第八章平行线的有关证明期末单元复习题（含解析）

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第八章平行线的有关证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
3．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：

①；②；③；④，其中能判断的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）
A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
5．如图，，，平分，则为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三角形的一个外角为，则三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
7．如图，已知，下列结论正确的是（ ）

A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF
C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．同旁内角相等，两直线平行
C．钝角三角形只有一条高线
D．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
9．如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　）

A．46° B．90° C．96° D．134°
10．下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题是判断一件事情的句子
B．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
C．公理的正确与否必须用推理的方法来证实
D．要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
11．把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是（ ）
A．48° B．57° C．60° D．66°
二、填空题
13．如图，、的角平分线交于点，若，，则 ．

14．直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，则∠C的度数是 ．
15．如图，将三角形纸片ABC沿EF折叠，使得A点落在BC上点D处，连接DE，DF，．设，，则α与β之间的数量关系是 ．
16．如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内．经测量，要使木条，则的度数应为 ．
17．在同一平面内，两条直线有 种位置关系，它们是 ．
三、解答题
18．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，已知：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
(1)若∠DCE＝40°，则∠ACE＝ ，∠ACB＝ ．
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系，并证明你的结论．
(3)若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，若∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请画出图形，并直接写出∠ACE角度所有可能的值．
19．如图，AB∥CD，∠A=75°，∠C=30°，求∠E的度数．
20．如图，已知直线b ∥c，a⊥b ，求证：a⊥c
21．在下面的括号内，填上推理的根据．
如图，和相交于点，．求证．
证明：∵，
∴（________________）．
∴（________________）．
22．如图，在直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，且．轴，轴，，交于点，为的中点．
(1)求点的坐标．
(2)点是线段上一点（不与点，重合），用含的式子表示并求整点（横、纵坐标均为整数）的坐标．
(3)点在上（点不与，重合），，交于点，，的平分线交于点．当点P在线段上运动时，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由．
23．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为．
①在旋转过程中，当时，求的值．
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值．
24．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．
小明的证明过程如下：
已知：如图，．求证：．
证明：延长，过点作．
∴______（两直线平行，内错角相等），
（_______________）．
∵（平角定义），
∴．
（1）请你补充完善小明方法1的证明过程；
（2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程．
《第八章平行线的有关证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C B D D C C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点．
过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作，
∵，平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
，，
∴，
，
即，，
∴，
∴
∴
∴
故选A．
2．A
【分析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，再根据三角形内角和定理求出x的值即可．
【详解】解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，
则x+2x+x+20°=180°，
解得x=40°，即∠A=40°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
3．B
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：①∵∠1=∠3，∴AD∥BC；
②∵∠2+∠5=180°，∠5=∠AGC，∴∠2+∠AGC=180°，∴AB∥CD；
③∵∠4=∠B，∴AB∥CD；
④∵∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．C
【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本考查平行线的性质、角平分线的概念．掌握平行线的性质是解题的关键．
6．B
【分析】利用三角形外角与内角的关系计算．
【详解】解：一个外角为，所以与它相邻的内角的度数为，
所以三角形为钝角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，熟练掌握分类标准是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.由无法得出，错误；
B.由无法得出，错误；
C.∵，
∴，
∴，错误；
D.∵，
∴，，
∴，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．D
【分析】分别利用三角形全等判定的条件、平行线的判定、高线的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A项，三个角相等的两个三角形不一定全等，故错误，是假命题；
B项，同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；
C项，所有三角形均有三条高线，故错误，是假命题；
D项，有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题.
故选D.
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据有关性质对各个选项进行逐一的判断，难度不大．
9．C
【分析】由题意易得∠1+∠3+∠2＝180°，然后问题可求解．
【详解】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∵∠1＝38°，∠2＝46°，
∴∠3＝96°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
【详解】解：A、正确，是命题的定义；
B、正确，符合证明的定义；
C、错误，是人们在长期实践中总结出来的基本数学知识并作为判定其它命题真假的根据，不需要由其他判断加以证明．
D、正确，是我们证明假命题常用的方法．
故选C．
【点睛】解答本题要正确理解公理的定义，公理是经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理．
11．D
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：∵∠1＝47°，
∴∠3＝90° ∠1＝90° 47°＝43°，
∴∠4＝180° 43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．
12．B
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，再根据平角的性质即可求解．
【详解】解：延长BC到F，
∵纸带对边互相平行，
∴∠1＝∠3＝∠EBC，
由折叠可得，∠5＝∠4，
∵，
∴∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠4＝∠5=57°，
∴=57°
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
13．/度
【分析】延长交于点，根据角平分线的定义，得，，根据三角形的外角和，得，，根据等量代换，；根据，，根据等量代换，得，联立，即可求出．
【详解】延长交于点，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由得，，
解得：，
故答案为：．

