【期末重点专题】简单几何体的表面积与体积-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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【期末重点专题】简单几何体的表面积与体积-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 宿迁模拟）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 湘潭模拟）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 山西模拟）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（　　）
A．2 B．3 C． D．
4．（2025 鹤壁二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
5．（2025春 浙江月考）圆台的上下底面半径分别为8、16，AB、CD为圆台的两条母线，且AB＝10，则四边形ABDC的面积的最大值为（　　）
A．72 B．144 C．150 D．156
6．（2025春 德州月考）已知球O的表面积为16π，一正四棱台的上、下底面顶点都在球O的球面上，且下底面过球心O，侧面与下底面所成角的余弦值为，则该棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 龙岩期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9．现将一个半径为R的小球放入该容器中，小球全部在水面下：且水没有溢出容器，则R的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．3
8．（2025春 惠州月考）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品．如图球形的壶体可以近似看成一个半径为6cm球体，那么该壶装满茶水后全部倒入底面半径为3cm且高为4cm的圆柱形茶杯内，则需要的茶杯个数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东月考）已知圆锥的底面半径r＝2，母线长l＝6，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（　　）
A．扇形AOB的圆心角α为
B．圆锥的高h为
C．圆锥的表面积为16π
D．从A点绕圆锥侧面一周回到A点的最短距离为
（多选）10．（2025春 吴中区校级月考）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A、C的动点，SO＝OC＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．圆锥SO的侧面积为2π
B．三棱锥S﹣ABC体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
（多选）11．（2025春 渝中区校级期中）如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则（　　）
A．A1，B1，C1，D1四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．若BC中点为G，H为CC1的四等分点（靠近C1），则AG、DC、D1H三线共点
D．截面四边形BED1F的周长的最小值为10
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 惠州月考）若圆锥的表面积为16π，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为　 　 ．
13．（2025春 浙江月考）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝4．，PB＝PC，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 　 　 ．
14．（2025 宁远县模拟）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，P点为四边形BB1C1C的中心，则四面体A1﹣B1PB的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积比为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东月考）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；
（2）若异面直线BB1与A1C所成的角为30°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
16．（2025春 浙江期中）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，O为正方形ABCD的中心．
（1）若正四棱锥P﹣ABCD的高为，求它的表面积．
（2）若正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为8π，求正四棱锥 P﹣ABCD的体积．
17．（2025春 万州区期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥P﹣ABCD，下部是一个正方体，其中正四棱锥P﹣ABCD的高为，△PCD是等边三角形，CD＝6．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
18．（2025春 岳麓区校级月考）如图，圆锥PO的底面半径和高均是a．
（1）过线段PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．
