【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 316.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 14:33:04 | ||
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文档简介
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【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南二模）已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，则a5＝（ ）
A．77 B．153 C．161 D．238
2．（2025春 河南月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第n﹣1圈多种2（n﹣1）（2≤n≤8，n∈N*）株，则第8圈栽种花卉（ ）
A．57株 B．56株 C．55株 D．54株
3．（2025春 湖北月考）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
4．（2025春 龙岗区校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，a3+2a4＝19，数列{bn}的通项．将数列{an}和数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为（ ）
A．251﹣3 B．251﹣52 C．250﹣51 D．250﹣1
5．（2025春 南阳月考）设两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则a4b4＝（ ）
A．18 B．162 C．54 D．81
6．（2025春 抚顺月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（ ）
A．128 B．64 C．16 D．8
7．（2025春 朝阳区校级期中）已知等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，则数列{an}的公比的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣1 D．2
8．（2025春 贵港月考）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：ad﹣bc，已知Sn等比数列{an}的前n项和，若0，a1＝1，q≠l，则S6＝（ ）
A．6 B．10 C．63 D．64
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 许昌期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a3＝﹣4 B．S5＝﹣64
C．{an}是等比数列 D．{Sn﹣1}是等比数列
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，且，则（ ）
A．a1＝2 B．{an}是递增数列
C．是递增数列 D．
（多选）11．（2025春 抚顺月考）已知Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n}是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，则λ的取值范围为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）已知等比数列{an}中，a5＝27，a2＝1，则这个数列的公比q＝ ．
13．（2025春 青浦区期末）在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），则a2025＝ ．
14．（2025春 泸州月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 ．（参考数据：1.310≈13.79）
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝3an+2n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
16．（2025春 庐山市 月考）已知数列{an}满足a1＝1，记bn＝a2n．
（1）证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求{bn}的通项公式．
（3）求{an}的前20项和．
17．（2025春 广东月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，，，…，，…成等比数列，求{bn}的前n项和Tn．
18．（2025春 惠州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
19．（2025春 南阳月考）已知数列{an}的首项为3，且满足，令cn＝an﹣1．
（1）证明：{cn}是等比数列，并求{cn}的通项公式；
（2）若bn＝|cn﹣13|，求{bn}的前n项和Tn；
（3）在cn与cn+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在互不相同的3项dm，dk，，且m+p＝2k）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B C B A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD AB ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南二模）已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，则a5＝（ ）
A．77 B．153 C．161 D．238
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，
则a5＝S5﹣S4＝（243﹣5）﹣（81﹣4）＝238﹣77＝161．
故选：C．
2．（2025春 河南月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第n﹣1圈多种2（n﹣1）（2≤n≤8，n∈N*）株，则第8圈栽种花卉（ ）
