【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 318.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 14:17:51 | ||
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文档简介
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【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 赣州校级期中）在等差数列{an}中，Sn是其前n项和．若S5＝20，S10＝90，则公差d＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
2．（2025春 辽宁期中）等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，则（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4或4 D．
3．（2025春 北碚区校级期中）已知等差数列，则“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025春 德州期中）在等比数列{an}中，a1＝1024，q，记Tn＝a1a2…an（n∈N*），则Tn的最大值为（ ）
A．251 B．253 C．255 D．257
5．（2025春 德州期中）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，则a2025＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
7．（2025 雨湖区校级模拟）已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an+1＝2an，bn+1＝2bn﹣an，若am＝bm，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025春 沙河口区校级期中）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，a10＞10 B．当时，a10＞10
C．当b＝﹣1时，a10＞10 D．当b＝1时，a10＞10
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 柳州月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，则（ ）
A．a1＝2 B．公比为2 C．a2＝8 D．a3＝8
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列单调递减 D．
（多选）11．（2025 牡丹江校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．若数列{an}为正项等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列
B．若数列{an}为等差数列，则为等比数列
C．数列{an}满足：，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则Tn＝2n+1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 四川校级期中）数列{an}中，若，则数列{an}的通项公式为 ．
13．（2025春 大连期中）设3n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+ +a25＝ ．
14．（2025春 浦东新区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝0且满足|an|＝|an﹣1+1|（n≥2，n∈N），则|S26|所有可能的取值个数为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 山西月考）已知数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，且{bn}为递增数列，求实数t的取值范围．
16．（2025春 广西期中）设{an}是公比不为1的等比数列，a3＝4，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的公比；
（2）求数列{3n+an}的前n项和．
17．（2025春 德州期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．（2025春 安徽期中）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设，若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围．
19．（2025 临潼区二模）已知数列{an}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．
【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C D D B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 赣州校级期中）在等差数列{an}中，Sn是其前n项和．若S5＝20，S10＝90，则公差d＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
【解答】解：∵在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，
S5＝20，S10＝90，
∴S5＝5a1+10d＝20，S10＝10a1+45d＝90，
解得公差d＝2．
故选：A．
2．（2025春 辽宁期中）等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，则（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4或4 D．
【解答】解：等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，
所以0，a2+a8＝9＞0，所以，
所以．
故选：C．
3．（2025春 北碚区校级期中）已知等差数列，则“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：等差数列，
设等差数列的公差为d，则ap＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，an＝a1+（n﹣1）d，
因为2p＝m+n，2ap＝2a1+2（p﹣1）d，am+an＝2a1+（m+n﹣2）d，
则2ap﹣（am+an）＝2a1+2（p﹣1）d﹣2a1﹣（m+n﹣2）d＝（2p﹣m﹣n）d＝0，
则由2p＝m+n可以推出2ap＝am+an，充分性成立；
当d＝0时，ap＝am＝an＝a1，2ap＝am+an恒成立，则由2ap＝am+an不能推出2p＝m+n，必要性不成立；
所以“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（2025春 德州期中）在等比数列{an}中，a1＝1024，q，记Tn＝a1a2…an（n∈N*），则Tn的最大值为（ ）