（2）若过线段PO上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面积．
19．（2025春 秀英区校级期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，已知四棱锥P﹣ABCD在点A的曲率为，且PB＝PD，CB＝CD，．
（1）若点B的曲率为，∠PBC＝∠ABC，求四棱锥P﹣ABCD的表面积；
（2）若点E在PD上，且PE：ED＝2：1．试探究：在棱PC上是否存在点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
【期末重点专题】简单几何体的表面积与体积-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C A A C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD BD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 宿迁模拟）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
设圆锥的底面半径为r，由于圆锥轴截面为等边三角形，
可得圆锥的母线长为2r，圆锥外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，
由正弦定理可得，则，
圆锥的高为，
故该圆锥的体积为．
故选：A．
2．（2025 湘潭模拟）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：已知有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，
由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为，
因为平面平行于该木料底面，故该平面在木料上的截面也为正三角形，
设该正三角形与底面的相似比为k，则该平面在木料上的截面面积为，
截下部分一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即，
正三棱台表面积为，
故，解得，所以该平面在木料上的截面面积为．
故选：D．
3．（2025 山西模拟）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：因为球的半径和圆锥的底面半径相等，
设球的半径和圆锥的底面半径均为r，圆锥的母线长为l，
由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
得，则l＝3r，
所以球的体积与圆锥的体积之比为．
故选：C．
4．（2025 鹤壁二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
【解答】解：由题意直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，
该棱柱外接球的表面积为12π，
可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为B1C1，BC的中点，．
设外接球的半径为R，则，
所以，解得CC1＝2．
侧面BB1C1C旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，
其体积为．
故选：B．
5．（2025春 浙江月考）圆台的上下底面半径分别为8、16，AB、CD为圆台的两条母线，且AB＝10，则四边形ABDC的面积的最大值为（　　）
A．72 B．144 C．150 D．156
【解答】解：因为圆台的上下底面半径分别为8、16，AB、CD为圆台的两条母线，且AB＝10，
如图，延长BA、DC交于点P，将圆台补成的圆锥的母线长为l，
所以，解得l＝20，
所以，故，
设轴截面的顶角为θ，则，
所以θ为钝角，所以0＜∠BPD≤θ，
所以当PB⊥PD时，S△PBD取最大值，且其最大值为，
所以梯形ABDC面积的最大值为．
故选：C．
6．（2025春 德州月考）已知球O的表面积为16π，一正四棱台的上、下底面顶点都在球O的球面上，且下底面过球心O，侧面与下底面所成角的余弦值为，则该棱台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设球O的半径为R，
所以球O的表面积为4πR2＝16π，
所以，
又正四棱台的上、下底面顶点都在球O的球面上，且下底面过球心O，
所以下底面边长为，
设棱台的上底面边长为，高为h，
则，解得，
所以该棱台的体积为．
故选：A．
7．（2025春 龙岩期中）有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为9．现将一个半径为R的小球放入该容器中，小球全部在水面下：且水没有溢出容器，则R的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：设圆柱的高为h，则h＞9，设R的最大值是r，r＜2，
所以根据题意可得，
解得r＝3＞2，所以r只能取2．
故选：A．
8．（2025春 惠州月考）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品．如图球形的壶体可以近似看成一个半径为6cm球体，那么该壶装满茶水后全部倒入底面半径为3cm且高为4cm的圆柱形茶杯内，则需要的茶杯个数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：设需要的茶杯个数为a，
则根据题意可得aπ×32×4，
解得a≥8．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 广东月考）已知圆锥的底面半径r＝2，母线长l＝6，设该圆锥的侧面展开图为扇形AOB，O为扇形圆心，则（　　）
A．扇形AOB的圆心角α为
B．圆锥的高h为
C．圆锥的表面积为16π
D．从A点绕圆锥侧面一周回到A点的最短距离为
【解答】解：A，根据题意可知，圆锥的底面半径r＝2，母线长l＝6，
设圆锥的侧面展开图所得扇形的圆心角为α，可得θ×l＝2πr，