A．57株 B．56株 C．55株 D．54株
【解答】解：设第n圈栽种花卉an株，由题可得an﹣an﹣1＝2（n﹣1），（2≤n≤8，n∈N*），
又因为a1＝1，a2＝3，
所以a2﹣a1＝2， ，a6﹣a5＝10，a7﹣a6＝12，a8﹣a7＝14，
所以a8＝（a8﹣a7）+（a7﹣a6）+（a6﹣a5）+ +（a2﹣a1）+a1
＝14+12+10+ +2+1．
故选：A．
3．（2025春 湖北月考）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【解答】解：因为数列{an}满足a1＝10，，即an+1﹣an＝2（n+1），
当n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝10+4+6+...+2n
＝8+2nn（n﹣1）×2＝n2+n+8（符合首项），
故对任意的n∈N*，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，
又因为，
因为，，故，
所以的最小值为．
故选：B．
4．（2025春 龙岗区校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，a3+2a4＝19，数列{bn}的通项．将数列{an}和数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为（ ）
A．251﹣3 B．251﹣52 C．250﹣51 D．250﹣1
【解答】解：由S5＝25，a3+2a4＝19，可得，解得，故an＝2n﹣1，
由于2n﹣1均为奇数，且数列{an}包含所有整奇数，故公共项即为{bn}本身，即cn＝bn＝2n﹣1，
则前50项和为5050＝251﹣52．
故选：B．
5．（2025春 南阳月考）设两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则a4b4＝（ ）
A．18 B．162 C．54 D．81
【解答】解：根据题意，数列{an}，{bn}都是等比数列，设{an}，{bn}的公比分别为p，q，
若，
分4种情况讨论：
若p＝1，q≠1，则Sn＝na1，，
则，即，
所以q＝3，可得，得a1b1＝2．
所以Sn＝na1，，满足．
所以a4＝a1，．
所以a4b4＝54．
同理，当p≠1，q＝1时，也有a4b4＝54．
当p＝1，q＝1时，Sn＝na1，Tn＝nb1，则，不符合题意，舍去．
当p≠1，q≠1时，，显然不符合题意，舍去，
综上所述，a4b4＝54．
故选：C．
6．（2025春 抚顺月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（ ）
A．128 B．64 C．16 D．8
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，
设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则，不符合题意，
∴，解得．
∵a1＝2和a3的等差中项为5，
∴a1+a3＝10，则，解得a1＝8．
∴，
当n≤3时，an＞1，
当n＝4时，an＝1，当n＞4时，0＜an＜1，
∴Tn的最大值为．
故选：B．
7．（2025春 朝阳区校级期中）已知等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，则数列{an}的公比的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣1 D．2
【解答】解：因为等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，
所以a3＝4a1+3a2，
所以，
即q2＝4+3q，
因为q＞0，解得q＝4．
故选：A．
8．（2025春 贵港月考）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：ad﹣bc，已知Sn等比数列{an}的前n项和，若0，a1＝1，q≠l，则S6＝（ ）
A．6 B．10 C．63 D．64
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，若0，
则有2a3（a3﹣a2）﹣a4（a3﹣a2）＝（2a3﹣a4）（a3﹣a2）＝0，
又由q≠1，即a3﹣a2≠0，
必有2a3﹣a4＝0，则，故．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 许昌期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a3＝﹣4 B．S5＝﹣64
C．{an}是等比数列 D．{Sn﹣1}是等比数列
【解答】解：若Sn为数列{an}的前n项和，且，
当n≥2时，由Sn＝2an+1有Sn﹣1＝2an﹣1+1，
两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1 an＝2an﹣1，
当n＝1时，S1＝2a1+1＝a1 a1＝﹣1，
所以数列{an}时以﹣1为首项，2公比的等比数列，故C正确；
，故A正确；
由等比数列的求和公式，可得，故B错误；
因为，所以{Sn﹣1}是等比数列，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，且，则（ ）
A．a1＝2 B．{an}是递增数列
C．是递增数列 D．
【解答】解：由，
可得n＝1时，a1＝S1，得，解得a1＝2或a1＝0，
又数列{an}的各项均为正数，可得a1＝2，故A正确；
所以Sn＝2（an﹣1），当n≥2时，Sn﹣1＝2（an﹣1﹣1），
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（an﹣1）﹣2（an﹣1﹣1），即n≥2时，an＝2an﹣1，
所以{an}是首项和公比均为2的等比数列，
故，易得其是递增数列，故B正确；
此时为定值，故C错误；
易得，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．（2025春 抚顺月考）已知Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n}是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，则λ的取值范围为
【解答】解：由
可得a2n+1，a2n+2，
即有a2n+2a2n，而a2，
可得数列{a2n}是首项和公比均为的等比数列，
