【期末重点专题】余弦定理、正弦定理-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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【期末重点专题】余弦定理、正弦定理-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b，则B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
2．（2025 吉林模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角A＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝4，b＝5，且，则△ABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 锦江区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2025春 广东月考）如图，某校高一几位同学测量平地上某建筑物CP的高度，从地面上一点A观察建筑物顶部P的仰角为α，朝建筑物方向向前20m到达点B，从点B观察P的仰角为，则建筑物CP的高度为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025春 浙江月考）如图，在海面上有两个观测点B，D相距2km，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为2km，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，则该船行驶的距离AC＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 山东期中）在△ABC中，，，若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025春 广东期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 岷县校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝2，，若△ABC有两个解，则b的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
（多选）10．（2025春 安徽月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，a＝4，b＝2，则符合条件的△ABC只有一个
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a3+b3＝c3，则△ABC是锐角三角形
D．若，则的最大值是
（多选）11．（2025春 江阴市校级月考）将锐角△ABC置于平面直角坐标系中，B（﹣1，0），C（1，0），A为x轴上方一点，设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且bccosA＝8，则△ABC的外心纵坐标可能落在以下（　　）区间内．
A．（0，1） B． C． D．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 盐城模拟）在△ABC中，，点M满足，设∠ABM＝α，∠CBM＝β，若sinα＝3sinβ，则sinC＝ 　 　 ．
13．（2025春 浦东新区校级期中）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长30米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为α、β，施工完成后发现CD与铅垂方向有偏差，现实际测得α＝39.48°，β＝19.82°，则广告牌CD的长度为 　 　 米．（结果精确到0.1）
14．（2025春 海州区期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 琼海校级模拟）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足2bcosA+ccosA+acosC＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若，BC边上的中线AM的长为2，求△ABC的面积．
16．（2025 德州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sinB＝sinA+cosAtanC．
（1）求C；
（2）若2（a+b）＝c2，求△ABC的边c的最大值．
17．（2025春 重庆校级月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若a＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（2025春 浙江月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A．
（2）D为边BC上一点，且AD＝2．
①若BD＝2DC，求当BC取最小值时的值；
②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围．
19．（2025春 广东月考）如图，某度假村为吸引游客，准备在门前O处的两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，∠MAB，设．
（1）试用含有θ的关系式表示|OA|，|OB|；
（2）该度假村准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA，OB的长度，才使得喷泉M与门前O处的距离最大？
【期末重点专题】余弦定理、正弦定理-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B A A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD BC BD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 罗湖区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知A＝45°，a＝6，b，则B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得sinB．
∵b＜a，∴B＜A＝45°，∴B＝30°，
故选：A．
2．（2025 吉林模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角A＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，，根据正弦定理得，
又sinA＞0，故，
又，根据正弦定理可得，
即，
根据余弦定理，
所以，
故B为锐角，则，
故cosA＝﹣cos（B+C）
，
又A∈（0，π），所以．
故选：C．
3．（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝4，b＝5，且，则△ABC的面积S＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为bcosC+ccosB＝4，b＝5，
因为，由正弦定理可得3，即b+c＝3a，
bcosC+ccosB＝4，由余弦定理可得b c 4，
即a＝4，
所以c＝3a﹣b＝12﹣5＝7，
可得cosC，所以sinC，
所以S△ABCabsinC4×54．
所以△ABC的面积为4．
故选：B．
4．（2025 锦江区校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意知，设∠BAD＝∠CAD＝α，
则∠BAC＝2α，如图所示，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得，
整理得，即，
又因为sinα≠0，
所以，
所以，
所以，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝32+22﹣2×3×2cos2α＝13﹣4＝9，
所以a＝3，
由，可得，解得．
故选：B．
5．（2025春 广东月考）如图，某校高一几位同学测量平地上某建筑物CP的高度，从地面上一点A观察建筑物顶部P的仰角为α，朝建筑物方向向前20m到达点B，从点B观察P的仰角为，则建筑物CP的高度为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设建筑物高度为h，，，AB＝20米，且AC﹣BC＝AB，
因此，即，
所以，
即，
则．
故选：A．
6．（2025春 浙江月考）如图，在海面上有两个观测点B，D相距2km，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为2km，5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°，则该船行驶的距离AC＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得∠BDC为直角，故∠ADC＝90°﹣∠ADB＝30°，
因为∠ABC＝30°，所以∠DAC＝∠DBC＝45°，A、B、C、D四点共圆，
所以∠DAC＝∠DBC＝45°，
在△ADC中，由正弦定理，可得ACkm．
故选：A．
