期末满分冲刺压轴题二
1．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝（ ）
A．49 B． C．9 D．
2．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人．
3．同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶120千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是60千米．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回A地，乙车继续行驶，到B地后立即掉头返回A地．最终两车都到达A地，则B地最远可距离A地 千米．
4．学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
5．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 ，余式为 ．
6．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
7．许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，请根据以上信息完成下列解答．
（1）起点与终点的距离为多少米？
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？
（3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为8000步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？
8．对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 ．
9．如图1，将一张宽度相等的纸条（AD∥BC）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C′E交AD于点G．
（1）若∠AGC'＝128°，则∠FEC＝ 度．
（2）如图2，在（1）的条件下，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C′，D′的对应点分别为C″，D″，再将长方形ABCD沿着PQ翻折，记A，B的对应点分别为A′，B′，折痕为PQ（点P在BC上，点Q在AD上）．若A'B'∥C″D″，求∠BPQ的度数．
（3）如图3，分别作∠AGE，∠BEG的平分线交于点M，连结GM，EM，BM，作∠BME的平分线交BE于点N，延长GM交BE于点Q．若∠MBE＝8°，∠FGC″比∠GFE多27°，求∠QMN的度数.
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABM＝α（0°＜α＜75°且α≠60°），激光笔发出的光束DG射到平面镜上后，形成反射光束GH，发现∠AGH＝∠BGP，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则GH与天花板所形成的角∠PHG的度数可用含α的代数式表示为 ．
11．一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（ ）
A．24 B．27 C．31 D．36
12．设，其中整数a1，a2，a3…，an满足0＜a1＜a2＜ ＜an（n为整数），则当n＝1，m＝8时，a1＝ ；当n＝3，0＜m＜200时，m的最大值为 ．
13．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．
14．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（ ）
A．6 B．7 C．3 D．5
15．一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（ ）
A．53.4
B．51
C．
D．
16．某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
17．将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 ．
18．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4．
（1）比较大小：∠1+∠2 ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 ．
19．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
（1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD．
①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数．
②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系．
（2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI．
①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数．
②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由．
20．图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背FG与水平地面AB的夹角α＝ °．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点H，FH平分∠AFB．若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝ °．
21．如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31
22．学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等）．小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（A、B）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
24．如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成M×N（M≥N），其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成A＝M×N的过程，称为“完美分解”．例如，因为525＝21×25，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即A＝M×N，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
25．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿AB折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若CD∥AE，则图2中∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠2＝3∠1 B．∠1+∠2＝180°
C．∠2﹣∠1＝90° D．3∠2﹣2∠1＝360°
26．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E．
（1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系．
27．小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
(
1
)期末满分冲刺压轴题二
1．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝（ ）
A．49 B． C．9 D．
【分析】根据题意将分式拆分以后求得A，B的值，然后将其代入（B+1）﹣（A+1）中计算即可．
【解答】解：
，
则A＝1，B＝2，
那么（B+1）﹣（A+1）＝（2+1）﹣（1+1）＝3﹣2，
故选：D．
2．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 65 人．
【分析】设原长方形彩旗队阵有同学n人，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，根据题意列出方程组，即可求出a、b的值，从而求出n的值．
【解答】解：设原长方形彩旗队阵有同学n人，