可得a2n＝（）n，a2n﹣1＝1，a2n+1＝1，
即有a2n+1﹣a2n﹣1，故A都正确；
由a2n﹣1+a2n＝1，可得S2n＝nn（1），故{S2n}不是等比数列，故C错误；
由an，当n为奇数时，{an}单调递增，且an；
当n为偶数时，{an}单调递减，且an；若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，
当n为奇数时，an+1＜λ＜an，即有λ；
当n为偶数时，an＜λ＜an+1，即有λ．
综上，可得λ的取整范围是（，），故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）已知等比数列{an}中，a5＝27，a2＝1，则这个数列的公比q＝ 3 ．
【解答】解：∵{an}是等比数列，
∴a5＝a2q3，即27＝q3，解得q＝3．
故答案为：3．
13．（2025春 青浦区期末）在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），则a2025＝ ．
【解答】解：在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），
可得an＝1（n≥2），
即有a2＝1﹣（﹣4）＝5，a3＝1，
a4＝1a1，…，
即有数列{an}是最小正周期为3的数列，
可得a2025＝a675×3＝a3．
故答案为：．
14．（2025春 泸州月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 3937万元 ．（参考数据：1.310≈13.79）
【解答】解：根据题意，设该公司在2024年，2025年，…，2033年的销售额（单位：万元）分别为a1，a2， ，a10，
由于10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，
则有an+1＝1.3an﹣3（n＝1，2， ，9），变形可得an+1﹣10＝1.3（an﹣10）（n＝1，2， ，9），
故数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元．
故答案为：3937万元．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝3an+2n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）证明：由an+1＝3an+2n﹣1，可得an+1+（n+1）＝3（an+n），
又a1＝1，所以a1+1＝2，
所以数列{an+n}是以2为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
16．（2025春 庐山市 月考）已知数列{an}满足a1＝1，记bn＝a2n．
（1）证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求{bn}的通项公式．
（3）求{an}的前20项和．
【解答】解：因为{an}满足a1＝1，，
（1）证明：bn＝a2n，
则，
故bn+1﹣bn＝2，所以数列{bn}是公差为2的等差数列．
（2）b1＝a2＝2a1＝2，且数列{bn}是公差为2的等差数列，
故bn＝2+（n﹣1）×2＝2n；
（3）bn＝a2n＝2n，故，
所以{an}的前20项和：S20＝1+2+2+4+3+6+…+10+20
＝1+2+3+…+10+2+4+6+…+20
．
17．（2025春 广东月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，，，…，，…成等比数列，求{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，，
所以a1，
因为，
整理得（n﹣1）an+1＝nan，
当n≥2时，，
所以n≥2时，是常数列，且，
所以an＝2（n﹣1），
又a1＝0也满足上式，
所以an＝2n﹣2．
（2）因为成等比数列，且a2＝2，a3＝4，
所以该数列的第n项为2n，
因为是数列{2n}的第n+2项，
所以，
所以，
所以．
18．（2025春 惠州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，
可得，
当n≥2时，由Sn＝n2+2n，可得Sn﹣1＝（n﹣1）2+2（n﹣1），
相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
即有．
（2）数列{bn}是以首项为1，公比为2的等比数列，
可得Tn＝（a1+a2+ +an）+（b1+b2+ +bn）
n（3+2n+1）n2+2n+2n﹣1．
19．（2025春 南阳月考）已知数列{an}的首项为3，且满足，令cn＝an﹣1．
（1）证明：{cn}是等比数列，并求{cn}的通项公式；
（2）若bn＝|cn﹣13|，求{bn}的前n项和Tn；
（3）在cn与cn+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在互不相同的3项dm，dk，，且m+p＝2k）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由an+1＝2an﹣1，
两边同时减去1，可得an+1﹣1＝2（an﹣1），
因为cn＝an﹣1，可得cn+1＝2cn，
所以数列{cn}是首项为3﹣1＝2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）知；数列{cn}的通项公式为，可得，
当1≤n≤3且n∈N*时，2n﹣13＜0，当n≥4且n∈N*时，2n﹣13＞0，
当1≤n≤3时，Tn＝13﹣21+...+13﹣2n＝13n13n+2﹣2n+1；
当n≥4时，Tn＝25+24﹣13+...+2n﹣13＝2513（n﹣3）
＝25+2n+1﹣16﹣13n+39＝2n+1﹣13n+48，
所以．
（3）由题意，可得cn+1＝cn+（n+2﹣1）dn，即2n+1＝2n+（n+1）dn，解得，
假设在数列{dn}中存在不相同的3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则，即，则，
又因为m+p＝2k，可得（k+1）2＝（m+1）（p+1），整理得k2＝mp，则k＝m＝p，
这与m，k，p互不相等矛盾，
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
