第十七章方差与频数分布期末单元复习题（含解析）

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第十七章方差与频数分布
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）
A． B．3 C． D．9
2．为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大
B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72
C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65
D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大
3．某班级的一次数学素养评估结果统计图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．得分在分的人数最多 B．该班的总人数为40
C．得分及格(分)的有12人 D．人数最少的得分段的人数为2
4．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ）
A．600条 B．1000条 C．1200条 D．2200条
5．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙的平均数均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，下列说法中不正确的是 （ ）
A．甲、乙射中的总环数相同 B．甲的成绩较稳定．
C．乙的成绩较稳定 D．乙的成绩波动较大．
6．在进行统计计算时，为了清除前一步输错的数据，应按键（ ）
A．STAT B．DEL C．DCA D．DATA
7．数据－2，－1，0，1，2的方差是(　　)
A．0 B． C．2 D．4
8．某公司春节期间为职工准备了A，B，C，D，E五种礼物，公司在全体职工中随机选取50人进行调查，每人只能选择一种自己喜欢的礼物．根据调查结果制作了一幅扇形统计图，已知扇形统计图中“A”部分的面积是“E”部分面积的5倍，该公司共1200位职工，据此以下对总体估计正确的是（ ）

A．A部分对应的圆心角为 B．选A种礼物人数约人
C．E部分对应的圆心角为 D．选E种礼物人数约人
9．某援哪医疗队名成员的年龄分别为：，关于这名成员的年龄，下列说法错误的是（ ）
A．众数是 B．极差是 C．平均数是 D．中位数是
10．下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏的中奖概率是则做10次这样的游戏一定会中奖
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据 8，8，7，10 ， 6，8 ，9 的众数和中位数都是 8
D．若甲组数据的方差 S= 0.01 ，乙组数据的方差 s＝ 0 .1 ，则乙组数据比甲组数据稳定
11．某单位采购了5箱苹果，得到每箱质量各不相同的五个数据．登记入帐时将最小的数据又少写了1，则计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．标准差
12．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼
A．500 B．1000 C．2000 D．3000
二、填空题
13．甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的酸奶，从甲、乙灌装的酸奶中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是：S甲2=4.8，S乙2=3.6，那么 （填“甲”或“乙”）机器灌装的酸奶质量较稳定．
14．甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同 ，且射击成绩的平均数，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是方差甲 方差乙．
15．若的方差是6，则的方差是 ．
16．贝贝在练习“投掷铅球”项目活动中进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：10，7，9，4，10．则贝贝5次成绩的极差是 ．
17．某单位职工的年龄(取正整数)的频数分布直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空：
(1)该单位职工共有 人；
(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是 ．
三、解答题
18．今年，苏州市政府的一项实事工程就是由政府投入1000万元资金．对城区4万户家庭的老式水龙头和13升抽水马桶进行免费改造．某社区为配合政府完成该项工作，对社区内1200户家庭中的120户进行了随机抽样调查，并汇总成下表：
改造情况 均不改造 改造水龙头 改造马桶
1个 2个 3个 4个 1个 2个
户数 20 31 28 21 12 69 2
(1)试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有 ___________户；
(2)改造后一只水龙头一年大约可节省5吨水，一只马桶一年大约可节省15吨水．试估计该社区一年共可节约多少吨自来水？
(3)在抽样的120户家庭中，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户？
19．为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某学校组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取九年级学生部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和频数分布直方图：
成绩 x/分 频数 频率
第1段
第2段
第3段
第4段
第5段
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求和；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该年级有名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀(分及以上)的人数．
20．“今天你光盘了吗？”这是国家倡导“厉行节约，反对浪费”以来的时尚流行语．某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生人数为　 　；
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）请你估计该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．
21．如图，这是某校初三年级同学们最喜爱的一项课外运动调查结果扇形图，但负责画此图的同学忘记了最喜爱篮球运动的人数．
(1)请你求出图中的x值；
(2)如果该年级最喜爱跳绳运动的同学有144人，那么这个年级共有多少人？
22．某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从全市24000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中和所表示的数分别为：= ，= ；
（2）请在图中，补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有多少名？
分数段 频数 频率
x＜60 20 0.10
60≤x＜70 28 0.14
70≤x＜80 54 0.27
80≤x＜90 0.20
90≤x＜100 24 0.12
100≤x＜110 18
110≤x≤120 16 0.08
23．某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7
甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96
乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜 88 a 96
乙种西瓜 88 90 b
（1）___________，___________；
（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
24．5月23、24日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0．12，乙同学计算出第一组的频率为0.04，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结合统计图回答下列问题：
(1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？
(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
(3)如果这次测试成绩中的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？
《第十七章方差与频数分布》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C C B C B D C
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】本题主要考查的是方差的求法.解答此类问题,通常用x1，x2，…，xn表示出已知数据的平均数与方差,再根据题意用x1，x2，…，xn表示出新数据的平均数与方差,寻找新数据的平均数与原来数据平均数之间的关系．
【详解】设原数据为x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2.根据题意，得新数据为，，…，，其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为.故选C.