由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数，
设n+16＝a2，n﹣16＝b2，
则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32，
由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得
，
解得，
所以n＝a2﹣16＝65（人），
故答案为：65．
3．同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶120千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是60千米．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回A地，乙车继续行驶，到B地后立即掉头返回A地．最终两车都到达A地，则B地最远可距离A地 80 千米．
【分析】设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙车行驶到B地再返回A地时燃料用完，设AC＝x千米，AB＝y千米，根据“两车行驶的总路程为120×2千米，到C地时甲车加注到乙车里面的燃料等于甲车行驶到C地消耗掉的燃料”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可得出B地最远可距离A地80千米．
【解答】解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙车行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AC＝x千米，AB＝y千米，
根据题意得：，
解得：．
∴B地最远可距离A地80千米．
故答案为：80．
4．学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【分析】设原队列有m人，增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列，根据“如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列”，可列出关于a，b，m的方程组，两方程作差后，可得出a2﹣b2＝128，结合128＝64×2＝32×4＝16×8，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入m＝a2﹣54中，即可求出结论．
【解答】解：设原队列有m人，增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列，
根据题意得：，
①﹣②得：a2﹣b2＝128，
∵128＝64×2＝32×4＝16×8，
∴或或．
当时，，
∴m＝a2﹣54＝332﹣54＝1035；
当时，，
∴m＝a2﹣54＝182﹣54＝270；
当时，，
∴m＝a2﹣54＝122﹣54＝90．
答：原队列有1035人或270人或90人．
5．在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得（x2﹣3x+11）÷（x+2）的商式为x÷5，余式为22，如图所示．运用此方法，那么（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为 3x2﹣x+2 ，余式为 3 ．
【分析】仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
∴（3x3+2x2+x+5）÷（x+1）的商式为3x2﹣x+2，余式为3，
故答案为：3x2﹣x+2，3．
6．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【分析】妈妈两次加油共需付款及爸爸两次加油升数，进而表示出两人的平均单价，列出关系式，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，确定出差的正负即可作出判断．
【解答】解：根据题意得：妈妈每次加油共需付款a（x+y）元，爸爸两次能加升油，
若爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，则M，N，
∵N﹣M0，
∴爸爸的加油方式更合算，
故选：A．
7．许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，请根据以上信息完成下列解答．
（1）起点与终点的距离为多少米？
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？
（3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为8000步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？
【分析】（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米，利用起点与终点的距离＝每步的长度×步数，结合起点与终点的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入（5340﹣340）x中，即可求出起点与终点的距离；
（2）利用速度＝总步数÷所用时间，可求出小明的速度（单位是步/分钟），结合小明每分钟比小红多跑20步，可求出小红的速度，利用所用时间＝总步数÷速度，可求出小红到达终点所用时间，再减去小明所用时间，即可求出结论；
（3）设小明的运动时间为m分钟，小红的运动时间为n分钟，根据跑步结束后两人跑步的步数之和恰为8000步，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（x+0.2）米，
根据题意得：（4690﹣690）（x+0.2）＝（5340﹣340）x，
解得：x＝0.8，
∴（5340﹣340）x＝（5340﹣340）×0.8＝4000．
答：起点与终点的距离为4000米；
（2）根据题意得：小明的速度为（4690﹣690）÷20＝200（步/分钟），
小红的速度为200﹣20＝180（步/分钟），
小红跑到终点所需时间为（5340﹣340）÷180（分钟），
小明在终点等待小红的时间为20（分钟）．
答：小明要在终点处等小红分钟；
（3）设小明的运动时间为m分钟，小红的运动时间为n分钟，
根据题意得：200m+180n＝8000，
∴m＝40n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种情况：
情况1：小明的运动时间为31分钟，小红的运动时间为10分钟；
情况2：小明的运动时间为22分钟，小红的运动时间为20分钟；
情况3：小明的运动时间为13分钟，小红的运动时间为30分钟；
情况4：小明的运动时间为4分钟，小红的运动时间为40分钟．
8．对于实数a，我们定义如下运算：若a为非负数，则[a]＝a；若a为负数，则[a]＝a．例如：[1]＝1，[﹣0.5]＝﹣0.50．则方程组的解为 和 ．
【分析】分类讨论m﹣1与n﹣2分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出m与n的值，即可作出判断．
【解答】解：当m﹣1≥0，n﹣2≥0，即m≥1，n≥2时，
方程组变形得：，
两方程相减得：6（n﹣2），
解得：n，
把n代入得：m﹣14（2）＝2
解得：m，
此时方程组的解为；
当m﹣1≥0，n﹣2＜0，即m≥1，n＜2时，
方程组变形得：，
两方程相减得：6（n﹣2），
解得：n，
把n代入得：m﹣14（2）＝2，
解得：m，
此时方程组的解为；
当m﹣1＜0，n﹣2≥0，即m＜1，n≥2时，
方程组变形得：，
两方程相减得：6（n﹣2），
解得：n2，不符合题意，舍去；
当m﹣1＜0，n﹣2＜0，即m＜1，n＜2时，
方程组变形得：，
两方程相减得：6（n﹣2），
解得：n，
把n代入得：m﹣14（2）＝2，
解得：m1，不符合题意，舍去，
综上所述，方程组的解为和．
9．如图1，将一张宽度相等的纸条（AD∥BC）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C′E交AD于点G．
（1）若∠AGC'＝128°，则∠FEC＝ 26 度．
（2）如图2，在（1）的条件下，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C′，D′的对应点分别为C″，D″，再将长方形ABCD沿着PQ翻折，记A，B的对应点分别为A′，B′，折痕为PQ（点P在BC上，点Q在AD上）．若A'B'∥C″D″，求∠BPQ的度数．
（3）如图3，分别作∠AGE，∠BEG的平分线交于点M，连结GM，EM，BM，作∠BME的平分线交BE于点N，延长GM交BE于点Q．若∠MBE＝8°，∠FGC″比∠GFE多27°，求∠QMN的度数.