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【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南二模）已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，则a5＝（ ）
A．77 B．153 C．161 D．238
2．（2025春 河南月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第n﹣1圈多种2（n﹣1）（2≤n≤8，n∈N*）株，则第8圈栽种花卉（ ）
A．57株 B．56株 C．55株 D．54株
3．（2025春 湖北月考）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
4．（2025春 龙岗区校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，a3+2a4＝19，数列{bn}的通项．将数列{an}和数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为（ ）
A．251﹣3 B．251﹣52 C．250﹣51 D．250﹣1
5．（2025春 南阳月考）设两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则a4b4＝（ ）
A．18 B．162 C．54 D．81
6．（2025春 抚顺月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（ ）
A．128 B．64 C．16 D．8
7．（2025春 朝阳区校级期中）已知等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，则数列{an}的公比的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣1 D．2
8．（2025春 贵港月考）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：ad﹣bc，已知Sn等比数列{an}的前n项和，若0，a1＝1，q≠l，则S6＝（ ）
A．6 B．10 C．63 D．64
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 许昌期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a3＝﹣4 B．S5＝﹣64
C．{an}是等比数列 D．{Sn﹣1}是等比数列
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，且，则（ ）
A．a1＝2 B．{an}是递增数列
C．是递增数列 D．
（多选）11．（2025春 抚顺月考）已知Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n}是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，则λ的取值范围为
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）已知等比数列{an}中，a5＝27，a2＝1，则这个数列的公比q＝ ．
13．（2025春 青浦区期末）在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），则a2025＝ ．
14．（2025春 泸州月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 ．（参考数据：1.310≈13.79）
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝3an+2n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
16．（2025春 庐山市 月考）已知数列{an}满足a1＝1，记bn＝a2n．
（1）证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求{bn}的通项公式．
（3）求{an}的前20项和．
17．（2025春 广东月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，，，…，，…成等比数列，求{bn}的前n项和Tn．
18．（2025春 惠州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
19．（2025春 南阳月考）已知数列{an}的首项为3，且满足，令cn＝an﹣1．
（1）证明：{cn}是等比数列，并求{cn}的通项公式；
（2）若bn＝|cn﹣13|，求{bn}的前n项和Tn；
（3）在cn与cn+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在互不相同的3项dm，dk，，且m+p＝2k）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【期末重点专题】等比数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B C B A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD AB ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南二模）已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，则a5＝（ ）
A．77 B．153 C．161 D．238
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣n，
则a5＝S5﹣S4＝（243﹣5）﹣（81﹣4）＝238﹣77＝161．
故选：C．
2．（2025春 河南月考）现将一圆形花坛从圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株（视为第一圈），第二圈栽3株花卉，从第二圈起，第n圈栽种花卉的数目比第n﹣1圈多种2（n﹣1）（2≤n≤8，n∈N*）株，则第8圈栽种花卉（ ）
A．57株 B．56株 C．55株 D．54株
【解答】解：设第n圈栽种花卉an株，由题可得an﹣an﹣1＝2（n﹣1），（2≤n≤8，n∈N*），
又因为a1＝1，a2＝3，
所以a2﹣a1＝2， ，a6﹣a5＝10，a7﹣a6＝12，a8﹣a7＝14，