A．251 B．253 C．255 D．257
【解答】解：根据题意，在等比数列{an}中，a1＝1024，q，则an＝a1qn﹣1＝1024×（）n﹣1，
当1≤n＜10时，an＞1，
当n＝11时，an＝1，
当n≥12时，an＜1，
故当n＝10或11时，Tn取得最大值，且其最大值T11＝a1a2…a11＝（a1a11）5×a6＝255．
故选：C．
5．（2025春 德州期中）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，则a2025＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，
则数列{an+1﹣an}的首项为a2﹣a1＝1，
由等比数列的通项公式，可得，
则an＝a1+（a2﹣a1）+...+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣an﹣1）
，
故．
故选：D．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，
∴，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），整理得：d＝1（d≠0）．
∴a2023＝1+2022×1＝2023，故A错误；
，，，故B错误；
，则，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
7．（2025 雨湖区校级模拟）已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an+1＝2an，bn+1＝2bn﹣an，若am＝bm，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：在数列{an}中，由a1＝2，an+1＝2an，得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，；
bn+1＝2bn﹣an＝2bn﹣2n，两边同时除以2n+1，可得，
因此数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即有bn＝（7﹣n） 2n﹣1，
由am＝bm，得2m＝（7﹣m） 2m﹣1，
所以m＝5．
故选：B．
8．（2025春 沙河口区校级期中）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，a10＞10 B．当时，a10＞10
C．当b＝﹣1时，a10＞10 D．当b＝1时，a10＞10
【解答】解：当b，即有an+1，
若a1＝a，则a2＝（）2，
可得a1010，故A错误；
当b，即有an+1，
若a1＝a，则a2＝（）2，
可得a1010，故B错误；
当b＝﹣1，即有an+11，
若a1＝a，则a2＝（）2﹣1，
可得a1010，故C错误；
由排除法，可得选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 柳州月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，则（ ）
A．a1＝2 B．公比为2 C．a2＝8 D．a3＝8
【解答】解：根据题意，设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
由于其前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，
则有
因为a1≠0，由，得q3＝3q+2，
即（q+1）2（q﹣2）＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去）．
所以a1＝2，故a2＝a1q＝4，．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列单调递减 D．
【解答】解：对于A，因为，当n＝1时，，
又因为数列{an}为正项数列，解答＝得a1＝3，
因为，则令n＝1，得，故A错误；
对于B，因为a1＝3，所以，则，
当n≥2时，，
整理得：an＝3an﹣1，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，故B正确；
对于C，令，则，
由3n﹣（n+1）＝2n﹣1＞0，所以，即cn+1＜cn，
则数列单调递减，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为函数在R上单调递减，
所以数列{bn}单调递增，则，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 牡丹江校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．若数列{an}为正项等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列
B．若数列{an}为等差数列，则为等比数列
C．数列{an}满足：，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则Tn＝2n+1
【解答】解：对于A，当q＝1时，S4＝4a1，S8﹣S4＝8a1﹣4a1＝4a1，S12﹣S8＝12a1﹣8a1＝4a1，
显然S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 是以4a1为首项，以1为公比的等比数列；
当q≠1时，S8﹣S4＝S4q4，S12﹣S8＝S4q8
所以，，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列，公比为q4，故选项A正确；
对于B，设等差数列{an}公差为d，则an+1﹣an＝d，
所以为常数，所以为等比数列，故B正确；
对于C，显然a1＝2不满足，故C错误；
对于D，，当n＝1时，a1＝T1，即，解得T1＝3，
当n≥2时，，于是，即Tn﹣Tn﹣1＝2，
数列{Tn}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以Tn＝3+2（n﹣1）＝2n+1，且T1＝3也满足，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 四川校级期中）数列{an}中，若，则数列{an}的通项公式为 an ．
【解答】解：因为，所以，
则an＝a1 ... 2 ... ，
上式对n＝1也成立，
所以．
故答案为：．
13．（2025春 大连期中）设3n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+ +a25＝ 123 ．
【解答】解：根据题意，3n（n∈N*）的个位数为an，则a1＝3，a2＝9，a3＝7，a4＝1，
a5＝3，a6＝9，a7＝7，a8＝1，
……
归纳可得：an+4＝an，
故a1+a2+ +a25＝（a1+a2+a3+a4）×6+a1＝123．
故答案为：123．
14．（2025春 浦东新区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝0且满足|an|＝|an﹣1+1|（n≥2，n∈N），则|S26|所有可能的取值个数为 13 ．
【解答】解：已知|an|＝|an﹣1+1|两边同时平方可得．