【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得∠GEC+∠FGE＝180°，再由折叠的性质可得∠FEC＝∠FEG，即可求出∠BPQ的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，当AB向下翻折 时，当AB向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的 性质，即可求出∠BPQ的度数．
（3）补全图形后，设∠GFE＝x，则∠FGC'＝x+27°，根据折叠的性质和平行线的性质，可得∠GEC＝∠FGC＝2x，即∠C'GF＝∠FGC'代入数值解得x＝27°，根 对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出∠QMN的 度数．
【解答】解：（1）∵∠AGC'＝128°，
∴∠AGC'＝∠FGE＝128°，
∵AD∥BC，
∴∠GEC+∠FGE＝180°，
∴∠GEC＝52°，
根据折叠的性质可得∠FEC＝∠FEG，
∴，
故答案为：26．
（2）当AB向下翻折时，根据题意补充全图，如图1所示：
∵∠GEC＝52°，AD∥BC，
∴∠CEG＝∠FGC'＝52°，
根据折叠的性质可得∠C'GF＝∠FGC'＝52°，
∵AB'∥C'D'再根据折叠的性质可得 GC'∥QA'，
∴∠C'GF＝∠AQG＝52°，
∴∠AQA＝180°﹣∠AQG＝128°，
根据折叠的性质可得 ，
∵AD∥BC，
∴∠BPQ＝180°﹣∠AQP＝180°﹣64°＝116°，
当AB向上翻折时，BP交AD与点H，如图2所示：
由上可得 C'GF＝∠PHG＝52°，
∵AD∥BC，∴∠BPH＝∠PHG＝52°，
根据折叠的性质可得 ，
综上可得∠BPQ的度数为26°或116°．
（3）补全图形，如图3所示：
设∠GFE＝x，则∠FGC'＝x+27°，
根据折叠的性质可得∠FEG＝∠FEC＝x，
∵AD∥BC，∴∠GEC＝∠FGC'＝2x，
根据折叠的性质可得∠C'GF＝∠FGC'
∴2x＝27°+x，
解得 x＝27°，
∴∠FGC'＝27°×2＝54°，
∴∠FGC'＝∠AGE＝54°，
∵∠AGQ＝∠QGE，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AGO＝∠OGE＝∠GOE＝27°，∠QEG＝180°﹣∠AGE＝180°﹣54°＝126°，
∵∠QEM＝∠GEM，
∴，∠MBE＝8°，
∴∠BME＝180°﹣63°﹣8°＝109°，
∵∠BMN＝∠EMN，
∴，
∴∠MNE＝180°﹣54.5°﹣63°＝62.5°，∠GQE＝27°，
∴∠QMN＝62.5°﹣27°＝35.5°．
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角∠ABM＝α（0°＜α＜75°且α≠60°），激光笔发出的光束DG射到平面镜上后，形成反射光束GH，发现∠AGH＝∠BGP，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则GH与天花板所形成的角∠PHG的度数可用含α的代数式表示为 150°﹣2α.30°+2α． ．
【分析】当点H在点P的右侧时，如图1，过点G作GQ∥MN，则GQ∥∠EF，求出∠TGH，利用反射定律求出∠PGT，再利用平行线的性质定理求出∠PHG＝150°﹣2α；当点H在点P的左侧时，如图2，由反射定律求出∠PGT，再利用平行线的性质定理求出∠PHG＝30°+2α．
【解答】解：（1）当点H在点P的右侧时，如图1，过点G作GQ∥MN，则GQ∥EF，
则∠PHG＝∠HGQ，∠BGQ＝∠ABM＝α
∠EPG＝∠PGQ＝30°，
由反射定律，得
TG⊥AB，
∴∠TGH＝90°﹣∠PHG﹣∠BGQ，
＝90°﹣∠PHG﹣α，
∴∠PGT＝90°﹣∠PHG﹣α，
∴∠PGH＝2（90°﹣∠PHG﹣α）
∴∠PGH+∠PHG＝∠EPG，
即 2（90°﹣∠PHG﹣α）+∠PHG＝30°，
∴∠PHG＝150°﹣2α．
（2）当点H在点P的左侧时，如图2，过点G作GQ∥MN，则GQ∥EF，
则∠HPG＝∠PGQ，∠BGQ＝∠ABM＝α，
∠EPG＝∠PGQ＝30°，
∠EHG＝∠HGQ，
由反射定律，得
TG⊥AB，
∴∠PGT＝90°﹣∠BGQ﹣∠PHG＝90°﹣α﹣30°＝60°﹣α，
∴∠HGT＝∠PGT＝60°﹣α，
∵∠PHG+∠HGQ＝180°，
即∠PHG+2∠HGT+∠PGQ＝180°，
∠PHG+2（60°﹣α）+30°＝180°，
∴∠PHG＝30°+2α．
11．一组有序排列的数：a1，a2，a3，…，an，…（n为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，a1﹣a4＝5，那么a2024+a2027＝（ ）
A．24 B．27 C．31 D．36
【分析】先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解．
【解答】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z，
由题意，得：xy＝m2，y＝m2m，yz，
∴x＝m，z，
∴这组数据为m，m2，m，，，，m，m2，……，
即这组数以m，m2，m，，，，6个为一组，进行循环，
∵2024÷6＝337……2，2027÷6＝337……5，
∴第2024个数是m2；第2027个数是，
∵a1﹣a4＝5，
∴m5，