所以a8＝（a8﹣a7）+（a7﹣a6）+（a6﹣a5）+ +（a2﹣a1）+a1
＝14+12+10+ +2+1．
故选：A．
3．（2025春 湖北月考）已知数列{an}满足a1＝10，，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【解答】解：因为数列{an}满足a1＝10，，即an+1﹣an＝2（n+1），
当n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝10+4+6+...+2n
＝8+2nn（n﹣1）×2＝n2+n+8（符合首项），
故对任意的n∈N*，，
所以，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，
又因为，
因为，，故，
所以的最小值为．
故选：B．
4．（2025春 龙岗区校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，a3+2a4＝19，数列{bn}的通项．将数列{an}和数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，则数列{cn}的前50项和为（ ）
A．251﹣3 B．251﹣52 C．250﹣51 D．250﹣1
【解答】解：由S5＝25，a3+2a4＝19，可得，解得，故an＝2n﹣1，
由于2n﹣1均为奇数，且数列{an}包含所有整奇数，故公共项即为{bn}本身，即cn＝bn＝2n﹣1，
则前50项和为5050＝251﹣52．
故选：B．
5．（2025春 南阳月考）设两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则a4b4＝（ ）
A．18 B．162 C．54 D．81
【解答】解：根据题意，数列{an}，{bn}都是等比数列，设{an}，{bn}的公比分别为p，q，
若，
分4种情况讨论：
若p＝1，q≠1，则Sn＝na1，，
则，即，
所以q＝3，可得，得a1b1＝2．
所以Sn＝na1，，满足．
所以a4＝a1，．
所以a4b4＝54．
同理，当p≠1，q＝1时，也有a4b4＝54．
当p＝1，q＝1时，Sn＝na1，Tn＝nb1，则，不符合题意，舍去．
当p≠1，q≠1时，，显然不符合题意，舍去，
综上所述，a4b4＝54．
故选：C．
6．（2025春 抚顺月考）设等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，则Tn的最大值为（ ）
A．128 B．64 C．16 D．8
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，
前n项积为，且a1和a3的等差中项为5，
设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则，不符合题意，
∴，解得．
∵a1＝2和a3的等差中项为5，
∴a1+a3＝10，则，解得a1＝8．
∴，
当n≤3时，an＞1，
当n＝4时，an＝1，当n＞4时，0＜an＜1，
∴Tn的最大值为．
故选：B．
7．（2025春 朝阳区校级期中）已知等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，则数列{an}的公比的值是（ ）
A．4 B．3 C．﹣1 D．2
【解答】解：因为等比数列{an}各项均为正数，且4a1，，3a2成等差数列，
所以a3＝4a1+3a2，
所以，
即q2＝4+3q，
因为q＞0，解得q＝4．
故选：A．
8．（2025春 贵港月考）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：ad﹣bc，已知Sn等比数列{an}的前n项和，若0，a1＝1，q≠l，则S6＝（ ）
A．6 B．10 C．63 D．64
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，若0，
则有2a3（a3﹣a2）﹣a4（a3﹣a2）＝（2a3﹣a4）（a3﹣a2）＝0，
又由q≠1，即a3﹣a2≠0，
必有2a3﹣a4＝0，则，故．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024秋 许昌期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a3＝﹣4 B．S5＝﹣64
C．{an}是等比数列 D．{Sn﹣1}是等比数列
【解答】解：若Sn为数列{an}的前n项和，且，
当n≥2时，由Sn＝2an+1有Sn﹣1＝2an﹣1+1，
两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1 an＝2an﹣1，
当n＝1时，S1＝2a1+1＝a1 a1＝﹣1，
所以数列{an}时以﹣1为首项，2公比的等比数列，故C正确；
，故A正确；
由等比数列的求和公式，可得，故B错误；
因为，所以{Sn﹣1}是等比数列，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（2025春 河南月考）记Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，且，则（ ）
A．a1＝2 B．{an}是递增数列
C．是递增数列 D．
【解答】解：由，
可得n＝1时，a1＝S1，得，解得a1＝2或a1＝0，
又数列{an}的各项均为正数，可得a1＝2，故A正确；
所以Sn＝2（an﹣1），当n≥2时，Sn﹣1＝2（an﹣1﹣1），
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（an﹣1）﹣2（an﹣1﹣1），即n≥2时，an＝2an﹣1，
所以{an}是首项和公比均为2的等比数列，
故，易得其是递增数列，故B正确；
此时为定值，故C错误；
易得，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．（2025春 抚顺月考）已知Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{a2n}是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，则λ的取值范围为
【解答】解：由
可得a2n+1，a2n+2，
即有a2n+2a2n，而a2，
可得数列{a2n}是首项和公比均为的等比数列，
可得a2n＝（）n，a2n﹣1＝1，a2n+1＝1，
即有a2n+1﹣a2n﹣1，故A都正确；
