【期末章节复习】平面向量及其应用（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）平面向量，满足||＝2，||＝1，且（32） （）＝9，则向量，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025春 四川校级月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b﹣a＝2，b﹣c＝4，且△ABC的最大内角为，则△ABC的最大边等于（　　）
A．7 B．7或2 C．8 D．8或5
3．（2025 福建模拟）已知向量（x，﹣2），（1，2），若⊥，则||＝（　　）
A． B．25 C．5 D．
4．（2025 历城区校级模拟）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 都匀市校级月考）如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 岷县校级月考）已知A，B两地相距5km，B，C两地相距10km，若测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为（　　）
A．5km B． C． D．
7．（2025春 通州区期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2，b，c＝4，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 香坊区校级期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 淄博校级月考）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025春 驻马店校级月考）已知向量，，，λ∈R，则（　　）
A．若，则λ＝4
B．若，则λ+t＝﹣6
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则λ的取值范围是（﹣∞，﹣1）
（多选）11．（2025春 龙岩期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝4，a≠b，且8cosA＝c，则（　　）
A．角C的取值范围是
B．b的取值范围是（4，8）
C．△ABC周长的取值范围是
D．的取值范围是
三．填空题（共3小题）
12．（2025 五华区校级模拟）若平面向量，（3，m），，则实数m＝　 　 ．
13．（2025春 淅川县校级月考）如图所示，在△ABC中，BC＝30，点D在BC边上，点E在线段AD上，若，则BD＝ 　 　 ．
14．（2025 福建模拟）已知点P为等腰△ABC外接圆⊙M上的一个动点，AC＝2BC＝4，则的取值范围为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）已知向量．
（1）求的坐标；
（2）求与夹角的余弦值．
16．（2025春 广东月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，cos∠BDC．
（1）求cos∠ADB；
（2）求CD的长．
17．（2025春 安徽月考）请从：①；②；③．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
（如未作出选择，则按照选择①评分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_____，
（1）求角B的大小；
（2）若角B的平分线BD长为1，且ac＝4，求△ABC外接圆的面积；
（3）若D是AC边上的一点，且AD：DC＝1：2，，当a+3c取最大值时，求△ABC的面积．
18．（2025春 建邺区校级月考）如图，在△ABC中，，AC＝1，∠BAC＝90°，若D是线段AB上一点，E是线段BC上一点，其中，．
（1）若，线段CD与AE交于点G，求的值；
（2）若，求的最小值．
19．（2025春 广东月考）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义的值为△ABC的“径比”．
（1）若△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的径比f；
（2）证明：；
（3）若cos2A+cos2B＝1+cos2C，求f的最值．
【期末章节复面向量及其应用-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C C D C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AB ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）平面向量，满足||＝2，||＝1，且（32） （）＝9，则向量，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且，
所以，
则，，
设向量的夹角为θ，则，
则θ．
故选：B．
2．（2025春 四川校级月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b﹣a＝2，b﹣c＝4，且△ABC的最大内角为，则△ABC的最大边等于（　　）
A．7 B．7或2 C．8 D．8或5
【解答】解：根据题意可知，b﹣a＝2＞0，b﹣c＝4＞0，故b＞a，b＞c，
故b是三角形中最大的边，因此，
根据b2＝a2+c2﹣2accosB可得，