∴a2024+a2027＝m2（m）2+2＝25+2＝27，
故选：B．
12．设，其中整数a1，a2，a3…，an满足0＜a1＜a2＜ ＜an（n为整数），则当n＝1，m＝8时，a1＝ 3 ；当n＝3，0＜m＜200时，m的最大值为 196 ．
【分析】依据题意，当n＝1，m＝8时，则8，又23＝8，进而可得a1＝3；又当n＝3，0＜m＜200时，则m，结合27＝128，28＝256，从而a1，a2，a3中，最大为7，又整数a1，a2，a3，…，an满足0＜a1＜a2＜…＜an，故当a1＝3，a2＝6，a3＝7时，m＝23+26+27＝8+64+128＝200，又当a1＝2，a2＝6，a3＝7时，m＝22+26+27＝8+64+128＝196＜200，进而可得m的最大值，即可得解．
【解答】解：由题意，当n＝1，m＝8时，则8．
∵23＝8，
∴a1＝3．
当n＝3，0＜m＜200时，则m．
∵27＝128，28＝256，
∴a1，a2，a3中，最大为7．
∵整数a1，a2，a3，…，an满足0＜a1＜a2＜…＜an，
∴当a1＝3，a2＝6，a3＝7时，m＝23+26+27＝8+64+128＝200．
当a1＝2，a2＝6，a3＝7时，m＝22+26+27＝8+64+128＝196＜200．
∴m的最大值为22+26+27＝196．
故答案为：3；196．
13．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有 2n2﹣2n+1 个．
【分析】根据给出的四个图形可知，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数．
【解答】解：分析可得：组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为
n2；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（n﹣1）2，
∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数共有：n2+（n﹣1）2．＝2n2﹣2n+1
故答案为：2n2﹣2n+1．
14．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（ ）
A．6 B．7 C．3 D．5
【分析】先把已知等式变成A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，然后利用完全平方公式进行计算，最后根据底数是2的幂的计算结果，找出末位数字的规律，按照此规律求出答案即可．
【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+2
＝（216﹣1）（216+1）+2
＝232﹣1+2
＝232+1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…，
∴末位数字分别为2，4，8，6，每四个一循环，
∵32÷4＝8，
∴232的末位数字为6，
∴232+1 的末位数字为7，
故选：B．
15．一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，列出了以下四个方程，则正确的是（ ）
A．53.4
B．51
C．
D．
【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km，根据王老师从家到学校需51分钟，列出方程即可．
【解答】解：设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km，则下坡为（3.3﹣x﹣y）km，
根据王老师从家到学校需51分钟，得，
根据王老师从学校到家需53.4分钟，得．
故选项C符合题意．
故选：C．
16．某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱．
（1）问苹果、橙子各购买了多少箱？
（2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？
【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可；
（2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a+3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a+3b＝100整体代入即可得到答案．
【解答】解：（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，
根据题意得，，
解得，，
答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱．
（2）由题意可得销售商在甲店获利为：12a+18b＝600（元），
整理得，2a+3b＝100，
销售商在乙店获利为：10（50﹣a）+15（30﹣b）
＝950﹣10a﹣15b
＝950﹣5（2a+3b）
＝950﹣5×100
＝450（元），
即在乙店获利450元．
答：在乙店获利450元．
17．将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣9≥﹣9，∴当x＝2时，多项式x2﹣4x﹣5有最小值﹣9．已知a，b为实数，多项式（x+3）（3x+a）展开后x的一次项系数为m，多项式（3x+2）（x+b）展开后x的一次项系数为n，且m，n均为正整数．则当m+n＝17时，ab的最大值为 3 ．
