A
与事件B不独立，故B正确；
当n＝3时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），
（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），
（反，反，反），共8种，
n（A∪B）＝7，n（A）＝6，n（B）＝4，n（AB）＝3，
所以P（A∪B），故C正确；
P（A），P（B），P（AB），P（AB）＝P（A）P（B），所以事件
A
与事件B独立，故D错误．
故选：D．
8．（2024春 安徽期末）已知△ABC中，，且O为△ABC的外心．若在上的投影向量为，且，则μ的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为O为△ABC的外心，即有，
所以△ABC为直角三角形，因此AB⊥AC，O为斜边BC的中点．
因为，所以∠AOC为锐角．
如图，过点A作AQ⊥BC，垂足为Q．
因为在上的投影向量为，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故μ的取值范围为．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 钦州期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的极差为9，平均数为11，方差为13，则（　　）
A．am＝9 B．a2+b＝11 C．a2b+b＝13 D．|a2﹣b|
【解答】解：∵一组数据x1，x2，…，xn的极差为m，平均数为a，方差为b，
另外一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的极差为9，平均数为11，方差为13，
∴（axn+b）﹣（ax1+b）＝a（xn﹣x1）＝am＝9，故A正确；
由数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b为平均数为11，得a2+b＝11，故B正确；
由数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为13，得a2b＝13，
∴b≠0，∴a2b+b≠13，故C错误；
∴a2和b是x2﹣11x+13＝0的两个根，
解方程x2﹣11x+13＝0，得x，
∴|a2﹣b|，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2024秋 成都期末）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（　　）
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C．分数在区间[60，70）内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70，80）应抽取30人
【解答】解：由图中数据可知，0.05×45+0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.2×85+0.1×95＝72分，故A错误；
分数在区间[80，90）内的频率为0.2，分数在区间[90，100）内的频率为0.1，
则考生参赛成绩的第75百分位数于[80，90），
则第75百分位数约为分，故B正确；
分数在区间[60，70）内的频率为10×0.02＝0.2，故C正确；
分数在区间[70，80）内的频率为0.03×10＝0.3，
总人数为2000名，
则成绩在区间[70，80）应抽取0.3×2000＝600人，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（2024春 新城区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（0＜λ＜1，0＜μ＜1），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的最小值为
C．若λ+μ＝1，则的最小值为
D．若AP＝PD，，则的最大值为
【解答】解：对于A，因为，，
所以，故A正确；
对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，
所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），
设AP＝x，0≤x≤1，所以P（x，1），
所以，
所以的最小值为，此时，故B正确；
因为，（0＜λ＜1，0＜μ＜1），
所以，，
所以，
当λ+μ＝1时，，
所以，当且仅当x＝μ时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
因为，若AP＝PD，，
则，所以，
所以，即，
当且仅当λ＝μ即时，等号成立，
所以，
即的最大值是，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 宝山区期末）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则的值为 　　 ．
【解答】解：由z＝1+i，得，
则||．
故答案为：．
13．（2025春 宝山区期末）平行四边形ABCD中，，F是BC的中点，记，则 　　 ．（用表示）
【解答】解：平行四边形ABCD中，，F是BC的中点，记，所以，
，
故．
故答案为：．
14．（2024秋 安徽校级期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 　　 ．
【解答】解：因为角α的终边经过点，
所以sinα，cosα，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 宝山区期末）已知点A（﹣2，﹣1）、B（1，3）．
（1）求的单位向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【解答】解：（1）A（﹣2，﹣1），B（1，3），
则（3，4）；；
单位向量±；
（2）（﹣2，﹣1）+2（1，3）＝（0，5），，
，
，
故．
16．（2024秋 钦州期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按[15，25），[25，35），[35，45），[45，55）分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．
（1）求m；
（2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
（3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.01+m+0.04+0.02）×10＝1，解得m＝0.03；
（2）因为前几组的频率依次为0.1，0.3，0.4，
所以估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数为37.5；
（3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数为：
20×0.1+30×0.3+40×0.4+50×0.2＝37；
估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的方差为：
（20﹣37）2×0.1+（30﹣37）2×0.3+（40﹣37）2×0.4+（50﹣37）2×0.2＝81．
17．（2024秋 长沙校级期末）已知函数f（x）＝sin（x）+sin（x）+cosx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
【解答】解：（1）由题意：函数f（x）＝sin（x）+sin（x）+cosx+a，
化简得：f（x）＝sinxcoscosxsinsinxcoscosxsincosx+a
sinx+cosx+a
＝2sin（x）+a，
∵sin（x）的最大值为1，
∴f（x）＝2×1+a＝1，解得：a＝﹣1．
（2）∵由（1）可知f（x）＝2sin（x）﹣1．
根据三角函数的性质可得：x∈[2kπ，2kπ]（k∈Z）．
即2kπx2kπ，（k∈Z）
∴解得：2kπx≤2kπ，（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）；
（3）∵由题意：f（x）≥0，即2sin（x）﹣1≥0，
可得：sin（x）．
∴2kπx2kπ，（k∈Z）．
解得：2kπ≤x≤2kπ．
∴f（x）≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ}，（k∈Z）．
18．（2023春 丰城市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，．
即．
因为，
由正弦定理可得：，即tanA＝﹣3tanB．
同理，，
由正弦定理可得：，即．
在△ABC中有．
解得tanA＝﹣1，，．
由0＜A＜π，得：．
（2）△ABC面积，代入，b＝2，整理得：．
由（1）知，，即，．
△ABC中，由正弦定理可得，即．
所以．
19．（2024春 丰城市校级期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为△ABC的面积且4．
（1）若b＝2，求△ABC外接圆的半径R；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
【解答】解：（1）∵4S+3（b2﹣a2）＝3c2，
∴4acsinB＝3c2﹣3（b2﹣a2）＝3（a2+c2﹣b2），
即2acsinB＝3×2accosB，
所以tanB，因为B∈（0，π），故B，
又∵b＝2，∴2R，∴R；
（2）由（1）可知，，
∴asinA，csinC，∴a2sin2A，c2sin2C，
∴
＝1，
∵△ABC为锐角三角形，B，∴C，∴tanC，∴0，
设t，则t2t+1（t）2，
∴0＜t时，∈（1，7）．
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