【期末重点专题】导数的运算-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册(含解析)

文档属性

名称 【期末重点专题】导数的运算-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册(含解析)
格式 docx
文件大小 305.5KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-20 14:18:46

图片预览

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【期末重点专题】导数的运算-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册
一.选择题(共8小题)
1.(2025春 海安市校级月考)函数在x=1处的导数为(  )
A. B.2 C. D.
2.(2025春 河南月考)若曲线y=mex与y=lnx有且仅有一条斜率为1的公切线,则实数m=(  )
A. B. C. D.
3.(2025春 张家口月考)函数的导数y′=(  )
A. B.x C. D.
4.(2025春 南阳月考)曲线在x=0处的切线方程为(  )
A.y=2x+2 B.y=2x﹣2 C.y=﹣2x﹣2 D.y=﹣2x+2
5.(2025春 湖北月考)已知曲线y=x2与y=e2x+a恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围(  )
A.(﹣2,+∞) B.[﹣2,+∞) C.(﹣∞,﹣2] D.(﹣∞,﹣2)
6.(2025春 东莞市期中)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x+y+2=0,则(  )
A.a=1,b=2 B.a=1,b=﹣2 C.a=﹣1,b=2 D.a=﹣1,b=﹣2
7.(2025春 朝阳区校级期中)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线0)在点P处的切线垂直,则P的坐标为(  )
A.(1,e) B.(1,1) C.(0,1) D.(﹣1,﹣1)
8.(2025春 河北期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(3﹣x)﹣f(x﹣1)=0,当x∈[1,2]时,f(x)=2x﹣4,则(  )
A.﹣2 B. C.﹣4 D.
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2025春 抚顺月考)下列求导运算中,不正确的是(  )
A.(sin2x)′=cos2x B.(2x)′=2x
C.(xex)′=(x+1)ex D.
(多选)10.(2025春 重庆月考)已知函数f(x)=4x+ax2,若曲线y=f(x)过点P(1,1)的切线有两条,则实数a的值不可能为(  )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.1
(多选)11.(2025春 深圳校级月考)下列结论正确的有(  )
A.若y=2x3+3x2﹣x+1,则y′=6x2+6x﹣1
B.若,则
C.若y=ln(2x+1),则
D.若,则
三.填空题(共3小题)
12.(2025春 从化区校级期中)已知函数f(x)=ex ln(2x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为     .
13.(2025 东莞市校级模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ln(e2x)的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则k=     .
14.(2025 湖北模拟)已知偶函数f(x)=(x+1)(x+a),a∈R,则y=f(x)在x=1处的切线方程为     .
四.解答题(共5小题)
15.(2025春 河南月考)求下列函数的导数:
(1)y=x2025﹣log2025x;
(2)y=sin2x+3x;
(3).
16.(2025春 四川校级月考)已知函数f(x)=x2.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点(2,0)的切线方程.
17.(2025春 抚顺月考)已知f′(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)=2lnx+f′(1)x2+2f(1).
(1)求f(1);
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
18.(2025春 杭州月考)已知函数f(x)=ex﹣ln(x+m),m≥0.
(1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积;
(2)当m≤2时,求证f(x)>0;
(3)当x>0时,关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
19.(2025春 如皋市期中)已知函数f(x)=2x3﹣3ax2,g(x)=x2+7x+6.
(1)若函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,解关于x的不等式f(2x﹣1)+f(x﹣1)≤0;
(2)若函数f(x)的图象关于点(1,f(1))对称,求a的值;
(3)若曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,求a的值.
【期末重点专题】导数的运算-2024-2025学年高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B D D B B
二.多选题(共3小题)
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
一.选择题(共8小题)
1.(2025春 海安市校级月考)函数在x=1处的导数为(  )
A. B.2 C. D.
【解答】解:f(x),
则f'(x),
故f'(1).
故选:C.
2.(2025春 河南月考)若曲线y=mex与y=lnx有且仅有一条斜率为1的公切线,则实数m=(  )
A. B. C. D.
【解答】解:因为y=mex与y=lnx的导数分别为y′=mex与y′,
设公切线与y=mex,y=lnx的切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),
则以,所以x2=1,
又y2=lnx2=ln1=0,即B(1,0),所以切线方程为y=x﹣1;
所以,解得x1=﹣lnm,
又,即A(﹣lnm,1),
因为点A(﹣lnm,1)也在切线y=x﹣1上,
所以1=﹣lnm﹣1,解得.
故选:B.
3.(2025春 张家口月考)函数的导数y′=(  )
A. B.x C. D.
【解答】解:因为,