即6α＝2π×2＝4π，解得，所以A错误；
B，圆锥的高为，所以B正确；
C，由圆锥的侧面积为S1＝πrl＝π×2×6＝12π，底面积为，
所以圆锥的表面积为S＝S1+S2＝16π，所以C正确；
D，如图所示，圆锥的侧面展开图中，可得，
即从A点绕圆锥侧面一周回到A点的最短距离为，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（2025春 吴中区校级月考）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A、C的动点，SO＝OC＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．圆锥SO的侧面积为2π
B．三棱锥S﹣ABC体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
【解答】解：因为AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A、C的动点，SO＝OC＝1，
所以，半径r＝OC＝1．
对于选项A：圆锥SO的侧面积为，故选项A错误；
对于选项B：由圆的几何性质可知AB⊥BC，由勾股定理可得AB2+BC2＝AC2＝4，
所以4＝AB2+BC2≥2AB BC，可得AB BC≤2，
即，当且仅当时，等号成立，
则三棱锥S﹣ABC体积为，故选项B正确；
对于选项C：因为SA2+SC2＝2+2＝4＝AC2，故，
当点B与点A重合时，∠ASB＝0；当点B与点C重合时，，
又因为点B与A、C不重合，则，
又2∠SAB+∠ASB＝π，可得，故选项C错误；
对于选项D：因为AB＝BC，，AC＝2，可得．
又，所以△SAB为等边三角形，则．
将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，
得到△S1AB，则△S1AB为等边三角形，．
如图，当S1、E、C三点共线时，SE+CE取最小值S1C．
因为，，
所以，
，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）11．（2025春 渝中区校级期中）如图，ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则（　　）
A．A1，B1，C1，D1四点不共面
B．该几何体的体积为8
C．若BC中点为G，H为CC1的四等分点（靠近C1），则AG、DC、D1H三线共点
D．截面四边形BED1F的周长的最小值为10
【解答】解：对于选项A，取AA1中点M，取DD1靠近D1的三等分点N，
则四边形NMA1D1为平行四边形，四边形NMB1C1为平行四边形，
∴MN∥A1D1，MN∥B1C1，则B1C1∥A1D1，
∴A1，B1，C1，D1四点共面，故A选项错误；
对于选项B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，
∴该几何体的体积为，故B选项正确；
对于选项C，若BC中点为G，H为CC1的四等分点（靠近C1），
由已知CC1＝2，则，
延长AG、DC，设它们交于点M，则△ABG～△MCG，
又AB＝2，∴MG＝2，
延长D1H、DC，设它们交于点N，则△D1DN～△HCN，
则，即，
又DD1＝3，CC1＝2，则，则CN＝2，
∴点M与点N重合，即AG、DC、D1H三线共点，故C选项正确．
对于选项D，由题意，平面ADD1A1∥平面BCB1C1，
平面ADD1A1∩平面BED1＝D1F，平面BCB1C1∩平面BED1＝BE，
∴D1F∥BE，同理可得BF∥D1E，
∴四边形BED1F为平行四边形，则周长l＝2（BE+ED1），
沿CC1将右面和后面相邻两面展开，
当B，E，D1三点共线时，BE+ED1最小，最小值为，
∴截面四边形BED1F的周长的最小值为10，故D选项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025春 惠州月考）若圆锥的表面积为16π，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为　　 ．
【解答】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，
则l＝3r，πrl+πr2＝16π，解得r＝2，l＝6，h4，
所以圆锥的体积为．
故答案为：．
13．（2025春 浙江月考）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝4．，PB＝PC，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 　32π　 ．
【解答】解：因为三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，
又AB＝BC＝4．，PB＝PC，
所以P在BC的中垂面上，
所以P的轨迹为BC中垂面与以A为球心，为半径的球的交线，
即P的轨迹为如图以D为圆心，2为半径的圆，且O是BC的中点，如图所示，
因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，所以由勾股定理得，
由三角形面积公式得，
若三棱锥体积最大，则P到面ABC的距离最大即可，此时P在最上面，
易得PD＝2，AB＝BC＝DO＝4，CO＝2，
且由勾股定理得，此时，
则PC2+PA2＝32＝AC2，即AP⊥PC，
得到外接球球心为AC的中点，即球的半径为，
由球的表面积公式得球的表面积为．
故答案为：32π．
14．（2025 宁远县模拟）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，P点为四边形BB1C1C的中心，则四面体A1﹣B1PB的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积比为　　 ．
【解答】解：如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，
