【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学试卷
1．（2025·新高考Ⅰ卷）（1+5i）i的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： （1+5i）i =i+5i2=-5+i，所以 （1+5i）i的虚部为 1.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查复数的乘法运算及虚部的概念，根据运算法则求解即可.
2．（2025·新高考Ⅰ卷）设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；补集及其运算
【解析】【解答】解：易知 全集，
因为集合，所以，则 中元素个数为 5.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求全集，再求补集，即可得 中元素的个数.
3．（2025·新高考Ⅰ卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知得 ，则，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查双曲线的性质和离心率的运算，根据题意可得，进而得出c，即可求解离心率e.
4．（2025·新高考Ⅰ卷）若点（a，0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由正切函数的对称性可知，
点（a，0）是一个对称中心，则，即，
当k=0时，a取最小值 .
故答案为：C.
【分析】本题考查正切函数图象的对称中心性质，正切函数的对称中心满足其相位参数为π的半整数倍，通过建立方程并结合条件求解最小值。
5．（2025·新高考Ⅰ卷）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，
则，
又当时，，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性与周期性，根据偶函数的性质和周期T=2，得到，代入求解即可.
6．（2025·新高考Ⅰ卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：由题意，，
则，，，，则，即真风为轻风.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量坐标运算求得真风风速对应的向量，求模判断即可.
7．（2025·新高考Ⅰ卷）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆心到直线的距离，又 圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 满足，即，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，，通过计算求解即可.
8．（2025·新高考Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：，
设，则，，，
当k=1时，x=2，y=1，，此时 ，
当k=3时，x=8，y=9，z=1，此时 ，
当k=6时，x=64，y=243，z=125，此时 ，
当k=8时，x=256，y=2187，z=3125，此时 ，
则 x，y，z的大小关系不可能是 .
故答案为：B.
【分析】将对数转化为指数形式，通过赋值法，比较x、y、z的大小关系，即可求解.
9．（2025·新高考Ⅰ卷）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，假设 A，则平面，
明显有平面，且平面平面，则假设不成立，故A错误；
B、因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，所以 平面 ，故B正确；
C、因为，平面，且不包含于平面 ，
所以平面 ，故C正确；
D、记为中点，连接，如图所示：
易知，假设 ，则，明显假设不成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正三棱柱的性质结合线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行的判定定理分析判断即可.
10．（2025·新高考Ⅰ卷）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交准线于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意的，作出图形，如图所示：
A、抛物线，易知焦点，准线方程，
由抛物线得定义可知：，故A正确；
B、由题可知：，，则，
因为，，所以，所以，
同理可得：，又因为，
所以，所以，显然，故B错误；
C、当直线斜率不存在时，，
当直线斜率时，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，
，且，则，综上，故C正确；
D、在中，，则，
即，即，，
又因为
，，
所以，
，故D正确.
【分析】易知抛物线的焦点、准线方程，结合抛物线的定义即可判断A；利用三角形相似接口判断B；分直线斜率存在和不存在讨论，存在时设直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可判断C；利用三角形相似求得，，结合焦半径公式求解即可判断D.
11．（2025·新高考Ⅰ卷）已知的面积为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：A、由，
可得，则，故A正确；
B、由A选项，可得，
则，
若，则，即，
故，矛盾；
同理，也不成立；
则，即，，
因为，所以，所以，则，
由正弦定理可得：，
又因为的面积为，所以，解得，
即，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式化简即可判断A；由A选项结合内角和定理、两角和的正弦公式化简，推得，结合，求得角，利用正弦定理结合面积求解即可判断B；由B选项求得即可判断C；由B选项即可判断D.
12．（2025·新高考Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= .
【答案】4
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设曲线，切点为，
易知，因为直线是曲线的切线，
所以，解得，则，即，则.
故答案为：.
【分析】设曲线，切点为，求导，由题意可得，求得，再根据切点在直线和曲线上，求的值即可.
13．（2025·新高考Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】2
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，易知，
由题意可得：，即，即，解得（舍）.
故答案为：2.
【分析】设等比数列的公比为，易知，由题意，结合等比数列的求和公式求解即可.