所以.
故选:A.
4.(2025春 南阳月考)曲线在x=0处的切线方程为(  )
A.y=2x+2 B.y=2x﹣2 C.y=﹣2x﹣2 D.y=﹣2x+2
【解答】解:因为,所以,
所以f(0)=﹣2,f′(0)=2,
所以所求切线方程为y﹣(﹣2)=2(x﹣0),即y=2x﹣2.
故选:B.
5.(2025春 湖北月考)已知曲线y=x2与y=e2x+a恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围(  )
A.(﹣2,+∞) B.[﹣2,+∞) C.(﹣∞,﹣2] D.(﹣∞,﹣2)
【解答】解:因为y=x2y=e2x+a的导数分别为y′=2x于y′=2e2x+a,
设曲线y=x2与y=e2x+a的公切线与曲线切点分别为(m,m2),(s,e2s+a),
则有公共切线斜率为,
又t=s2,n=e2m+a,即有,即为,即有,
则有e2m+a=s,即为a=lns﹣s﹣1(s>0),恰好存在两条公切线,即s有两解,
令f(x)=lnx﹣x﹣1(x>0),则,
当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)递增,
即有x=1处f(x)取得极大值,也为最大值,且为ln1﹣2=﹣2,
由恰好存在两条公切线可得y=a与y=f(x) 有两个交点,
可得a的范围是a<﹣2.
故选:D.
6.(2025春 东莞市期中)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x+y+2=0,则(  )
A.a=1,b=2 B.a=1,b=﹣2 C.a=﹣1,b=2 D.a=﹣1,b=﹣2
【解答】解:因为y'=2x+a,切点为(0,b),
所以切线的斜率为k=y'|x=0=a,则切线方程为y﹣b=ax,即y=ax+b,
又切线方程为x+y+2=0,即y=﹣x﹣2,
所以a=﹣1,b=﹣2.
故选:D.
7.(2025春 朝阳区校级期中)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线0)在点P处的切线垂直,则P的坐标为(  )
A.(1,e) B.(1,1) C.(0,1) D.(﹣1,﹣1)
【解答】解:因为y=ex的导数为y′=ex,
所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,
因为0)的导数为y′,设P(t,),t>0,
则曲线0)在点P处的切线的斜率为1,解得t=1,
所以P为(1,1).
故选:B.
8.(2025春 河北期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(3﹣x)﹣f(x﹣1)=0,当x∈[1,2]时,f(x)=2x﹣4,则(  )
A.﹣2 B. C.﹣4 D.
【解答】解:因f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x),
由f(3﹣x)﹣f(x﹣1)=0可得f(x)=f(2﹣x)=﹣f(x﹣2),即f(x+2)=﹣f(x),
则得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),故4是函数f(x)的一个周期.
因当x∈[1,2]时,f(x)=2x﹣4,f′(x)=2xln2,则,
又f(19)=f(﹣1)=﹣f(1)=2,
于是,.
故选:B.
二.多选题(共3小题)
(多选)9.(2025春 抚顺月考)下列求导运算中,不正确的是(  )
A.(sin2x)′=cos2x B.(2x)′=2x
C.(xex)′=(x+1)ex D.
【解答】解:对于A,(sin2x)′=2cos2x,故A错误;
对于B,(2x)′=2xln2,故B错误;
对于C,(xex)′=(x)′ex+x(ex)′=(x+1)ex,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选:ABD.
(多选)10.(2025春 重庆月考)已知函数f(x)=4x+ax2,若曲线y=f(x)过点P(1,1)的切线有两条,则实数a的值不可能为(  )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.1
【解答】解:因为f(x)=4x+ax2,所以f′(x)=4+2ax,
设过点P(1,1)的切线切曲线于点(t,4t+at2),
则切线方程为y﹣(4t+at2)=(4+2at)(x﹣t),其过P(1,1),
所以1﹣(4t+at2)=(4+2at)(1﹣t),所以关于t的方程有2解,
即at2﹣2at﹣3=0有2解,
所以,解得a<﹣3或a>0.
故选:BC.
(多选)11.(2025春 深圳校级月考)下列结论正确的有(  )
A.若y=2x3+3x2﹣x+1,则y′=6x2+6x﹣1
B.若,则
C.若y=ln(2x+1),则
D.若,则
【解答】解:对于A,若y=2x3+3x2﹣x+1,则y′=6x2+6x﹣1,A正确;
对于B,若,则y′=0,B错误;
对于C,若y=ln(2x+1),根据复合函数求导法则可得,,C正确;
对于D,若,则,D正确.
故选:ACD.
三.填空题(共3小题)
12.(2025春 从化区校级期中)已知函数f(x)=ex ln(2x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为  e(1+ln2)  .
【解答】解:,
所以f′(1)=e(1+ln2).
故答案为:e(1+ln2).
13.(2025 东莞市校级模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ln(e2x)的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则k=  2  .
【解答】解:因为y=ln(e2x)与y=ln(x+1)的导数分别为,,
设直线y=kx+b分别与曲线y=ln(e2x)=2+lnx,y=ln(x+1)切于(x0,y0),(x1,y1),
则,所以,
所以,
故答案为:2.
14.(2025 湖北模拟)已知偶函数f(x)=(x+1)(x+a),a∈R,则y=f(x)在x=1处的切线方程为  2x﹣y﹣2=0  .
【解答】解:因为f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,
则f(﹣x)﹣f(x)=0恒成立,
即(﹣x+1)(﹣x+a)﹣(x+1)(x+a)=﹣2(a+1)x=0恒成立,
所以a=﹣1,
所以f(x)=x2﹣1,所以f′(x)=2x,
所以f(1)=0,f′(1)=2,
所以f(x)在x=1处的切线方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.
故答案为:2x﹣y﹣2=0.
四.解答题(共5小题)
15.(2025春 河南月考)求下列函数的导数:
(1)y=x2025﹣log2025x;
(2)y=sin2x+3x;
(3).
【解答】解:(1)函数定义域为x∈(0,+∞),根据求导法则及复合函数求导规则,

