【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 305.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 14:33:14 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝4，S5＝3a4+6，则a8＝（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
2．（2025春 泸州月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a8＝16，a6a7＝48，则S7＝（ ）
A．58 B．63 C．75 D．84
3．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若，则（ ）
A．11 B． C．10 D．5
4．（2025 西安模拟）在公差大于0的等差数列{an}中，a2+a8＝10，a3a7＝﹣11，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2025春 河南期中）将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（ ）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
6．（2025 临翔区校级模拟）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
7．（2025春 成都校级月考）已知数列{an}为等差数列，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，若a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，则Sn取得最小正值时，n的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
8．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，a3＝﹣a11，则下列说法正确的是（ ）
A．a7＝0
B．an+1＜an
C．S7＜S6
D．当Sn＜0时，n的最小值为13
（多选）10．（2025 浑南区校级模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．若d＜0，则S12＜0 B．若d＞0，则S5最小
C．|a6|＞|a7| D．a62＞a5a8
（多选）11．（2025 息县二模）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（ ）
A．an＝6n﹣5
B．当k＝2时，bn＝2n﹣1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）和的等差中项是 ．
13．（2025春 河南月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，则S16＝ ．
14．（2025春 扶沟县校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作d，d1，且d＝2d1，则Sn＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 泸州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
16．（2025春 辽宁月考）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，．
（1）求a1；
（2）记Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值及此时n的值．
17．（2025春 富平县校级月考）在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
18．（2025春 南海区月考）已知等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
19．（2023秋 昭阳区期末）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D C B D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AB AD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝4，S5＝3a4+6，则a8＝（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a2＝4，S5＝3a4+6，
由题意得，解得，
所以a8＝a1+7d＝16．
故选：C．
2．（2025春 泸州月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a8＝16，a6a7＝48，则S7＝（ ）
A．58 B．63 C．75 D．84
【解答】解：设该等差数列的公差为d，
由等差数列的性质，a4+a8＝2a6＝16，得a6＝8，
又a6a7＝48，故a7＝6，
则d＝a7﹣a6＝﹣2，
所以S7＝7a4＝7（a7﹣3d）＝7×12＝84．
故选：D．
3．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若，则（ ）
A．11 B． C．10 D．5
【解答】解：因为，a5＝a1+4d，所以，
整理得，解得a1＝d，
则a10＝10a1，，故．
故选：B．
4．（2025 西安模拟）在公差大于0的等差数列{an}中，a2+a8＝10，a3a7＝﹣11，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a2+a8＝a3+a7＝10，
又∵a3a7＝﹣11，
∴或，
∴公差d3，或d3（舍去），
故选：D．
5．（2025春 河南期中）将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（ ）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
【解答】解：由题意，数列{an}的前50项必在数列{2n﹣1}前50项之内取得，
{2n﹣1}中第50个数为2×50﹣1＝99，第41个数为2×41﹣1＝81，
因为34＝81＜99，35＝243＞99，
则数列{an}的前50项和S50中含{2n﹣1}中元素46个，含{3n}中元素4个，
所以．
故选：C．
6．（2025 临翔区校级模拟）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
【解答】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2， ，a12，前n项和Sn（n≤12），
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，
得，解得a1＝13.5，d＝﹣1，
所以小满日影长为a11＝a1+10d＝13.5﹣10＝3.5（尺）．
故选：B．
7．（2025春 成都校级月考）已知数列{an}为等差数列，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，若a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，则Sn取得最小正值时，n的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴数列{an}是递减的等差数列，
又∵a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，
∴a1013＞0＞a1014，
∴数列的前1013项为正数，从第1014项开始为负数，
∴，
∴，
∴当Sn取最小正值时n＝2025．
故选：D．