通过累加法得到Sn的表达式：
当n≥2时：
，
，
…
，
将以上n﹣1个式子累加可得：
，
当n＝27时，
，而，
所以有
由于{an}数列一奇一偶，a27为偶数，
且|an+1|＝|an+1|≤|an|+1，
因此|a27|≤26，
所以符合条件的a27共有0，2，4，6，…，26共28种可能值，
但注意到其中，
因此|S26|的可能值共13个．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 山西月考）已知数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，且{bn}为递增数列，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an，
得log3an+1﹣log3an＝1，所以，
所以，
所以{an}是首项和公比均为3的等比数列，由等比数列的通项公式可得．
（2）由（1）知，所以，因为{bn}为递增数列，
所以恒成立，
所以，可得t＜（32n+1）min，
因为{32n+1}为递增数列，所以（32n+1）min＝27，
所以t＜27，即实数t的取值范围为（﹣∞，27）．
16．（2025春 广西期中）设{an}是公比不为1的等比数列，a3＝4，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的公比；
（2）求数列{3n+an}的前n项和．
【解答】解：（1）设公比为q，由已知，a2+a3＝2a1，即a1q+a1q2＝2a1，
所以q2+q﹣2＝0，因为q≠1，所以q＝﹣2；
（2）由（1），q＝﹣2，又a3＝a1q2＝4，所以a1＝1，an＝（﹣2）n﹣1，
所以3n+an＝3n+（﹣2）n﹣1，
{3n+an}的前n项和Sn
．
17．（2025春 德州期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10，
所以，解得，
所以an＝n；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
①﹣②得
＝2（2n﹣1）﹣n 2n+1＝（1﹣n） 2n+1﹣2，
所以．
18．（2025春 安徽期中）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设，若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由条件可知，a1＝2，a2＝3a1+1＝7，
当n为偶数时，an+1＝2an﹣1，所以数列{an}的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以；
（Ⅱ）当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
所以；
（Ⅲ），
所以当n为奇数时，数列{bn}单调递减，当n为偶数时，数列{bn}单调递减，
，
若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，则，即实数λ的取值范围是（，]．
19．（2025 临潼区二模）已知数列{an}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）已知，①
当n＝1时，a1＝3×1＝3，
当n≥2时，有，，②
①﹣②得：，则an＝3n．
验证a1＝3适合上式．
则数列{an}的通项公式为：an＝3n；
证明：（Ⅱ）∵，an＝3n，
∴，
则，
，
两式相减得
，
则．
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【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 赣州校级期中）在等差数列{an}中，Sn是其前n项和．若S5＝20，S10＝90，则公差d＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
2．（2025春 辽宁期中）等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，则（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4或4 D．
3．（2025春 北碚区校级期中）已知等差数列，则“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025春 德州期中）在等比数列{an}中，a1＝1024，q，记Tn＝a1a2…an（n∈N*），则Tn的最大值为（ ）
A．251 B．253 C．255 D．257
5．（2025春 德州期中）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，则a2025＝（ ）
A． B． C． D．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
7．（2025 雨湖区校级模拟）已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an+1＝2an，bn+1＝2bn﹣an，若am＝bm，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025春 沙河口区校级期中）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，a10＞10 B．当时，a10＞10
C．当b＝﹣1时，a10＞10 D．当b＝1时，a10＞10
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 柳州月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，则（ ）
A．a1＝2 B．公比为2 C．a2＝8 D．a3＝8
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列单调递减 D．
（多选）11．（2025 牡丹江校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．若数列{an}为正项等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列
B．若数列{an}为等差数列，则为等比数列
C．数列{an}满足：，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则Tn＝2n+1
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 四川校级期中）数列{an}中，若，则数列{an}的通项公式为 ．
13．（2025春 大连期中）设3n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+ +a25＝ ．
14．（2025春 浦东新区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝0且满足|an|＝|an﹣1+1|（n≥2，n∈N），则|S26|所有可能的取值个数为 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 山西月考）已知数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，且{bn}为递增数列，求实数t的取值范围．