【点睛】本题考查平均数与方差，会分别利用方差和平均数的公式去表示方差和平均数是解题的关键．其次根据题意给代数式进行等量变形也非常重要．
2．A
【分析】本题考查折线图，以及极差、中位数、众数、平均数的相关概念，根据极差，中位数，众数，平均数的定义，结合折线图进行逐项分析判断，即可解题．
【详解】解：A．由折线图可知，班级甲的极差为，班级乙的极差为，
，
班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大，故A项正确，符合题意；
B．由折线图可知，班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B项错误，不符合题意；
C．由折线图可知，班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C项错误，不符合题意；
D．由折线图可知，班级甲的平均数为：，
班级乙的平均数为：，
，
班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小．故D项错误，不符合题意；
故答案为：A．
3．C
【分析】本题考查频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义是正确解答的前提．根据频数分布直方图提供的信息，逐项进行判断即可．
【详解】解：由频数分布直方图可知：
A．得分在分的人数有14人，最多，正确，故不符合题意；
B．该班的总人数为（人），正确，故不符合题意；
C．得分及格的有（人），错误，因此选项C符合题意；
D．人数最少的得分段的频数为2，正确，故不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：．
故选：C．
5．C
【解析】略
6．B
【分析】根据计算器功能键作用进行解答即可.
【详解】在计算器的使用中，“DEL”键表示清除刚输入的数据，
因此为了清除前一步输错的数据，应按键“DEL”，
故选B.
【点睛】本题考查了应用计算器的能力，熟知计算器中“DEL”键表示清除刚输入的数据是解题的关键.
7．C
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2的平均数是：（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0，
∴数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是：．
故选C．
【点睛】本题考查方差的计算．
8．B
【分析】样本容量为50选择D种礼物的为12人，占总人数的；C部分圆心角为，占总人数的；B种礼物占，则A，E两种礼物共占，由“A”部分的面积是“E”部分面积的5倍得到A，E种礼物各占．逐项计算求解即可．
【详解】解：样本容量为50选择D种礼物的为12人，占总人数的；
C部分圆心角为，占总人数的；
B种礼物占，
∴A，E两种礼物共占
∵“A”部分的面积是“E”部分面积的5倍，
∴A，E种礼物各占．
∴A部分对应的圆心角为，故A选项错误；
E部分对应的圆心角为，故C选项错误，
选E种礼物人数约人，故D选项错误，
估计选择A种礼物的人数约人．故B选项正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形统计图，读懂题意正确求解是解题的关键．
9．D
【分析】根据众数，极差，平均数，中位数的定义逐一计算即可得出答案．
【详解】解：这8名成员中有3位的年龄是23，所以众数为23，故A正确；
这8位成员中最大年龄是50，最小年龄是23，所以极差为50-23=27，故B正确；
这8位成员年龄的平均数为(50+25+23+23+23+27+30+39)÷8=30，故C正确；
将这8位成员年龄从低到高排列为：23，23，23，25，27，30，39，50，排在中间的两位数为25，27，所以中位数为(25+27)÷2=26，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了众数，极差，平均数，中位数．熟练掌握众数，极差，平均数，中位数的定义是解题的关键．
10．C
【分析】众数，中位数，方差等概念分析即可．
【详解】解：A、中奖是偶然现象，买再多也不一定中奖，故是错误的；
B、全国中学生人口多，只需抽样调查就行了，故是错误的；
C、这组数据的众数和中位数都是8，故是正确的；
D、方差越小越稳定，甲组数据更稳定，故是错误．
故选C．
【点睛】考核知识点：众数，中位数，方差．
11．A
【分析】根据中位数的定义可知登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数．
【详解】解：登记入帐时将最小的数据又少写了1，计算结果不受影响的是中位数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查标准差、中位数、平均数及方差，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．C
【分析】本题考查了利用样本估计总体，分式方程的应用，理解样本的百分比等于总体的百分比是解题关键．设池塘里大概有条鱼，根据题意列分式方程求解即可．
【详解】解：设池塘里大概有条鱼，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
即池塘里大概有条鱼，
故选：C．
13．乙
【详解】因为4.8＞3.6，
所以S甲2＞S乙2，
因为方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
所以乙机器罐装的酸奶质量比较稳定.
故答案为乙
14．
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵甲的射击成绩比较稳定，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．
【分析】此题考查了方差，一组数据中的各个数据都加上或减去同一个数后得到的新数据的方差与原数据的方差相等；若一组数据中的各个数据都扩大或缩小几倍，则新数据的方差扩大或缩小其平方倍．设的平均数为，则，，的平均数为，则，由，，，即可得到，，的方差．
【详解】解：设的平均数为，则，，的平均数为，
则，
∵，，，
∴，，的方差为，
故答案为：．
16．6
【分析】根据极差的定义即可求得．
【详解】解：贝贝5次成绩的极差是10-4＝6．
故答案为：6．
【点睛】考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
17． 50 60﹪
【详解】试题分析：（1）根据人数总和即为该单位职工数计算；
（2）根据不小于38岁但不大于44岁的职工人数÷总人数=占总人数的百分比计算.
