第十六章一元二次方程期末单元复习题（含解析）

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第十六章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若a,b,c满足则关于x的方程的解是( )
A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无实数根
2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（　　）
A．﹣5 B．9 C．5 D．7
5．若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1 B．3- C．1+ D．2+
6．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）

A． B．
C． D．
7．华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价x元，根据题意列方程得( )
A．(40﹣x)(20+2x)＝1200 B．(40﹣x)(20+x)＝1200 C．(50﹣x)(20+2x)＝1200 D．(90﹣x)(20+2x)＝1200
8．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ）
A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
9．二次三项式-4x+7配方的结果是（　　）
A．+7 B．+3 C．+3 D．-1
10．某地2004年外贸收入为2．5亿元，2006年外贸收入到达到4亿元．若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（ ）．
A．2.5（1+x）2=4 B．（2.5+x%）2=4
C．2.5（1+x）（1+2x）2=4 D．2.5（1+x%）2=4
11．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
12．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（ ）
A．x=±-a B．x=±a+
C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a±
二、填空题
13．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是 解．
14．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：
解：∵， ①
∴， ②
∴． ③
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ．
15．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ．
16．已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ．
17．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是 ．
三、解答题
18．若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
19．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值．
21．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
22．关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
23．已知关于x的方程的两个实数根为，，且有，求的值．
24．已知一元二次方程
(1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
《第十六章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A C A D B A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.
【详解】因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0,
联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0,
代入ax +bx+c=0
得：ax -a=0
解得x=1或x=-1
故选C
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c的特殊关系.
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵实数满足，
∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为，
故选：A．
4．C
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝－2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m－7＝0，最后可将m2＋3m＋n变成m2＋2m＋m＋n，最终可得答案．
【详解】∵设m、n是一元二次方程x2＋2x 7＝0的两个根，
∴m＋n＝ 2，
∵m是原方程的根，
∴m2＋2m 7＝0,即m2＋2m＝7，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7 2＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练应用韦达定理.
5．A
【分析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【详解】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，解得：c=1．
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8，
∴图2是，
即的几何解法，
故选：C．
7．A
【详解】总利润=单件利润×数量；
单件利润=90－50－x，
数量=20+2x，
则（40－x）（20+2x）=1200．
故选A
8．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
根据各方程的特点逐一判别即可．
【详解】①，适合③直接开平方法；
②，适合公式法；
③，适合因式分解法；
④，适合因式分解法．
故选：D．
9．B
【详解】把二次三项式-4x+7配方为：
.
故选B.
10．A
【分析】设平均每年增长的百分率为x，则2005年的外贸收入为2.5(1+x)亿元，2006年的外贸收入为2.5(1+x) (1+x)亿元，依据题意列出方程：2.5(1+x) (1+x)=4.
【详解】设平均每年增长的百分率为x，依据题意列出方程：
2.5(1+x)2=4，
故选择A.
【点睛】本题重在理解2006年的增长是以2005年增长后的外贸收入为基础的.
11．C
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法求解一元二次方程是解题的关键．
用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴，，
故选：C．
12．A
【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．
【详解】∵b>0，
∴两边直接开平方,得：x+a=±，
∴x=±-a，
故选A
【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则
13．无实数
【分析】将原式看做关于x2+3x的一元二次方程，利用根的判别式进行判断．
【详解】解：将原式看做关于x2+3x的一元二次方程，
△=81-4×1×44＜0，
故答案为无实根．
【点睛】本题考查了根的判别式，
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
14． ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ，
【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解．
【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②，
原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数，
正确的解答过程为：，
，
，．
故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键．
15．2018
【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案．
进行求值即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
16．
【分析】根据一次函数的概念可得，，求解即可得出答案．
【详解】解：函数是关于x的一次函数，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于的不等式和方程是解题的关键．
17．16
【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．
【详解】解：分为两种情况：
情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解，
代入4到方程中，求得，
此时方程的两个解为4和8，
对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；
情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根，
∴△=12 -4k=0，解得k=36，
此时方程的两个解为6和6，
对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解．
18．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
19．(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭
(2)的值为
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，求解的值，进而可得的值；
（2）由题意得：，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，
解得：，
．
答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
∴的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．
（1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值．
【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴、，
∴，
解得或．
∵，
∴．
21．当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．
【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．
【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，
合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，
当b＝1时，原方程无解；
当b＞1时，原方程的解为y＝±；
当b＜1时，原方程无实数解．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．
22．解：（1）k≤0．（2）k的值为﹣1和0．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【详解】(1)∵方程有实数根，
∴△=22 4(k+1)≥0，
解得k ≤0
故k的取值范围是k≤0．
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得= 2,=k+1，
= 2 (k+1)
由已知,得 2 (k+1)< 1，解得k> 2
又由(1)k≤0，
∴ 2∵k为整数，
∴k的值为 1或0．
23．
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据判别式得到，由根与系数的关系得到，根据完全平方公式得到关于的一元二次方程，进行计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
．
而，
，
即．
整理得，
解得．
，
．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
（1）将代入原方程即可；
（2）将代入原方程即可；
（3）将代入原方程即可．
【详解】（1）解：将代入原方程得：，即；
（2）解：将代入原方程得：，即；
（3）解：将代入原方程可得：，
∴．
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