【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的定义，三角形的外角和．
14．20°或90°．
【分析】分∠A是直角或者∠C是直角两种情况，进而求出∠C的度数．
【详解】若∠A是直角时，
∵△ABC是直角三角形,∠A ∠B=20 ，
∴∠B=70°，
∴∠C=20°，
若∠C是直角,∠A=55°,∠B=35°，满足题意，
即∠C的度数是20°或90°，
故答案为20°或90°.
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论直角的情况.
15．
【分析】由折叠的性质可知：，再利用三角形内角和定理及角之间的关系证明，，即可找出α与β之间的数量关系．
【详解】解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质求出，根据角之间的关系求出，．
16．/70度
【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解本题的关键．
【详解】解：当时，则，
∴，
故答案为：
17． 两 相交和平行
【分析】本题考查了在同一平面内两条直线之间的位置关系，较简单，要注意垂直只是属于相交的一种特殊情况．在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行，其中垂直是相交的一种特殊情况．
【详解】解：在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行，
故答案为：两，相交和平行．
18．(1)50°，140°
(2)∠ACB与∠DCE互补．理由见解析
(3)45°或30°
【分析】（1）由∠ACE=∠ACD-∠DCE和∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE求解即可；
（2）由∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE求解即可；
（3）分类讨论BEAC，BCAD两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵ACD＝∠BCE＝90°，∠DCE＝40°
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°﹣40°＝50°
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣40°＝140°．
故答案为：50°，140°．
（2）解:∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
由（1）可得∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝180°﹣∠DCE．
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）解:①当BEAC时，∠ACE＝∠E＝45°，
②当BCAD时，∠BCD＝∠D＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝30°．
∴∠ACE＝45°或30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角度和差等知识点，掌握平行线的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键．
19．45°．
【分析】由AB∥CD，∠A=75°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠E的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=75°，
∴∠1=∠A=75°，
∵∠C=30°，
∴∠E=∠1﹣∠C=75°﹣30°=45°．
【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．见解析
【分析】先根据已知条件得，再根据平行线的性质可得，进而可得结论．
【详解】，
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直定义，根据平行线的性质得是解题关键．
21．内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据已知可得AC//BD，继而再根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行， 内错角相等）
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
22．(1)
(2)，
(3)不变，
【分析】（1）由非负数的性质得出，，解一元一次方程即可得出结论；
（2）由三角形面积得出，则得出，由题意求出，，则可得出答案；
（3）过点作，则，由平行线的性质可证，同理，角平分线的定义得出，，则可求出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴且，
∴，，
∴点的坐标为．
（2）如图，连接，
∵为的中点，
∴，
∵
∴．
∴，
∵，都为整数，且，，
∴，，
∴整点Q的坐标为．
（3）的大小不会变化，．理由如下：
过点作，
∴，
∵轴，轴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
即，
同理，
∵CF平分，EF平分，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴当点P在线段上运动时，的大小不变，的度数为．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，三角形的面积的计算方法，平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义等知识．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．(1)60°
(2)①15s；②7．5s或70s
【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQMN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）解：①如图②中，
∵BGCD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴2t＝30，
∴t＝15s．
∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s．
②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN＝∠KRN，
过点K作KTPQ，则PQKTMN，
∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT，
∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t，
∴2t＝30°﹣2t，
∴t＝7.5s．
如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°，
∴2t+t﹣30°＝180°，
∴t＝70s．
综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
24．（1）；两直线平行，同位角相等；（2）见解析
【分析】（1）根据内错角以及平行线的性质回答即可；
（2）过点作，利用平行线的性质得到，，进而利用平角的定义得到结论．
【详解】解：（1）根据题意，（两直线平行，同位角相等），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；
（2）证明：过点作，
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵（平角定义）
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
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