(2)函数定义域为x∈R,根据求导法则及复合函数求导规则,
y′=(sin2x+3x)′=(sin2x)′+(3x)′=cos2x (2x)′+3xln3=2cos2x+3xln3.
(3)函数定义域为x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),根据求导法则及复合函数求导规则,

16.(2025春 四川校级月考)已知函数f(x)=x2.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点(2,0)的切线方程.
【解答】解:(1)函数f(x)=x2,得f′(x)=2x,
则f′(2)=4,又f(2)=22=4,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y﹣4=4(x﹣2),即y=4x﹣4;
(2)设所求切线的切点为,切线斜率为f′(x0)=2x0,
则曲线在切点处的切线方程为,
把点(2,0)代入,可得,解得x0=0或x0=4,
当x0=0时,所求切线方程为y=0;
当x0=4时,所求切线方程为y﹣16=8(x﹣4),即y=8x﹣16.
故满足题意的切线方程为y=0或y=8x﹣16.
17.(2025春 抚顺月考)已知f′(x)是函数f(x)的导函数,且f(x)=2lnx+f′(1)x2+2f(1).
(1)求f(1);
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【解答】解:(1)因为f(x)=2lnx+f′(1)x2+2f(1),所以,
所以f′(1)=2+3f′(1),解得f′(1)=﹣1,
又f(1)=2ln1﹣1+2f(1),所以f(1)=1;
(2)由(1)可知f(1)=1,f′(1)=﹣1,
则所求的切线方程为y﹣1=﹣1(x﹣1),即x+y﹣2=0,
所以该切线与坐标轴的交点为(0,2)和(2,0),
则所求三角形的面积为.
18.(2025春 杭州月考)已知函数f(x)=ex﹣ln(x+m),m≥0.
(1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积;
(2)当m≤2时,求证f(x)>0;
(3)当x>0时,关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)当m=0时,f(x)=ex﹣lnx,,
所以f(1)=e,f′(1)=e﹣1,
所以切线为y﹣e=(e﹣1)(x﹣1),
所以切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)和,
所以所求为;
(2)当m≤2,又m≥0,
所以f(x)=ex﹣ln(x+m)≥ex﹣ln(x+2),
所以只需证ex﹣ln(x+2)≥0,即证ex≥ln(x+2),
下证ex≥x+1:
设u(x)=ex﹣x﹣1,u′(x)=ex﹣1,
u′(x)>0 x>0,u′(x)<0 x<0,
所以u(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以u(x)≥u(0)=0,
所以ex≥x+1成立,
两边取对数得lnex≥ln(x+1),即x≥ln(x+1),
所以ln(x+2)≤x+1,
所以ex≥x+1≥ln(x+2),又x=0时,ex=x+1,x=﹣1时,x+1=ln(x+2),
所以ex≥ln(x+2)得证;
(3)①当m>e时,f(0)=1﹣lnm<1﹣1=0不成立;
②当m≤e时,f(x)≥ex﹣ln(x+e),
记h(x)=ex﹣ln(x+e),x∈[0,+∞),
则,
h′(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以,
即h(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=1﹣1=0,
所以f(x)≥h(x)≥0成立,
综上可得0≤m≤e.
19.(2025春 如皋市期中)已知函数f(x)=2x3﹣3ax2,g(x)=x2+7x+6.
(1)若函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,解关于x的不等式f(2x﹣1)+f(x﹣1)≤0;
(2)若函数f(x)的图象关于点(1,f(1))对称,求a的值;
(3)若曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,求a的值.
【解答】解:(1)若函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,所以a=0,
所以f(x)=2x3,在(﹣1,1)上单调递增,
所以x的不等式f(2x﹣1)+f(x﹣1)≤0可化为:
f(2x﹣1)≤f(1﹣x),
所以,解得,
所以所求不等式的解集为(0,];
(2)因为f(x)=2x3﹣3ax2,所以f′(x)=6x2﹣6ax,f″(x)=12x﹣6a,
若函数f(x)的图象关于点(1,f(1))对称,
则f″(1)=12﹣6a=0,所以a=2;
(3)因为f(x)=2x3﹣3ax2,g(x)=x2+7x+6,
所以f′(x)=6x2﹣6ax,g′(x)=2x+7,
若曲线y=f(x)在点(﹣1,﹣2﹣3a)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,
则切线方程为y+2+3a=(6+6a)(x+1),即y=(6+6a)x+3a+4,
所以y=(6+6a)x+3a+4是y=g(x)的切线,
联立y=(6+6a)x+3a+4与y=x2+7x+6,
可得x2+(1﹣6a)x+2﹣3a=0,
所以Δ=(1﹣6a)2﹣4(2﹣3a)=0,解得a.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)