16．（2025春 广西期中）设{an}是公比不为1的等比数列，a3＝4，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的公比；
（2）求数列{3n+an}的前n项和．
17．（2025春 德州期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．（2025春 安徽期中）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设，若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围．
19．（2025 临潼区二模）已知数列{an}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．
【期末章节复习】数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C D D B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 赣州校级期中）在等差数列{an}中，Sn是其前n项和．若S5＝20，S10＝90，则公差d＝（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
【解答】解：∵在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，
S5＝20，S10＝90，
∴S5＝5a1+10d＝20，S10＝10a1+45d＝90，
解得公差d＝2．
故选：A．
2．（2025春 辽宁期中）等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，则（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣4或4 D．
【解答】解：等比数列{an}中，a2，a8是方程x2﹣9x+16＝0的两个根，
所以0，a2+a8＝9＞0，所以，
所以．
故选：C．
3．（2025春 北碚区校级期中）已知等差数列，则“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：等差数列，
设等差数列的公差为d，则ap＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，an＝a1+（n﹣1）d，
因为2p＝m+n，2ap＝2a1+2（p﹣1）d，am+an＝2a1+（m+n﹣2）d，
则2ap﹣（am+an）＝2a1+2（p﹣1）d﹣2a1﹣（m+n﹣2）d＝（2p﹣m﹣n）d＝0，
则由2p＝m+n可以推出2ap＝am+an，充分性成立；
当d＝0时，ap＝am＝an＝a1，2ap＝am+an恒成立，则由2ap＝am+an不能推出2p＝m+n，必要性不成立；
所以“2p＝m+n”是“2ap＝am+an”的充分不必要条件．
故选：A．
4．（2025春 德州期中）在等比数列{an}中，a1＝1024，q，记Tn＝a1a2…an（n∈N*），则Tn的最大值为（ ）
A．251 B．253 C．255 D．257
【解答】解：根据题意，在等比数列{an}中，a1＝1024，q，则an＝a1qn﹣1＝1024×（）n﹣1，
当1≤n＜10时，an＞1，
当n＝11时，an＝1，
当n≥12时，an＜1，
故当n＝10或11时，Tn取得最大值，且其最大值T11＝a1a2…a11＝（a1a11）5×a6＝255．
故选：C．
5．（2025春 德州期中）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，则a2025＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝0，a2＝1，若数列{an+1﹣an}是公比为3的等比数列，
则数列{an+1﹣an}的首项为a2﹣a1＝1，
由等比数列的通项公式，可得，
则an＝a1+（a2﹣a1）+...+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣an﹣1）
，
故．
故选：D．
6．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．a2023＝4045 B．
C． D．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），已知a1＝1且a2，a4，a8成等比数列，
∴，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），整理得：d＝1（d≠0）．
∴a2023＝1+2022×1＝2023，故A错误；
，，，故B错误；
，则，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
7．（2025 雨湖区校级模拟）已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an+1＝2an，bn+1＝2bn﹣an，若am＝bm，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：在数列{an}中，由a1＝2，an+1＝2an，得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，；
bn+1＝2bn﹣an＝2bn﹣2n，两边同时除以2n+1，可得，
因此数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即有bn＝（7﹣n） 2n﹣1，
由am＝bm，得2m＝（7﹣m） 2m﹣1，
所以m＝5．
故选：B．
8．（2025春 沙河口区校级期中）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，a10＞10 B．当时，a10＞10
C．当b＝﹣1时，a10＞10 D．当b＝1时，a10＞10
【解答】解：当b，即有an+1，
若a1＝a，则a2＝（）2，
可得a1010，故A错误；
当b，即有an+1，
若a1＝a，则a2＝（）2，
可得a1010，故B错误；
当b＝﹣1，即有an+11，
若a1＝a，则a2＝（）2﹣1，
可得a1010，故C错误；
由排除法，可得选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 柳州月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，则（ ）
A．a1＝2 B．公比为2 C．a2＝8 D．a3＝8
【解答】解：根据题意，设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
由于其前4项和为30，且a4＝3a2+2a1，
则有
因为a1≠0，由，得q3＝3q+2，
即（q+1）2（q﹣2）＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去）．
所以a1＝2，故a2＝a1q＝4，．
故选：ABD．
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列单调递减 D．
【解答】解：对于A，因为，当n＝1时，，