7．（2025春 山东期中）在△ABC中，，，若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，，则AC＝2sinB，
若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则sinB＝1或，
则AC＝2或，
则边长AC的取值范围是．
故选：C．
8．（2025春 广东期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，，
则由正弦定理可得，．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025春 岷县校级月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝2，，若△ABC有两个解，则b的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：因为a＝2，，
当bsinA＜a＜b时△ABC有两个解，即，解得2＜b＜4，
故符合题意的有B、D．
故选：BD．
（多选）10．（2025春 安徽月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，a＝4，b＝2，则符合条件的△ABC只有一个
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若a3+b3＝c3，则△ABC是锐角三角形
D．若，则的最大值是
【解答】解：因为4，b＝3，
由正弦定理得，，角C有两个值，此时符合条件的△ABC 有两个，故A错误；
在△ABC中，由大边对大角知，A＞B可得a＞b，
由正弦定理得sinA＞sinB，故B正确；
由a3+b3＝c3，得0＜a＜c，0＜b＜c，则C是△ABC的最大内角，
又，
则，即C为锐角，△ABC是锐角三角形，故C正确；
由正弦定理得，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（2025春 江阴市校级月考）将锐角△ABC置于平面直角坐标系中，B（﹣1，0），C（1，0），A为x轴上方一点，设△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且bccosA＝8，则△ABC的外心纵坐标可能落在以下（　　）区间内．
A．（0，1） B． C． D．
【解答】解：由题知，a＝2，bccosA＝8，由余弦定理得16＝b2+c2﹣4 b2+c2＝20，
又，解得，同理：，
所以8＜b2＜20﹣c2＝12，
所以b2c2＝b2（20﹣b2）＝﹣（b2﹣10）2+100，
由二次函数性质可得96＜b2c2≤100，即，
又，所以，
所以cos2A，
因为A为锐角，所以，
所以，
则，即，
由外心定义可知，△ABC的外心在y轴上，
记△ABC的外心纵坐标为y0，则，
因为与和交集非空，与（0，1）和交集为空间，所以BD正确，AC错误．
故选：BD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 盐城模拟）在△ABC中，，点M满足，设∠ABM＝α，∠CBM＝β，若sinα＝3sinβ，则sinC＝ 　　 ．
【解答】解：在△ABM中，由正弦定理，可得，①
在△CBM中，由正弦定理，可得，②
联立①②，可得，
由题意，，则AM＝2CM，又sinα＝3sinβ，
所以．
故答案为：．
13．（2025春 浦东新区校级期中）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长30米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为α、β，施工完成后发现CD与铅垂方向有偏差，现实际测得α＝39.48°，β＝19.82°，则广告牌CD的长度为 　27.8　 米．（结果精确到0.1）
【解答】解：由题意得AB＝AC+CB＝110米，∠ADB＝180°﹣α﹣β＝120.7°，
在△ABD中，由正弦定理，可得BD81.34米，
在△BCD中，CD2＝BC2+BD2﹣2BC BDcosβ＝802+81.342﹣2×80×81.34cos19.82°≈772.72，
所以CD27.8米．
故答案为：27.8．
14．（2025春 海州区期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为　　 ．
【解答】解：由于，
由余弦定理可知2bccosA＝b2+c2﹣a2，
由面积公式可得，代入到已知条件可得：
，
因为bc≠0，化简可得，所以，
根据恒等变换可得，
因为锐角△ABC，
所以，则，所以可得，即，
所以，
则，
因为锐角△ABC，所以，，
则，又tanx在单调递增，
则，令，所以，
所以，
由对勾函数的单调性知在单调递减，在（1，2）单调递增，
当t＝1时，取到最小值y＝2，当或t＝2时，最大值，
则．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 琼海校级模拟）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足2bcosA+ccosA+acosC＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若，BC边上的中线AM的长为2，求△ABC的面积．
【解答】（1）由2bcosA+ccosA+acosC＝0及正弦定理得：
﹣2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，
因为A，B∈（0，π），所以sinB＞0，则，故；
（2）因为，M为BC中点，则，
由余弦定理得，得b2+c2＝28﹣bc，
在△AMB中，，
在△AMC中，，
因为∠AMB+∠AMC＝π，所以cos∠AMB+cos∠AMC＝0，
所以，22﹣（b2+c2）＝22﹣（28﹣bc）＝0，解得：bc＝6，
故△ABC的面积为．
16．（2025 德州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sinB＝sinA+cosAtanC．
（1）求C；
（2）若2（a+b）＝c2，求△ABC的边c的最大值．
【解答】解：（1）因为2sinB＝sinA+cosAtanC，所以2sinBcosC＝sinAcosC+cosAsinC，
即2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB，
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，
又因为0＜C＜π，所以；
（2）由（1）知，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab，
因为2（a+b）＝c2，则2（a+b）＝（a+b）2﹣3ab，
因此，
所以（a+b）2﹣8（a+b）≤0，解得a+b≤8，
当且仅当a＝b时取等号，所以，
所以△ABC的边c的最大值为4．
17．（2025春 重庆校级月考）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若a＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）根据题意可知，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，
根据正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
又根据余弦定理，可得，
又因为A∈（0，π），所以；
（2）由△ABC的面积为，可得，即，所以bc＝8，
因为a＝4，又根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得，
解得，所以△ABC的周长为．
18．（2025春 浙江月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求角A．
（2）D为边BC上一点，且AD＝2．
①若BD＝2DC，求当BC取最小值时的值；
②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理得：，
展开得：sinB+sinAcosB+cosAsinB，
所以，
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以，
所以，所以，
因为A∈（0，π），所以；
（2）①因为BD＝2DC，
所以，
所以
，
因为AD＝2，所以，
由余弦定理得，
所以
，
令，
则
，
则当且仅当，即时等号成立，
所以时，BC取最小值．
②因为AD为∠ADB的角平分线，
在△ABD中，由正弦定理得：，
即，
所以，，
所以
．
又因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即等号成立．
所以，即AB+3BD的取值范围为．
19．（2025春 广东月考）如图，某度假村为吸引游客，准备在门前O处的两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，∠MAB，设．
（1）试用含有θ的关系式表示|OA|，|OB|；
（2）该度假村准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA，OB的长度，才使得喷泉M与门前O处的距离最大？
【解答】解：（1）在△OAB中，由正弦定理得，则，
，则OA＝4sinθ；
（2）由，，
所以△AMB为正三角形，，
在△OMB中，由余弦定理得
，
由，得，则，
当时，即时，|OM|取最大值，
此时，，
所以当时，|OM|取最大值．
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