【分析】先根据题意出a与b的关系，再变式代入，配方求解．
【解答】解：由题意得：m＝9+a，n＝3b+2，
∴m+n＝a+3b+11＝17，
∴a+3b＝6，
∴a＝6﹣3b，
∴ab＝（6﹣3b）b＝﹣3b2+6b＝﹣3（b﹣1）2+3≤3，
∴ab的最大值为3，
故答案为：3．
18．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4．
（1）比较大小：∠1+∠2 ＝ ∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，α与β满足的数量关系为 30°β ．
【分析】（1）根据平行线的性质求解；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义求解．
【解答】解：（1）根据“箭头模型”得：∠1+∠2＝∠G＝90°，∠3+∠4＝∠M＝90°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故答案为：＝；
（2）①当F在E右侧时，
∵AB∥CD，EH∥MN，
∴∠AFP＝∠FPD＝β，∠MND＝∠EHD＝α，
由“箭头模型”得∠BFM＝90°﹣∠MND＝90°﹣α，
∴∠AFN＝180°﹣30°﹣（90°﹣α）＝60°+α，
∵FP平分∠AFN，
∴∠AFP∠AFN＝30°β，
∴30°β；
②当F在E左侧时：如图：
同理可得：∠MND＝∠EHD＝α，∠BFN＝∠FNC，∠FPN＝∠BFP∠EFN＝β，
∴∠EFN＝∠FNC＝2β，
∵∠FNC+∠FNM+∠MND＝180°，
∴2β+60°+α＝180°，
∴2β+α＝120；
综上所述，30°β或2β+α＝120．
19．光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
（1）如图2，已知有两个平面镜镜面MO与镜面ON，入射光线AB能够经镜面ON，OM形成反射，记反射光线分别为BC，CD．
①当∠ABN＝50°，AB∥CD时，求∠MCD的度数．
②记∠ABN＝α，∠DCM＝β，当AB∥CD时，求α，β之间的等量关系．
（2）如图3，已知有三个平面镜AB，BC，CD，其中镜面CD放在水平地面上固定，调整镜面AB与镜面BC的摆放角度，使得入射光线EF能够经镜面AB，BC，CD形成反射，记反射光线分别为FG，GH，HI．
①当∠AFE＝40°，∠ABC＝110°，FE∥HI时，求∠BCD的度数．
②记∠AFE＝m，∠BCD＝n，当m，n存在怎样的等量关系时，有FE∥HI成立．请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由．
【分析】（1）①依题意得∠1＝∠ABN＝50，则∠ABC＝80°，由AB∥CD得∠DCB＝100°，根据∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°可得∠MCD的度数；
②依题意得∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β，则∠CABC＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣2β，根据AB∥CD得∠ABC+∠BCD＝180°，由此可得α，β之间的等量关系；
（2）①过点G作GP∥EF，依题意得∠1＝∠AEF＝40°，则∠5＝100°，根据∠ABC＝110°得∠2＝∠3＝30°，则∠FGH＝120°，再根据GP∥EF得∠FGP＝80°，则∠PGH＝40°，证明GP∥HI得∠6＝140°，然后根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，得∠4＝20°，由此可得∠BCD的度数；
②依题意得∠1＝∠AEF＝m，则∠5＝180°﹣2m，根据∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°得∠4＝90°∠6，根据∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°得∠3＝90°∠FGH，则∠BCD（∠6+∠FGH），则∠FGH＝2∠BCD﹣∠6＝2n﹣∠6，证明FE∥GP∥HI得∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°，即∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°，进而得2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°，据此可得m，n之间的等量关系．
【解答】解：（1）①如图2所示：
∵∠ABN＝50°，
∴∠1＝∠ABN＝50，
∴∠ABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵∠2＝∠MCD，∠2+∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠MCD（180°﹣∠DCB）（180°﹣100°）＝40°；
②α，β之间的等量关系是：α+β＝90°，理由如下：
依题意得：∠1＝∠ABN＝α，∠2＝∠DCM＝β，
∴∠CABC＝180°﹣（∠1+∠ABN）＝180°﹣2α，∠BCD＝180°﹣（∠2+∠DCM）＝180°﹣2β，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