14．（2025·新高考Ⅰ卷）一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，从中有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）= .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：可能取值为，总的选取可能为种，
表示3次取同一个球号，则；
表示2个不同的球号球被取（一个号出现两次，另一个号出现一次），
出现两次的球号有5种可能，另一个号有4种可能且出现的位置由3种可能，
即的可能结果有种，则；
表示取出的3球号都不一样，则，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知可能取值为，利用分步计数原理结合古典概型概率公式求得女的分布列，再计算期望即可.
15．（2025·新高考Ⅰ卷）为研究某乘病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：，
P（x2≥k） 0.005 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由列联表可知：超声波检查结果不正常患者有200人，其中患病有180人，
则超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ；
（2）解：零假设： 超声波检查结果是否与患该疾病无关，
根据小概率值a=0.001的独立性检验 ，推断零假设不成立，则超声波检测结果是患该疾病有关.
【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）零假设，计算，与临界值比较判断即可.
16．（2025·新高考Ⅰ卷）设数列满足，.
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
【答案】（1）证明：数列满足，，可得，则，
即，即，即，
则数列以3为首项，1为公差的等差数列，即；
（2）解：由（1）可得，
由，
可得，
求导可得①，②，
当时，
①-②可得：，
令，则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）由已知式子化简，结合等差数列的概念证明即可；
（2）由（1）可得，代入函数，求导，两边同乘以两式作差，利用等比数列的前项和得出，再代值求解即可.
17．（2025·新高考Ⅰ卷）如图所示的四棱锥中，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O.
（i）证明：O在平面ABCD上；
（ii）求直线AC与直线PO所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：在 四棱锥中， 因为平面，平面，所以，
又因为，且，所以平面，
又因为平面，所以 平面平面；
（2）（i） 证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
若共球面，则，
在平面中，，，，，
因为，所以在的垂直平分线上，
记的中点为，，，则垂直平分线方程为：①，
记的中点为，，即垂直平分线方程为：②，
联立①②解得，即，在空间中，经检验满足，
则在平面上；
（ii） 由（i）可得：，，
则，即与的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理证明即可；
（2）（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，若共球面，则，在平面中，根据求得点坐标，从而得到空间中点的坐标，计算出，即可证明在平面上；
（ii）由（i）的空间直角坐标系，求得，，利用向量夹角公式求解即可.
18．（2025·新高考Ⅰ卷）设椭圆的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足.
（i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得：，即，解得，，
则椭圆的方程：；
（2）(i)、解：令，，由，
可得，
则，即，
设，，
解得，，
则；
(ii)、因为，，
所以，整理可得，即，
即，即在以为圆心，为半径的圆上，
则为到圆心的距离+半径，
设，，
则，
令，，
当时，.
【知识点】函数的最大（小）值；向量在几何中的应用；轨迹方程；椭圆的简单性质；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组求解即可；
（2）(i)令，，设，由，结合向量相等求点坐标即可；
（ii） 根据斜率关系可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再根据点到圆的最值求法结合换元二次函数的性质求解即可.
19．（2025·新高考Ⅰ卷）设函数.
（1）求在的最大值；
（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值.
【答案】（1）解：函数，，
，
令，解得或，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
则；
（2）证明：根据余弦函数的性质可知：的解集为，
若与交集为空集，
则，此时无解，
即存在，使得与交集不为空集，
故存在，使得；
（3）解：令，，
因为，所以周期为，
不妨设，，
因为连续且处处可导，所以最大值在极值点处取得，
令，，所以或，
解得或，
当时，，
当，，
则，
显然，记，
取值情况最多有6种，相当于图象上以为起点，
横坐标以为起点，往后总共取6个点，
由图象可知，时，取最小值，，
则，即，
此时恒成立，且时取等号，故b的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可；
（2）利用反证法证明即可；
（3）令，求导，利用导数求的最大值，
记根据余弦函数的性质，结合图象求的最小值，即可得的最小值.