由a2n﹣1+a2n＝1，可得S2n＝nn（1），故{S2n}不是等比数列，故C错误；
由an，当n为奇数时，{an}单调递增，且an；
当n为偶数时，{an}单调递减，且an；若（an﹣λ）（an+1﹣λ）＜0恒成立，
当n为奇数时，an+1＜λ＜an，即有λ；
当n为偶数时，an＜λ＜an+1，即有λ．
综上，可得λ的取整范围是（，），故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）已知等比数列{an}中，a5＝27，a2＝1，则这个数列的公比q＝ 3 ．
【解答】解：∵{an}是等比数列，
∴a5＝a2q3，即27＝q3，解得q＝3．
故答案为：3．
13．（2025春 青浦区期末）在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），则a2025＝ ．
【解答】解：在数列{an}中，，an an﹣1＝an﹣1﹣1（n≥2），
可得an＝1（n≥2），
即有a2＝1﹣（﹣4）＝5，a3＝1，
a4＝1a1，…，
即有数列{an}是最小正周期为3的数列，
可得a2025＝a675×3＝a3．
故答案为：．
14．（2025春 泸州月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为 3937万元 ．（参考数据：1.310≈13.79）
【解答】解：根据题意，设该公司在2024年，2025年，…，2033年的销售额（单位：万元）分别为a1，a2， ，a10，
由于10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3，
则有an+1＝1.3an﹣3（n＝1，2， ，9），变形可得an+1﹣10＝1.3（an﹣10）（n＝1，2， ，9），
故数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元．
故答案为：3937万元．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 四川校级月考）在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝3an+2n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）证明：由an+1＝3an+2n﹣1，可得an+1+（n+1）＝3（an+n），
又a1＝1，所以a1+1＝2，
所以数列{an+n}是以2为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
16．（2025春 庐山市 月考）已知数列{an}满足a1＝1，记bn＝a2n．
（1）证明：数列{bn}是等差数列．
（2）求{bn}的通项公式．
（3）求{an}的前20项和．
【解答】解：因为{an}满足a1＝1，，
（1）证明：bn＝a2n，
则，
故bn+1﹣bn＝2，所以数列{bn}是公差为2的等差数列．
（2）b1＝a2＝2a1＝2，且数列{bn}是公差为2的等差数列，
故bn＝2+（n﹣1）×2＝2n；
（3）bn＝a2n＝2n，故，
所以{an}的前20项和：S20＝1+2+2+4+3+6+…+10+20
＝1+2+3+…+10+2+4+6+…+20
．
17．（2025春 广东月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a2，a3，，，…，，…成等比数列，求{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，，
所以a1，
因为，
整理得（n﹣1）an+1＝nan，
当n≥2时，，
所以n≥2时，是常数列，且，
所以an＝2（n﹣1），
又a1＝0也满足上式，
所以an＝2n﹣2．
（2）因为成等比数列，且a2＝2，a3＝4，
所以该数列的第n项为2n，
因为是数列{2n}的第n+2项，
所以，
所以，
所以．
18．（2025春 惠州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）由对一切正整数n，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，
可得，
当n≥2时，由Sn＝n2+2n，可得Sn﹣1＝（n﹣1）2+2（n﹣1），
相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
即有．
（2）数列{bn}是以首项为1，公比为2的等比数列，
可得Tn＝（a1+a2+ +an）+（b1+b2+ +bn）
n（3+2n+1）n2+2n+2n﹣1．
19．（2025春 南阳月考）已知数列{an}的首项为3，且满足，令cn＝an﹣1．
（1）证明：{cn}是等比数列，并求{cn}的通项公式；
（2）若bn＝|cn﹣13|，求{bn}的前n项和Tn；
（3）在cn与cn+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在互不相同的3项dm，dk，，且m+p＝2k）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由an+1＝2an﹣1，
两边同时减去1，可得an+1﹣1＝2（an﹣1），
因为cn＝an﹣1，可得cn+1＝2cn，
所以数列{cn}是首项为3﹣1＝2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）知；数列{cn}的通项公式为，可得，
当1≤n≤3且n∈N*时，2n﹣13＜0，当n≥4且n∈N*时，2n﹣13＞0，
当1≤n≤3时，Tn＝13﹣21+...+13﹣2n＝13n13n+2﹣2n+1；
当n≥4时，Tn＝25+24﹣13+...+2n﹣13＝2513（n﹣3）
＝25+2n+1﹣16﹣13n+39＝2n+1﹣13n+48，
所以．
（3）由题意，可得cn+1＝cn+（n+2﹣1）dn，即2n+1＝2n+（n+1）dn，解得，
假设在数列{dn}中存在不相同的3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则，即，则，
又因为m+p＝2k，可得（k+1）2＝（m+1）（p+1），整理得k2＝mp，则k＝m＝p，
这与m，k，p互不相等矛盾，
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
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