而四面体A1﹣ABC的体积，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 广东月考）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）求证：AB⊥平面ACC1A1；
（2）若异面直线BB1与A1C所成的角为30°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
【解答】解：（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以AA1⊥AB，
又AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB2+AC2＝BC2，所以AC⊥AB．
又AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1；
（2）因为BB1∥AA1，
所以异面直线BB1与A1C所成的角为∠AA1C＝30°，
又AA1⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AA1⊥AC，所以可得，，
所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
16．（2025春 浙江期中）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，O为正方形ABCD的中心．
（1）若正四棱锥P﹣ABCD的高为，求它的表面积．
（2）若正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为8π，求正四棱锥 P﹣ABCD的体积．
【解答】解：（1）因为正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，
所以底面正方形的边长为，
若正四棱锥P﹣ABCD的高为，
则其斜高为，
所以该正四棱锥的表面积为9；
（2）设正四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为R，
若正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为8π，
则4πR2＝8π，所以R，
又正方形ABCD的中心O到正方形顶点的距离为，
所以根据勾股定理可得：
球心到底面的距离为，
所以正四棱锥P﹣ABCD的高为或，
所以正四棱锥 P﹣ABCD的体积为或．
17．（2025春 万州区期中）如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥P﹣ABCD，下部是一个正方体，其中正四棱锥P﹣ABCD的高为，△PCD是等边三角形，CD＝6．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
【解答】解：（1）设M是CD的中点，连接PM，
因为△PCD是边长为6的正三角形，
所以PM⊥CD，且，
所以该几何体的表面积；
（2）连接AC，BD，设交点为O，连接PO，则PO是四棱锥 P﹣ABCD的高，
则，
所以，
又正方体的体积为6×6×6＝216，
所以该几何体的体积．
18．（2025春 岳麓区校级月考）如图，圆锥PO的底面半径和高均是a．
（1）过线段PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．
（2）若过线段PO上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面积．
【解答】解：（1）如图，设圆锥母线PB与圆柱交点为A，连接O′A，则PO＝OB＝a，
因为O′为PO中点，
所以圆柱的高OO'POa，圆柱的底面半径O′Aa，
因为圆锥内部挖去一个圆柱，
所以剩下几何体的体积Vππa3．
（2）因为圆锥PO的底面半径和高均是a，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的表面积S1，
设圆柱的半径为r，高为h，
由题意知，，即，
解得h＝a﹣r，
所以圆柱的侧面积S2＝2πr h＝2πr（a﹣r），
所以剩下几何体的表面积S＝S1+S22πr（a﹣r）2π πa2＝（）πa2，
当且仅当r＝a﹣r，即r时，等号成立，
故剩下几何体的最大表面积为（）πa2．
19．（2025春 秀英区校级期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，已知四棱锥P﹣ABCD在点A的曲率为，且PB＝PD，CB＝CD，．
（1）若点B的曲率为，∠PBC＝∠ABC，求四棱锥P﹣ABCD的表面积；
（2）若点E在PD上，且PE：ED＝2：1．试探究：在棱PC上是否存在点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
【解答】解：（1）
由，
利用余弦定理可得：，
由∠BAD∈（0，π）可得：，利用内角和定理可得，
此时，
又因为PB＝PD，PA＝AB＝AD，所以△PAD≌△PAB，即∠PAD＝∠PAB，
根据四棱锥P﹣ABCD在点A的曲率为，
可得，
利用内角和定理可得，此时
再由点B的曲率为，∠PBC＝∠ABC，可得，
因为，所以，又因为CB＝CD，所以三角形CBD是等边三角形，
此时，由于，
所以，利用△PBC≌△PDC，
可知，
所以四棱锥P﹣ABCD的表面积为；
（2）证明：
取M，F分别为PE，PC的中点，AC∩BD＝O，连接OE，BM，MF，BF，
利用中位线可知MF∥CE，又由CB＝CD，AB＝AD，可得△ABC≌△ADC，
即∠BAC＝∠DAC，又可证得△ABO≌△ADO，即BO＝OD，又因为E为MD中点，
所以OE∥BM，又因为OE 平面AEC，BMd平面AEC，
所以BM∥平面AEC，同理由MF∥CE，可证明MF∥平面AEC，
又因为BM∩MF＝M，BM，MF 平面BMF，所以平面BMF∥平面AEC，
又因为BF 平面BMF，所以BF∥平面AEC，此时F为PC的中点．
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