1 / 1【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学试卷
1．（2025·新高考Ⅰ卷）（1+5i）i的虚部为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．6
2．（2025·新高考Ⅰ卷）设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
3．（2025·新高考Ⅰ卷）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2025·新高考Ⅰ卷）若点（a，0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·新高考Ⅰ卷）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·新高考Ⅰ卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
7．（2025·新高考Ⅰ卷）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，3） C． D．
8．（2025·新高考Ⅰ卷）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·新高考Ⅰ卷）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C．平面 D．
10．（2025·新高考Ⅰ卷）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交准线于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·新高考Ⅰ卷）已知的面积为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·新高考Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= .
13．（2025·新高考Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
14．（2025·新高考Ⅰ卷）一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，从中有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）= .
15．（2025·新高考Ⅰ卷）为研究某乘病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：，
P（x2≥k） 0.005 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．（2025·新高考Ⅰ卷）设数列满足，.
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
17．（2025·新高考Ⅰ卷）如图所示的四棱锥中，平面，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O.
（i）证明：O在平面ABCD上；
（ii）求直线AC与直线PO所成角的余弦值.
18．（2025·新高考Ⅰ卷）设椭圆的离心率为，椭圆下顶点为A，右顶点为B，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足.
（i）设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）；
（ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
19．（2025·新高考Ⅰ卷）设函数.
（1）求在的最大值；
（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意x，都有，求b的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： （1+5i）i =i+5i2=-5+i，所以 （1+5i）i的虚部为 1.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查复数的乘法运算及虚部的概念，根据运算法则求解即可.
2．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；补集及其运算
【解析】【解答】解：易知 全集，
因为集合，所以，则 中元素个数为 5.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求全集，再求补集，即可得 中元素的个数.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由已知得 ，则，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查双曲线的性质和离心率的运算，根据题意可得，进而得出c，即可求解离心率e.
4．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由正切函数的对称性可知，
点（a，0）是一个对称中心，则，即，
当k=0时，a取最小值 .
故答案为：C.
【分析】本题考查正切函数图象的对称中心性质，正切函数的对称中心满足其相位参数为π的半整数倍，通过建立方程并结合条件求解最小值。
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，
则，
又当时，，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性与周期性，根据偶函数的性质和周期T=2，得到，代入求解即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算
【解析】【解答】解：由题意，，
则，，，，则，即真风为轻风.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量坐标运算求得真风风速对应的向量，求模判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆心到直线的距离，又 圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 满足，即，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，，通过计算求解即可.
8．【答案】B
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：，
设，则，，，
当k=1时，x=2，y=1，，此时 ，
当k=3时，x=8，y=9，z=1，此时 ，
当k=6时，x=64，y=243，z=125，此时 ，
当k=8时，x=256，y=2187，z=3125，此时 ，
则 x，y，z的大小关系不可能是 .
故答案为：B.
【分析】将对数转化为指数形式，通过赋值法，比较x、y、z的大小关系，即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，假设 A，则平面，
明显有平面，且平面平面，则假设不成立，故A错误；
B、因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，所以 平面 ，故B正确；
C、因为，平面，且不包含于平面 ，
所以平面 ，故C正确；
D、记为中点，连接，如图所示：
易知，假设 ，则，明显假设不成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正三棱柱的性质结合线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行的判定定理分析判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意的，作出图形，如图所示：
A、抛物线，易知焦点，准线方程，
由抛物线得定义可知：，故A正确；
B、由题可知：，，则，
因为，，所以，所以，
同理可得：，又因为，
所以，所以，显然，故B错误；
C、当直线斜率不存在时，，
当直线斜率时，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，
，且，则，综上，故C正确；
D、在中，，则，
即，即，，
又因为
，，
所以，
，故D正确.
【分析】易知抛物线的焦点、准线方程，结合抛物线的定义即可判断A；利用三角形相似接口判断B；分直线斜率存在和不存在讨论，存在时设直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可判断C；利用三角形相似求得，，结合焦半径公式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：A、由，
可得，则，故A正确；
B、由A选项，可得，
则，
若，则，即，
故，矛盾；
同理，也不成立；
则，即，，
因为，所以，所以，则，
由正弦定理可得：，
又因为的面积为，所以，解得，
即，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式化简即可判断A；由A选项结合内角和定理、两角和的正弦公式化简，推得，结合，求得角，利用正弦定理结合面积求解即可判断B；由B选项求得即可判断C；由B选项即可判断D.