8．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
【解答】解：因为{an}是等差数列，则a5+a11＝2a8＞0，即a8＞0，
又因为a7＜0，则公差d＝a8﹣a7＞0，可知a1＜a2＜ ＜a7＜0＜a8＜a9＜ ，
所以数列{an}为递增数列，且Sn的最小值为S7，．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，a3＝﹣a11，则下列说法正确的是（ ）
A．a7＝0
B．an+1＜an
C．S7＜S6
D．当Sn＜0时，n的最小值为13
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
依次分析选项：
对于A，因为数列{an}为等差数列，且a3＝﹣a11，可得，即a7＝0，故A正确；
对于B，因为a1＞0，而a7＝0，d＜0，所以等差数列{an}为递减数列，故B正确；
对于C，因为S7＝S6+a7＝S6，故C错误；
对于D，当n≤6时，an＞0；当n≥8时，an＜0，即a1＞…＞a6＞a7＝0＞a8＞…，
当n≤13时，，当且仅当n＝13时，等号成立，
当n≥14时，Sn＝S13+（a14+…+an）＝a14+…+an＜0，
所以当Sn＜0时，n的最小值为14，故D错误．
故选：AB．
（多选）10．（2025 浑南区校级模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．若d＜0，则S12＜0 B．若d＞0，则S5最小
C．|a6|＞|a7| D．a62＞a5a8
【解答】解：因为（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，
所以（a5+a6+a7）（a5+a6+a7+a8）＜0，
即3a6×2（a6+a7）＜0，所以a6 a7＜0，a6（a6+a7）＜0，
A：若d＜0，a6 a7＜0，则a6＞0，a7＜0，
则S12＝6（a6+a7）＜0，A正确；
B：若d＞0，则a6＜0，a7＞0，S6最小，B错误；
C：由a6（a6+a7）＜0，得a6a7，
所以||＜|﹣a6a7|，所以|a6|＜|a7|，C错误；
D：由a6（a6+a7）＝a6（2a6+d）＝2da6＜0，得da6＜0，
a62﹣a5a8＝a62﹣（a6﹣d）（a6+2d）＝2d2﹣da6＞0，D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025 息县二模）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（ ）
A．an＝6n﹣5
B．当k＝2时，bn＝2n﹣1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
【解答】解：对A，因为等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，
所以an＝1+6（n﹣1）＝6n﹣5，故A正确；
对B，当k＝2时，{bn}公差，此时bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故B正确；
对C，当k＝2时bn＝2n﹣1，此时b19＝2×19﹣1＝37，
若b19是数列{an}中的项，
则6n﹣5＝37，解得n＝7是整数，则b19是数列{an}中的项，故C错误；
对D，当k＝6时，b1＝a1，又a2＝b1+6+1＝b8，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）和的等差中项是 2 ．
【解答】解：设和的等差中项为x，
根据题意得：2x＝（2）+（2）＝4，
解得：x＝2，
则和的等差中项为2．
故答案为：2
13．（2025春 河南月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，则S16＝ 24 ．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，
因为a6＝0，a11＝3，所以．
故答案为：24．
14．（2025春 扶沟县校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作d，d1，且d＝2d1，则Sn＝ n2 ．
【解答】解：因为数列均是公差不为0的等差数列，公差为d1，
所以，
所以，
两式相减可得：，
因为数列{an}是公差为d的等差数列，所以，
因为d＝2d1，且d，d1均不为0，所以d＝2d1＝2，
所以an＝a1+2（n﹣1）＝2n+a1﹣2，，
所以，即，解得a1＝1，
所以．
故答案为：n2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 泸州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和，a1＝﹣5，S5＝﹣20，设等差数列公差为d，
则，解得，
∴；
（2）由（1）得：，
当n＝10或11时，；
则，Sn的最小值为．
16．（2025春 辽宁月考）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，．
（1）求a1；
（2）记Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值及此时n的值．
【解答】解：（1）因为数列{an}满足an+1﹣an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列，
因为，所以，
解得a1＝﹣12；
（2）由（1）可得，
所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为S12＝S13＝﹣78．
17．（2025春 富平县校级月考）在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a4+a5+a6＝a1+3d+a2+3d+a3+3d＝a1+a2+a3+9d，
即9d＝30﹣39＝﹣9，解得：d＝﹣1，
∴a1+a2+a3＝3a1+3d＝3a1﹣3＝39，
解得：a1＝14，∴an＝14﹣（n﹣1）＝15﹣n；
（2）设等差数列{an}的公差为d1，
由S17＝S9得：，∴100d1＝﹣8a1＝﹣200，
解得：d1＝﹣2，∴，
则当n＝13时，Sn取得最大值，即数列{an}的前13项和最大．
18．（2025春 南海区月考）已知等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
【解答】解：等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）由题意可得an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）d，
所以a2n＝1+（2n﹣1）d，
又a2n＝2an+1，即2[1+（n﹣1）d]+1＝1+（2n﹣1）d，
化简可得2nd﹣d﹣2nd+2d＝2+1﹣1 d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（2）由（1）可得，
当n＝1时，，又b1＞0，所以，
所以，
则．
19．（2023秋 昭阳区期末）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
∵a4＝﹣9，a7＝﹣6，
∴，解得，
故an＝a1+（n﹣1）d＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13；
（2），
令Sn＞0，即，解得n＞25，
故n的最小值为26．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝4，S5＝3a4+6，则a8＝（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
2．（2025春 泸州月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a8＝16，a6a7＝48，则S7＝（ ）
A．58 B．63 C．75 D．84