即180°﹣2α+180°﹣2β＝180°，
∴α+β＝90°；
（2）①过点G作GP∥EF，如图3①所示：
∵∠1＝∠AEF＝40°，
∴∠5＝180°﹣（∠1+∠AEF）＝100°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣（∠1+∠ABC）＝180°﹣（40°+110°）＝30°，
∴∠FGH＝180°﹣（∠2+∠3）＝120°，
∵GP∥EF，
∴∠FGP＝180°﹣∠5＝180°﹣100°＝80°，
∴∠PGH＝∠EGH﹣∠EGP＝120°﹣80°＝40°，
∵FE∥HI，GP∥EF，
∴GP∥HI，
∴∠6＝180°﹣∠PGH＝180°﹣40°＝140°，
∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，
∴∠4（180°﹣∠6）（180°﹣140°）＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
②m，n之间的等量关系是：n﹣m＝90°，理由如下：
如图3所示：∠1＝∠AEF＝m，
∴∠5＝180﹣（∠1+∠AEF）＝180°﹣2m，
∵∠4＝∠IHD，∠4+∠IHD+∠6＝180°，
∴∠4（180°﹣∠6）＝90°∠6，
∵∠2＝∠3，∠2+∠3+∠FGH＝180°，
∴∠3（180°﹣∠FGH）＝90°∠FGH，
∵∠BCD+∠3+∠4＝180°
∴n+90°∠6+90°∠FGH＝180°，
∴∠FGH＝2n﹣∠6
∵GP∥EF，FE∥HI，
∴FE∥GP∥HI，
∴∠EGP+∠5＝180°，∠6+∠PGH＝180°，
∴∠FGP+∠5+∠6+∠PGH＝360°，
∵∠FGP+∠PGH＝∠FGH，
即∠FGH+∠5+∠6＝360°，
∴2n﹣∠6+180°﹣2m+∠6＝360°，
∴n﹣m＝90°．
20．图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H动的连杆HD，GFB段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面CE和靠背FG平行，测得∠BCE＝150°，∠ABO＝70°，则靠背FG与水平地面AB的夹角α＝ 80 °．如图3，打开时椅面CE与地面AB平行，延长GF交AB于点H，FH平分∠AFB．若∠FCE+∠FAB＝β+105°，则β＝ 105 °．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠GFC＝∠BCE＝150°，由三角形外角的性质，即可求解；
（2）由三角形外角的性质得到∠FAB＝β﹣30°，由平行线的性质，三角形内角和定理，平角定义推出∠FCE＝30°+β，由∠FCE+∠FAB＝β+105°，即可求出β的度数．
【解答】解：在图2中，∵CE∥FG，
∴∠CFG＝∠BCE＝150°，
又∠CFG＝∠ABO+α，
∴α＝∠CFG﹣∠ABO＝150°﹣70°＝80°，
在图3中，∵β＝∠FAB+∠AFH，∠FCE+∠FAB＝β+105°，
∴∠FCE+∠FAB＝∠FAB+∠AFH+105°，
即∠FCE＝∠AFH+105°，
又∵CE∥AB，
∴∠DCO＝∠ABO，
即180°﹣∠FCE＝180°﹣∠FAB﹣∠AFB，
即∠FCE＝∠FAB+∠AFB，
又∵FH平分∠AFB，
∴∠FCE＝∠FAB+2∠AFH，
又∵∠FCE＝∠AFH+105°，
∴∠FAB+∠AFH＝105°，
即β＝105°，
故答案为：80；105．
21．如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31
【分析】延长EF，BG交于D，由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m，即可得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积．
【解答】解：延长EF，BG交于D，
由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m，
得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积8m（8﹣m）[m﹣（8﹣m）]＝m2﹣8m+32．
故选：C．
22．学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由图1得S1＝a2﹣b2，可判断A错误；由图2得S2＝（b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2，可判断B错误；由，S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2，可判断C错误，D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，S1＝a2﹣b2，
∴S1≠（a﹣b）2，
故A错误；
如图2，S2＝（b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2，
∴S2≠a2﹣b2，
故B错误；
∴，S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2，
故C错误，D正确，
故选：D．