化简可得b2﹣9b+14＝0，因为b＞2，故b＝7．
故选：A．
3．（2025 福建模拟）已知向量（x，﹣2），（1，2），若⊥，则||＝（　　）
A． B．25 C．5 D．
【解答】解：（x，﹣2），（1，2），若⊥，
则x﹣4＝0，即x＝4，可得，
则||．
故选：C．
4．（2025 历城区校级模拟）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设，且，，
∴，
又，
∴，解得m．
故选：C．
5．（2025春 都匀市校级月考）如图，在△OCB中，A是边BC的中点，D是边OB上靠近点O的三等分点，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵A是边BC的中点，∴，
∴，
∵D是边OB上靠近点O的三等分点，∴，
∴．
故选：C．
6．（2025春 岷县校级月考）已知A，B两地相距5km，B，C两地相距10km，若测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为（　　）
A．5km B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，由已知可得|AB|＝5，|BC|＝10，
则|AC|2＝|AB|2+|BC|2﹣2|AB| |BC| cos∠ABC，
即，解得．
即A，C两地间的距离为km．
故选：D．
7．（2025春 通州区期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2，b，c＝4，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，a＝2，b，c＝4，
根据余弦定理得cosB．
故选：C．
8．（2025春 香坊区校级期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设AB＝h，则，且∠CBD＝180°﹣（30°+45°），
则，
在△BCD中，由正弦定理得：，
即，解得，
所以．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 淄博校级月考）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：选项A：为零向量，不能作基底，故A选项不正确；
选项B：计算，两向量不共线，可作基底，故B选项正确；
选项C：计算3×3﹣5×5＝﹣16≠0，两向量不共线，可作基底，故C选项正确；
选项D：计算1×3﹣3×5＝﹣12≠0，两向量不共线，可作基底，故D选项正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2025春 驻马店校级月考）已知向量，，，λ∈R，则（　　）
A．若，则λ＝4
B．若，则λ+t＝﹣6
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．若向量与向量的夹角为锐角，则λ的取值范围是（﹣∞，﹣1）
【解答】解：A．∵，，，，
∴（1，4），
∴，故λ＝4，选项A正确．
B．∵，，
∴，解得t＝3，λ＝﹣9，故λ+t＝﹣6，选项B正确．
C．由题意得，4，，
∴在方向上的投影向量为，选项C错误．
D．由题意得，（﹣1，3），2（4+λ，1），
∵向量与向量的夹角为锐角，
∴，解得λ＜﹣1，
当向量与向量共线时，由﹣1×1﹣3（4+λ）＝0得，
∴λ的取值范围是，选项D错误．
故选：AB．
（多选）11．（2025春 龙岩期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝4，a≠b，且8cosA＝c，则（　　）
A．角C的取值范围是
B．b的取值范围是（4，8）
C．△ABC周长的取值范围是
D．的取值范围是
【解答】解：因为a＝4，且8cosA＝c，所以2acosA＝c，
由正弦定理得2sinAcosA＝sinC，所以sin2A＝sinC．
因为△ABC是锐角三角形，a≠b，排除C＝π﹣2A，
所以2A＝C，则，
解得，所以，故A正确；
由正弦定理，
所以．
因为，所以，
所以，则4＜16cos2A﹣4＜8，即b的取值范围是（4，8），则B正确；
b+c＝16cos2A+8cosA﹣4，设，
则y＝16t2+8t﹣4在上单调递增，所以，
即，因为 a＝4，
所以△ABC周长的取值范围是，则C错误；
因为c＝8cosA，所以．因为，
所以，
所以，即，
故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 五华区校级模拟）若平面向量，（3，m），，则实数m＝　﹣6　 ．
【解答】解：由于，故，
由于平面向量，（3，m），所以2×3+m＝0，解得m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
13．（2025春 淅川县校级月考）如图所示，在△ABC中，BC＝30，点D在BC边上，点E在线段AD上，若，则BD＝ 　12　 ．
【解答】解：在△ABC中，BC＝30，点D在BC边上，点E在线段AD上，
因为点D在BC边上，所以可设，
所以，
利用A，E，D三点共线，
所以，解得，
所以，BD＝30﹣18＝12．
故答案为：12．
14．（2025 福建模拟）已知点P为等腰△ABC外接圆⊙M上的一个动点，AC＝2BC＝4，则的取值范围为　　 ．
【解答】解：根据题意可知，P为等腰△ABC外接圆⊙M上的一个动点，AC＝2BC＝4，则BC＝2，
若AB＝2，则AB+BC＝4＝AC，矛盾，
若AB＝AC＝4，则AB+AC＝8＞BC，合乎题意．
，
设PB＝m，PC＝n，当点P在优弧（不包括点B、C）上运动时，∠P＝∠A，则，