3．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若，则（ ）
A．11 B． C．10 D．5
4．（2025 西安模拟）在公差大于0的等差数列{an}中，a2+a8＝10，a3a7＝﹣11，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2025春 河南期中）将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（ ）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
6．（2025 临翔区校级模拟）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
7．（2025春 成都校级月考）已知数列{an}为等差数列，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，若a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，则Sn取得最小正值时，n的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
8．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，a3＝﹣a11，则下列说法正确的是（ ）
A．a7＝0
B．an+1＜an
C．S7＜S6
D．当Sn＜0时，n的最小值为13
（多选）10．（2025 浑南区校级模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．若d＜0，则S12＜0 B．若d＞0，则S5最小
C．|a6|＞|a7| D．a62＞a5a8
（多选）11．（2025 息县二模）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（ ）
A．an＝6n﹣5
B．当k＝2时，bn＝2n﹣1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）和的等差中项是 ．
13．（2025春 河南月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，则S16＝ ．
14．（2025春 扶沟县校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作d，d1，且d＝2d1，则Sn＝ ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 泸州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
16．（2025春 辽宁月考）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，．
（1）求a1；
（2）记Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值及此时n的值．
17．（2025春 富平县校级月考）在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
18．（2025春 南海区月考）已知等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
19．（2023秋 昭阳区期末）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
【期末重点专题】等差数列-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D C B D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AB AD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 德州三模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝4，S5＝3a4+6，则a8＝（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a2＝4，S5＝3a4+6，
由题意得，解得，
所以a8＝a1+7d＝16．
故选：C．
2．（2025春 泸州月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a8＝16，a6a7＝48，则S7＝（ ）
A．58 B．63 C．75 D．84
【解答】解：设该等差数列的公差为d，
由等差数列的性质，a4+a8＝2a6＝16，得a6＝8，
又a6a7＝48，故a7＝6，
则d＝a7﹣a6＝﹣2，
所以S7＝7a4＝7（a7﹣3d）＝7×12＝84．
故选：D．
3．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若，则（ ）
A．11 B． C．10 D．5
【解答】解：因为，a5＝a1+4d，所以，
整理得，解得a1＝d，
则a10＝10a1，，故．
故选：B．
4．（2025 西安模拟）在公差大于0的等差数列{an}中，a2+a8＝10，a3a7＝﹣11，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a2+a8＝a3+a7＝10，
又∵a3a7＝﹣11，
∴或，
∴公差d3，或d3（舍去），
故选：D．
5．（2025春 河南期中）将数列{2n﹣1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列{an}的前50项和为（ ）
A．2160 B．2240 C．2236 D．2490
【解答】解：由题意，数列{an}的前50项必在数列{2n﹣1}前50项之内取得，
{2n﹣1}中第50个数为2×50﹣1＝99，第41个数为2×41﹣1＝81，
因为34＝81＜99，35＝243＞99，
则数列{an}的前50项和S50中含{2n﹣1}中元素46个，含{3n}中元素4个，
所以．
故选：C．
6．（2025 临翔区校级模拟）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
【解答】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2， ，a12，前n项和Sn（n≤12），
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，
得，解得a1＝13.5，d＝﹣1，
所以小满日影长为a11＝a1+10d＝13.5﹣10＝3.5（尺）．
故选：B．
7．（2025春 成都校级月考）已知数列{an}为等差数列，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，若a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，则Sn取得最小正值时，n的值为（ ）
A．1013 B．1014 C．2024 D．2025
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴数列{an}是递减的等差数列，
又∵a1013+a1014＜0，a1013 a1014＜0，
∴a1013＞0＞a1014，
∴数列的前1013项为正数，从第1014项开始为负数，
∴，
∴，
∴当Sn取最小正值时n＝2025．
故选：D．
8．（2025春 河南月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7＜0，a5+a11＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{an}为递增数列 B．a8＜0
C．Sn的最小值为S8 D．S13＞0
【解答】解：因为{an}是等差数列，则a5+a11＝2a8＞0，即a8＞0，
又因为a7＜0，则公差d＝a8﹣a7＞0，可知a1＜a2＜ ＜a7＜0＜a8＜a9＜ ，