试题解析：（1）由直方图可知：该单位职工共有4+7+9+11+10+6+3=50人；
（2）不小于38岁但不大于44岁的职工人数为9+11+10=30人，则占总人数的百分比为30÷50=60%.
点睛：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．(1)1000
(2)20850
(3)63户
【分析】（1）首先计算样本中需要对水龙头、马桶进行改造的家庭所占的百分比，然后根据样本进一步估计总体；
（2）首先计算100户共节约用水量，再进一步计算该社区共节约用水量；
（3）根据题意设未知数，列方程即可求解：改造水龙头数改造马桶数既要改造水龙头又要改造马桶数．
【详解】（1）解：由题意得：估计该社区1200户家庭中需要对水龙头、马桶进行改造的家庭户数为
（户，
故答案为：1000；
（2）解：抽样的120户家庭一年共可节约用水：
（吨．
所以，该社区一年共可节约用水的吨数为（吨．
（3）解：设既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有户，则只改造水龙头不改造马桶的家庭共有户，只改造马桶不改造水龙头的家庭共有户，根据题意列方程，得
，解得，．
所以，既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有63户．
也可以从另一角度考虑，从表中数据可以看出，在这120户中，改造水龙头和改造马桶的户数之和为（户．
由于只有100户需要对水龙头、马桶进行改造，所以多出的就是既要改造水龙头又要改造马桶的家庭．因此，此类家庭的人数为（户．
答：既要改造水龙头又要改造马桶的家庭大约有63户．
【点睛】本题考查获取信息（读表）及综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，用样本估计总体，平均数，一元一次方程的应用，有理数的加法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．(1)
(2)图见解析
(3)该年级名学生中数学成绩为优秀(分及以上)的大约有人
【分析】（1）根据第1段的人数除以频率求得总人数，用总人数乘以第4段的频率求得，用第3段的人数除以总人数求得；
（2）根据，直接画出统计图即可求解；
（3）用乘以第4段与第5段的频率之和即可求解．
【详解】（1）解：调查人数为： (人)，
（2）由（1）可知，
补全频数分布直方图如下：
（3） (人)
答：该年级名学生中数学成绩为优秀(分及以上)的大约有人．
【点睛】本题考查了频数分布表，频数直方图，样本估计总图，掌握频数与频率的关系是解题的关键．
20．（1）200；（2）见解析；（3）720人．
【详解】（1）赞成的所占的百分比：1﹣30%﹣10%=60%，
抽取的学生总人数：120÷60%=200（人）；
（2）无所谓的人数是：200×30%=60（人），反对的人数是：200×10%=20（人）．
补全统计图如图：
（3）根据题意得：1200×60%=720（人）．
答：该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数有720人．
21．(1)79°
(2)540
【分析】（1）用360°减去其他几项所对的圆心角的度数，即可求解；
（2）根据喜爱跳绳的同学除以跳绳的圆心角所占的比例，可得答案．
【详解】（1）解：x=360°﹣70°﹣65°﹣50°﹣96°=79°；
（2）解：这个年级共有144÷=540人．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体，根据题意，能从统计图中获取准确信息是解题的关键．
22．（1）;，（2）见解析，（3）6960名．
【分析】（1）先求出总人数，再求a、b；
（2）根据计算的数据补全频率分布直方图；
（3）先计算出样本中的优秀率再乘以24000，即可估计出该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生人数．
【详解】（1）样本容量为：20÷0.1=200，a=200×0.20=40，b=18÷200=0.09；
（2）如图：
（3）（0.12+0.09+0.08）×24000=0.29×24000=6960（人）．
答：该市24000名九年级考生数学成绩为优秀的学生约有6960名．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．以及用样本估计整体的思想．
23．（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．
【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，
将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，
故答案为：a=88，b=90；
（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，
故答案为：乙；
（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．
【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
24．（1）150名（2） (3) 7人
【详解】解：（1）第二组的频率为0.12－0.04＝0.08，
又第二组的人数为12人，故总人数为： (人)．
∴这次共抽取了150名学生的一分钟跳绳测试成绩．
（2）第一组人数为150×0.04＝6(人)，第二组的人数为12人，
由第二、三、四组的频数比为4：17：15，设三组频数为4k，17 k，15 k，
由4k =12得k=3，∴第三组人数为51人，第四组人数为45人．
∴这次测试的优秀率为．
（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所以成绩为120次的学生至少有7人．
（1）根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的频率0.08；再由频数、频率和总量的关系可得总人数．
（2）根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和(1)的结论；容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率．
（3）由中位数的意义，作答即可．
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