，
所以，mn≤16，当且仅当点P与点A重合时，等号成立，
又因为mn＞0，此时，0＜mn≤16，此时，，
当点P与点B或点C重合时，，
当点P在劣弧（不包括点B、C）上运动时，∠P+∠A＝π，此时，，
，
即，当且仅当点P为劣弧的中点时，等号成立，又因为mn＞0，则，
此时，，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）已知向量．
（1）求的坐标；
（2）求与夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由，
得，
；
（2）由（1）可知，，
则（） （）＝2×5+（﹣1）×（﹣10）＝20，
，
所以cos，．
因此向量与夹角的余弦值为．
16．（2025春 广东月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，cos∠BDC．
（1）求cos∠ADB；
（2）求CD的长．
【解答】解：（1）由AB∥CD，可得∠ABD＝∠BDC，
则，
即，
而，即有，
在△ABD中，cos∠ADB＝﹣cos（A+∠ABD）
，
所以；
（2）由（1）知，，
在△ABD中，由正弦定理，
得，
由余弦定理BC2＝BD2+CD2﹣2BD CDcos∠BDC，
得，
解得或（舍去），
所以CD的长为．
17．（2025春 安徽月考）请从：①；②；③．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
（如未作出选择，则按照选择①评分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_____，
（1）求角B的大小；
（2）若角B的平分线BD长为1，且ac＝4，求△ABC外接圆的面积；
（3）若D是AC边上的一点，且AD：DC＝1：2，，当a+3c取最大值时，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）若选①，因为，所以2acosB﹣ccosB＝bcosC，
由正弦定理得2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，则，因为B∈（0，π），所以；
若选②，
由，A，
则，所以，因为B∈（0，π），所以；
若选③，由，得，
则ac＝a2+c2﹣b2，所以，解得；
（2）因为角B的平分线为BD，
由等面积法：，
即，即，
所以b＝6，所以，即，
故△ABC外接圆的面积S＝πR2＝12π；
（3）设 AD＝x，由 AD：DC＝1：2，可知 AC＝3x，
根据余弦定理：，又因为，
所以，化简得6x2+9＝a2+2c2②，
联立①②，消去x2整理得（a+c）2+3c2＝27，即，
令，则，
所以，
其中，，当时，a+3c取最大值，即θΦ，
此时由（*）知a＝3sinΦ﹣3cosΦ，c，
则此时△ABC的面积为 ．
18．（2025春 建邺区校级月考）如图，在△ABC中，，AC＝1，∠BAC＝90°，若D是线段AB上一点，E是线段BC上一点，其中，．
（1）若，线段CD与AE交于点G，求的值；
（2）若，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则，
因为，
所以，
解得，
因为，所以，
从而，
联立，解得，所以，
因此；
（2）因为E是线段BC上一点，，所以0≤λ≤1，
又因为，所以λ≠0，λ≠1，因此0＜λ＜1，
又（xF，yF）＝λ（xF，yF﹣1），所以，
由（1）知，
所以，
令t＝1﹣λ，则t∈（0，1），
因此
，
当且仅当，即时取等号，
因此的最小值为．
19．（2025春 广东月考）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义的值为△ABC的“径比”．
（1）若△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的径比f；
（2）证明：；
（3）若cos2A+cos2B＝1+cos2C，求f的最值．
【解答】解：（1）由△ABC为等腰直角三角形，设直角边长为a，则斜边长为，
所以△ABC外接圆的半径为，且△ABC的周长为，
则S△ABC，
可得，
所以；
（2）证明：由正弦定理，
即a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
又由△ABC得面积为，
且△ABC的周长为l＝2R（sinA+sinB+sinC），
因为，即S△ABCabsinC
，
即2RsinAsinBsinC＝（sinA+sinB+sinC） r，
所以；
（3）解：由cos2A+cos2B＝1+cos2C，
可得，
即cos（A+B）cos（A﹣B）＝cos2C，
在△ABC中，可得cos（A+B）＝﹣cosC，
所以﹣cosCcos（A﹣B）＝cos2C，
即cosC[cosC+cos（A﹣B）]＝0，
可得cosC＝0或cos（A﹣B）＝﹣cosC，
当cosC＝0，由0＜C＜π，可得，即△ABC为直角三角形，
当cos（A﹣B）＝﹣cosC，即cos（A﹣B）＝cos（A+B），
即cosAcosB+sinAsinB＝cosAcosB﹣sinAsinB，可得2sinAsinB＝0，
因为0＜A，B＜π，所以2sinAsinB＞0，不符合题意（舍去），
可得sinB＝cosA，
由（2）知，
设，
则2sinAcosA＝t2﹣1，
因为，可得，可得，
所以在区间为单调递减函数，
可得，
且当t→1时，g（t）→+∞，
所以f的最小值为，无最大值．
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