又因为数列{an}为正项数列，解答＝得a1＝3，
因为，则令n＝1，得，故A错误；
对于B，因为a1＝3，所以，则，
当n≥2时，，
整理得：an＝3an﹣1，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，故B正确；
对于C，令，则，
由3n﹣（n+1）＝2n﹣1＞0，所以，即cn+1＜cn，
则数列单调递减，故C正确；
对于D，因为，所以，
因为函数在R上单调递减，
所以数列{bn}单调递增，则，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 牡丹江校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．若数列{an}为正项等比数列，Sn为其前n项和，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列
B．若数列{an}为等差数列，则为等比数列
C．数列{an}满足：，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则Tn＝2n+1
【解答】解：对于A，当q＝1时，S4＝4a1，S8﹣S4＝8a1﹣4a1＝4a1，S12﹣S8＝12a1﹣8a1＝4a1，
显然S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 是以4a1为首项，以1为公比的等比数列；
当q≠1时，S8﹣S4＝S4q4，S12﹣S8＝S4q8
所以，，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8， 成等比数列，公比为q4，故选项A正确；
对于B，设等差数列{an}公差为d，则an+1﹣an＝d，
所以为常数，所以为等比数列，故B正确；
对于C，显然a1＝2不满足，故C错误；
对于D，，当n＝1时，a1＝T1，即，解得T1＝3，
当n≥2时，，于是，即Tn﹣Tn﹣1＝2，
数列{Tn}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以Tn＝3+2（n﹣1）＝2n+1，且T1＝3也满足，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 四川校级期中）数列{an}中，若，则数列{an}的通项公式为 an ．
【解答】解：因为，所以，
则an＝a1 ... 2 ... ，
上式对n＝1也成立，
所以．
故答案为：．
13．（2025春 大连期中）设3n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+ +a25＝ 123 ．
【解答】解：根据题意，3n（n∈N*）的个位数为an，则a1＝3，a2＝9，a3＝7，a4＝1，
a5＝3，a6＝9，a7＝7，a8＝1，
……
归纳可得：an+4＝an，
故a1+a2+ +a25＝（a1+a2+a3+a4）×6+a1＝123．
故答案为：123．
14．（2025春 浦东新区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝0且满足|an|＝|an﹣1+1|（n≥2，n∈N），则|S26|所有可能的取值个数为 13 ．
【解答】解：已知|an|＝|an﹣1+1|两边同时平方可得．
通过累加法得到Sn的表达式：
当n≥2时：
，
，
…
，
将以上n﹣1个式子累加可得：
，
当n＝27时，
，而，
所以有
由于{an}数列一奇一偶，a27为偶数，
且|an+1|＝|an+1|≤|an|+1，
因此|a27|≤26，
所以符合条件的a27共有0，2，4，6，…，26共28种可能值，
但注意到其中，
因此|S26|的可能值共13个．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 山西月考）已知数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，且{bn}为递增数列，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由数列{an}满足a1＝3，且log3an+1＝1+log3an，
得log3an+1﹣log3an＝1，所以，
所以，
所以{an}是首项和公比均为3的等比数列，由等比数列的通项公式可得．
（2）由（1）知，所以，因为{bn}为递增数列，
所以恒成立，
所以，可得t＜（32n+1）min，
因为{32n+1}为递增数列，所以（32n+1）min＝27，
所以t＜27，即实数t的取值范围为（﹣∞，27）．
16．（2025春 广西期中）设{an}是公比不为1的等比数列，a3＝4，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的公比；
（2）求数列{3n+an}的前n项和．
【解答】解：（1）设公比为q，由已知，a2+a3＝2a1，即a1q+a1q2＝2a1，
所以q2+q﹣2＝0，因为q≠1，所以q＝﹣2；
（2）由（1），q＝﹣2，又a3＝a1q2＝4，所以a1＝1，an＝（﹣2）n﹣1，
所以3n+an＝3n+（﹣2）n﹣1，
{3n+an}的前n项和Sn
．
17．（2025春 德州期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn＝an bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝3，S4＝10，
所以，解得，
所以an＝n；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
①﹣②得
＝2（2n﹣1）﹣n 2n+1＝（1﹣n） 2n+1﹣2，
所以．
18．（2025春 安徽期中）在数列{an}中，已知a1＝2，且当n为奇数时，an+1＝3an+1；当n为偶数时，an+1＝2an﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设，若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由条件可知，a1＝2，a2＝3a1+1＝7，
当n为偶数时，an+1＝2an﹣1，所以数列{an}的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以n为奇数时，，
当n为偶数时，，
所以；
（Ⅱ）当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
所以；
（Ⅲ），
所以当n为奇数时，数列{bn}单调递减，当n为偶数时，数列{bn}单调递减，
，
若集合M＝{n|bn≥λ}中恰好有3个元素，则，即实数λ的取值范围是（，]．
19．（2025 临潼区二模）已知数列{an}满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，记数列{bn}的前n项和为Sn，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）已知，①
当n＝1时，a1＝3×1＝3，
当n≥2时，有，，②
①﹣②得：，则an＝3n．
验证a1＝3适合上式．
则数列{an}的通项公式为：an＝3n；
证明：（Ⅱ）∵，an＝3n，
∴，
则，
，
两式相减得
，
则．
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