23．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等）．小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（A、B）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11：3 B．5：1 C．7：2 D．4：1
【分析】设黑色小长方形纸 片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长，恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可．
【解答】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为 （b+a），宽为a，
∴⑤的周长为b+a+b+5a＝2b+6a，⑥的长为b+a+b＝2b+a，宽为b，
∴⑥的周长为（b+2b+a）×2＝6b+2a，
又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴6b+2a＝2（2b+6a），即b＝5a，
∴黑色长方形中长与宽的比是 ，
故选：B．
24．如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成M×N（M≥N），其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成A＝M×N的过程，称为“完美分解”．例如，因为525＝21×25，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 165 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即A＝M×N，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 1088 ．
【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数M和N的十位数字均为m，M的个位数字为n，则N的个位数字为6﹣n，且m为1至9的自然数，从而可得M＝10m+n，N＝10m+6﹣n，再求出，根据M≥N，自然数M的个位数字不为0，以及Q＝M﹣N＝2n﹣6≠0，可得n为5或者4，然后根据能被11整除，分别求出m、n的值，由此即可解．
【解答】解：（1）∵自然数的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：A＝11×15＝165，
故答案为：165；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为m，M的个位数字为n，则N的个位数字为6﹣n，且m为1至9的自然数，
∴M＝10m+n，N＝10m+6﹣n，
∴P＝M+N＝20m+6，Q＝M﹣N＝2n﹣6，
∵M≥N，自然数A的个位数字不为0，
∴10m+n≥10m+6﹣n，
解得n≥3，
∴n为5、4或者3，
∵Q＝M﹣N＝2n﹣6≠0，
∴n≠3，
∴n为5或者4，
∴，即 的分子是奇数，
当n＝5时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，不符合题意，舍去；
当n＝4时，，
∵能被11整除，且m为1至9的自然数，
∴满足条件的整数m只有3，
∴M＝34，N＝32，即A＝34×32＝1088，
故答案为：1088．
25．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿AB折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若CD∥AE，则图2中∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠2＝3∠1 B．∠1+∠2＝180°
C．∠2﹣∠1＝90° D．3∠2﹣2∠1＝360°
【分析】延长CA到点G，根据折叠的性质可得：∠EAB＝∠BAH＝∠HAG∠EAG，∠DCF＝2∠1，从而利用平角定义可得∠DCA＝180°﹣∠DCF，然后利用平行线的性质可得∠DCA＝∠EAG＝180°﹣∠DCF，从而可得∠EAB∠EAG（180°﹣2∠1），再根据题意可得AB∥EM，从而可得∠2+∠EAB＝180°，进而可得∠2（180°﹣2∠1）＝180°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长CA到点G，
由折叠得：∠EAB＝∠BAH＝∠HAG∠EAG，∠DCF＝2∠1，
∴∠DCA＝180°﹣∠DCF，
∵CD∥AE，
∴∠DCA＝∠EAG＝180°﹣∠DCF，
∴∠EAB∠EAG（180°﹣∠DCF）（180°﹣2∠1），
由题意得：AB∥EM，
∴∠2+∠EAB＝180°，
∴∠2（180°﹣2∠1）＝180°，
∴3∠2﹣2∠1＝360°，
故选：D．
26．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E．
（1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，并直接写出α，β，θ之间的数量关系．
【分析】（1）先证明∠C＝∠DBE，从而可得结论； （2）证明∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB，∠ACF+∠BEF（∠ACB+∠DEB）＝90°，如图，过F作FK∥AC，AC∥FK∥BE，再进一步利用平行线的性质可得答案；