12．【答案】4
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设曲线，切点为，
易知，因为直线是曲线的切线，
所以，解得，则，即，则.
故答案为：.
【分析】设曲线，切点为，求导，由题意可得，求得，再根据切点在直线和曲线上，求的值即可.
13．【答案】2
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，易知，
由题意可得：，即，即，解得（舍）.
故答案为：2.
【分析】设等比数列的公比为，易知，由题意，结合等比数列的求和公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知：可能取值为，总的选取可能为种，
表示3次取同一个球号，则；
表示2个不同的球号球被取（一个号出现两次，另一个号出现一次），
出现两次的球号有5种可能，另一个号有4种可能且出现的位置由3种可能，
即的可能结果有种，则；
表示取出的3球号都不一样，则，
则.
故答案为：.
【分析】由题意可知可能取值为，利用分步计数原理结合古典概型概率公式求得女的分布列，再计算期望即可.
15．【答案】（1）解：由列联表可知：超声波检查结果不正常患者有200人，其中患病有180人，
则超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ；
（2）解：零假设： 超声波检查结果是否与患该疾病无关，
根据小概率值a=0.001的独立性检验 ，推断零假设不成立，则超声波检测结果是患该疾病有关.
【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）零假设，计算，与临界值比较判断即可.
16．【答案】（1）证明：数列满足，，可得，则，
即，即，即，
则数列以3为首项，1为公差的等差数列，即；
（2）解：由（1）可得，
由，
可得，
求导可得①，②，
当时，
①-②可得：，
令，则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）由已知式子化简，结合等差数列的概念证明即可；
（2）由（1）可得，代入函数，求导，两边同乘以两式作差，利用等比数列的前项和得出，再代值求解即可.
17．【答案】（1）证明：在 四棱锥中， 因为平面，平面，所以，
又因为，且，所以平面，
又因为平面，所以 平面平面；
（2）（i） 证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
若共球面，则，
在平面中，，，，，
因为，所以在的垂直平分线上，
记的中点为，，，则垂直平分线方程为：①，
记的中点为，，即垂直平分线方程为：②，
联立①②解得，即，在空间中，经检验满足，
则在平面上；
（ii） 由（i）可得：，，
则，即与的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理证明即可；
（2）（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，若共球面，则，在平面中，根据求得点坐标，从而得到空间中点的坐标，计算出，即可证明在平面上；
（ii）由（i）的空间直角坐标系，求得，，利用向量夹角公式求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意可得：，即，解得，，
则椭圆的方程：；
（2）(i)、解：令，，由，
可得，
则，即，
设，，
解得，，
则；
(ii)、因为，，
所以，整理可得，即，
即，即在以为圆心，为半径的圆上，
则为到圆心的距离+半径，
设，，
则，
令，，
当时，.
【知识点】函数的最大（小）值；向量在几何中的应用；轨迹方程；椭圆的简单性质；椭圆的参数方程
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组求解即可；
（2）(i)令，，设，由，结合向量相等求点坐标即可；
（ii） 根据斜率关系可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再根据点到圆的最值求法结合换元二次函数的性质求解即可.
19．【答案】（1）解：函数，，
，
令，解得或，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
则；
（2）证明：根据余弦函数的性质可知：的解集为，
若与交集为空集，
则，此时无解，
即存在，使得与交集不为空集，
故存在，使得；
（3）解：令，，
因为，所以周期为，
不妨设，，
因为连续且处处可导，所以最大值在极值点处取得，
令，，所以或，
解得或，
当时，，
当，，
则，
显然，记，
取值情况最多有6种，相当于图象上以为起点，
横坐标以为起点，往后总共取6个点，
由图象可知，时，取最小值，，
则，即，
此时恒成立，且时取等号，故b的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可；
（2）利用反证法证明即可；
（3）令，求导，利用导数求的最大值，
记根据余弦函数的性质，结合图象求的最小值，即可得的最小值.
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