所以数列{an}为递增数列，且Sn的最小值为S7，．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 南阳月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，a3＝﹣a11，则下列说法正确的是（ ）
A．a7＝0
B．an+1＜an
C．S7＜S6
D．当Sn＜0时，n的最小值为13
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
依次分析选项：
对于A，因为数列{an}为等差数列，且a3＝﹣a11，可得，即a7＝0，故A正确；
对于B，因为a1＞0，而a7＝0，d＜0，所以等差数列{an}为递减数列，故B正确；
对于C，因为S7＝S6+a7＝S6，故C错误；
对于D，当n≤6时，an＞0；当n≥8时，an＜0，即a1＞…＞a6＞a7＝0＞a8＞…，
当n≤13时，，当且仅当n＝13时，等号成立，
当n≥14时，Sn＝S13+（a14+…+an）＝a14+…+an＜0，
所以当Sn＜0时，n的最小值为14，故D错误．
故选：AB．
（多选）10．（2025 浑南区校级模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．若d＜0，则S12＜0 B．若d＞0，则S5最小
C．|a6|＞|a7| D．a62＞a5a8
【解答】解：因为（S7﹣S4）（S8﹣S4）＜0，
所以（a5+a6+a7）（a5+a6+a7+a8）＜0，
即3a6×2（a6+a7）＜0，所以a6 a7＜0，a6（a6+a7）＜0，
A：若d＜0，a6 a7＜0，则a6＞0，a7＜0，
则S12＝6（a6+a7）＜0，A正确；
B：若d＞0，则a6＜0，a7＞0，S6最小，B错误；
C：由a6（a6+a7）＜0，得a6a7，
所以||＜|﹣a6a7|，所以|a6|＜|a7|，C错误；
D：由a6（a6+a7）＝a6（2a6+d）＝2da6＜0，得da6＜0，
a62﹣a5a8＝a62﹣（a6﹣d）（a6+2d）＝2d2﹣da6＞0，D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2025 息县二模）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（ ）
A．an＝6n﹣5
B．当k＝2时，bn＝2n﹣1
C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项
D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6
【解答】解：对A，因为等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，
所以an＝1+6（n﹣1）＝6n﹣5，故A正确；
对B，当k＝2时，{bn}公差，此时bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故B正确；
对C，当k＝2时bn＝2n﹣1，此时b19＝2×19﹣1＝37，
若b19是数列{an}中的项，
则6n﹣5＝37，解得n＝7是整数，则b19是数列{an}中的项，故C错误；
对D，当k＝6时，b1＝a1，又a2＝b1+6+1＝b8，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 青浦区期末）和的等差中项是 2 ．
【解答】解：设和的等差中项为x，
根据题意得：2x＝（2）+（2）＝4，
解得：x＝2，
则和的等差中项为2．
故答案为：2
13．（2025春 河南月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，则S16＝ 24 ．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a11＝3，且a6＝0，
因为a6＝0，a11＝3，所以．
故答案为：24．
14．（2025春 扶沟县校级月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}和均是公差不为0的等差数列，公差分别记作d，d1，且d＝2d1，则Sn＝ n2 ．
【解答】解：因为数列均是公差不为0的等差数列，公差为d1，
所以，
所以，
两式相减可得：，
因为数列{an}是公差为d的等差数列，所以，
因为d＝2d1，且d，d1均不为0，所以d＝2d1＝2，
所以an＝a1+2（n﹣1）＝2n+a1﹣2，，
所以，即，解得a1＝1，
所以．
故答案为：n2．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 泸州期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣5，S5＝﹣20．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和，a1＝﹣5，S5＝﹣20，设等差数列公差为d，
则，解得，
∴；
（2）由（1）得：，
当n＝10或11时，；
则，Sn的最小值为．
16．（2025春 辽宁月考）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，．
（1）求a1；
（2）记Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值及此时n的值．
【解答】解：（1）因为数列{an}满足an+1﹣an＝1，
所以数列{an}是公差为1的等差数列，
因为，所以，
解得a1＝﹣12；
（2）由（1）可得，
所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为S12＝S13＝﹣78．
17．（2025春 富平县校级月考）在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和．
（1）若a1+a2+a3＝39，a4+a5+a6＝30，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1＝25，S17＝S9，则数列{an}的前多少项和最大？
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a4+a5+a6＝a1+3d+a2+3d+a3+3d＝a1+a2+a3+9d，
即9d＝30﹣39＝﹣9，解得：d＝﹣1，
∴a1+a2+a3＝3a1+3d＝3a1﹣3＝39，
解得：a1＝14，∴an＝14﹣（n﹣1）＝15﹣n；
（2）设等差数列{an}的公差为d1，
由S17＝S9得：，∴100d1＝﹣8a1＝﹣200，
解得：d1＝﹣2，∴，
则当n＝13时，Sn取得最大值，即数列{an}的前13项和最大．
18．（2025春 南海区月考）已知等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项积Tn．
【解答】解：等差数列{an}的首项为1，a2n＝2an+1，正项数列{bn}满足．
（1）由题意可得an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）d，
所以a2n＝1+（2n﹣1）d，
又a2n＝2an+1，即2[1+（n﹣1）d]+1＝1+（2n﹣1）d，
化简可得2nd﹣d﹣2nd+2d＝2+1﹣1 d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（2）由（1）可得，
当n＝1时，，又b1＞0，所以，
所以，
则．
19．（2023秋 昭阳区期末）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
∵a4＝﹣9，a7＝﹣6，
∴，解得，
故an＝a1+（n﹣1）d＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13；
（2），
令Sn＞0，即，解得n＞25，
故n的最小值为26．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)