（3）如图，当H在线段PQ上，设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°，由（2）的结论可得：；
如图，当H在线段PQ的延长线上时，设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°，同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，证明∠CPQ＝∠PQB＝β，∠BHP+∠QBH＝∠PQB，，从而可得答案；
【解答】解：（1）AC∥BE，理由如下：
∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E，
∴∠C＝∠DBE，
∴AC∥BE；
（2）∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠DEB．
∴∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB，
∵∠ACB与∠BED的平分线交于点F，
∴∠ACF+∠BEF（∠ACB+∠DEB）＝45°，
如图，过F作FK∥AC，
∵AC∥BE，
∴AC∥FK∥BE，
∴∠KFC＝∠ACF，∠KFE＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠KFC+∠KFE＝∠ACF+∠BEF＝45°；
（3）如图，当H在线段PQ上，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°，
由（2）的结论可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，∠BHP＝∠CPH+∠QBH，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，
∴，
整理可得：α＝3θ﹣β；
如图，当H在线段PQ的延长线上时，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，
同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，
∵AC∥BE，
∴∠CPQ＝∠PQB＝β，
而∠BHP+∠QBH+∠BQH＝180°＝∠BQH+∠PQB，
∴∠BHP+∠QBH＝∠PQB，
∴，
整理可得：α＝3β﹣θ；
综上：α＝3θ﹣β或α＝3β﹣θ．
27．小嵊与小州两位七年级同学在复行线”后进行了课后探究：
素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，GH∥MN，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上．
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．
问题解决：小嵊将三角板DEF向右平移．
①如图2，当点E落在线段AC上时，求∠AEF的度数．
②如图1，在三角板DEF平移过程中，连接CE，记∠BCE为α，∠CEF为β，当点E在BC左侧时，β﹣α的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与另一三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】问题解决：①证明GH∥MN∥EH，∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α＝360°，即可求解；
思维拓展：当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，列式求解即可．
【解答】解：问题解决：①过点E作EH∥GH，
∵GH∥MN，故GH∥MN∥EH，
∴∠AEH＝∠CAB＝30°，∠HEF＝∠EFD＝45°，
∴∠AEF＝∠AEH+∠FEH＝75°；
②延长AC交MN于点T，
∵GH∥MN，则∠MTA＝∠BAC＝30°，
则∠ECT＝360°﹣∠ECB﹣∠BCT＝360°﹣α﹣90°＝270°﹣α，
在四边形FECT中，∠EFD+∠FTC+∠TCE+∠FEC＝360°，即45°+β+270°﹣α+15°＝360°，
则β﹣α＝15°为定值；
思维拓展：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，
即2t°＝t°+30°，
∴t＝30；
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，
即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
当DF∥BC时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120；
②DF在MN下方时，∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，∴AC∥DE，∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠MDE＝∠HAC，
即2t°﹣180°﹣90°＝t+30°，
∴t＝300（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的t的值为30s或120s
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