2025年广西南宁十四中中考数学质检试卷（6月份）（含答案）

2025年广西南宁十四中中考数学质检试卷（6月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
2.在年某学校举行的数学文化活动节中，有同学设计了如下的徽章下列的四个图中，能由如图所示的徽章经过平移得到的是( )
A. B. C. D.
3.机器人的研发是当今时代研究的重点，中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型工业纳米机器人，其大小仅约，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.安全教育是学校的生命线某学校政教处举行安全教育的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”“防溺水安全”和“校园安全”四个主题内容小刚同学随机抽取一个，则选中“防溺水安全”主题内容的概率是( )
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点若点在第四象限，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9.图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图所示的示意图测得，阳光垂直照射地面时雕塑的影长，则雕塑的高的长约为( )
参考数据：，，，结果保留两位小数
A.
B.
C.
D.
10.毕业将至，九班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡张，问：九班共有多少名学生？设九班共有名学生，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
11.如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若分式有意义，则的取值范围是______．
14.如图，在中，，点为斜边的中点，，则______．
15.直线与轴的交点坐标是______．
16.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到当两个三角形重叠部分阴影部分的面积为时，阴影部分的周长等于______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
化简：．
18.本小题分
如图，在中，，点，分别是，的中点．
利用直尺和圆规，过点作的垂线，交于点不写作法，只保留作图痕迹，标明字母；
连接，，求证：四边形是菱形．
19.本小题分
利用统计知识分析比赛成绩
【问题情境】“三月三”是广西重要的传统节日，在节日期间人们会开展丰富多彩的活动，其中“抛绣球”是壮族最为流行的传统体育项目．
【统计分析】在某次民族运动会的“抛绣球”团体比赛中，共有支代表队参赛，每支代表队人，每人投次，投进个计分，不进或违规投球计分，随机抽取两个代表队的比赛得分如下：
甲队：
乙队：
甲、乙两队“抛绣球”比赛得分统计表：
平均数 中位数 方差
甲
乙
【问题解决】根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______；
按比赛规定，得分分以上含分为等级，请估计本次比赛支代表队中获得等级共有多少人？
你认为甲，乙哪个队发挥得更好？请说明理由．
20.本小题分
哪吒魔童闹海票房大卖，周边玩偶热销某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，两次进货信息记录如下两次进货单价分别相同：
甲款数量件 乙款数量件 进货总费用元
第一次
第二次
求甲、乙两款玩偶的进货单价；
由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩偶共件，若每件甲款玩偶的售价为元，每件乙款玩偶的售价为元，且销售完这件玩偶所获得的利润不低于元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？
21.本小题分
如图，在中，为直径，，且，，，在同一直线上，的边与相切于点，，点到的距离为的长度，且与相交于点，．
求的度数与的长度；
求线段的长度；
不改变现有图形的大小和位置，直接写出圆上的点到点的最大距离．
22.本小题分
综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题如图，轨道起始段段绝对光滑，不存在阻力；剩余部分段粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度单位：与时间单位：的关系如图所示，以及路程单位：与时间单位：的关系如图所示其中，图中段是抛物线的一部分已知小球初速度．
【建立模型】
任务：根据图和图提供的信息，确定轨道初段的长度为______；
任务：求小球在粗糙轨道图中射线对应部分上运动时，速度与时间之间的函数关系式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务：在任务的条件下，探究在粗糙轨道段射线上是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为秒若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
综合与探究
【初步感知】定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”，如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“平方点”．
【尝试探究】
如图，已知在四边形中，．
求证：∽；
若，求证：点是中边上的“平方点”；
【迁移应用】
如图，是的内接三角形，点是中边上的“平方点”，延长交于点，求证：；
如图，在中，，，，过点作于点，若点是边上的“平方点”，求线段的长．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.
；
．
18.解：如图，直线即为所求．
证明：，
为等腰三角形，
为的垂线，
点为的中点，
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是菱形．
19.根据甲的数据按由小到大排列，第个数和第个数分别是，，故甲的中位数是，
乙队的平均数，
故答案为：，；
人；
答：所有代表队获得 等级共有 人．
方法一：甲代表队发挥的更好，因为：甲代表队成绩的中位数 高于乙代表队成绩的中位数 ，说明甲代表队得分超 过 的人超过一半．
方法二：乙代表队发挥的更好，因为：甲，乙两队的平均分相同，而乙代表队成绩的方差低于甲代表队的方差，说明 乙代表队的得分更稳定．
20.【设甲款玩偶的进货单价为元，乙款玩偶的进货单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲款玩偶的进货单价为元，乙款玩偶的进货单价为元；
设商家需购进甲款玩偶件，则需购进乙款玩偶件，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：商家最少需购进甲款玩偶件．
21.的边与相切于点，且，，，在同一直线上，
，
在中，，，
，
，
点到的距离为的长度，
，即，
设，交于点，连接，
，且，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
如图所示，过点作于点，
，
，，
，
，
，
；
如图所示，连接并延长交于点，
的值即为圆上的点到点的最大距离，
在中，，，
，
在中，，
，
，
圆上的点到点的最大距离．
22.解：任务：由题意，结合图当时，小球的速度为，保持不变，
又结合图，时，，
．
任务：由题意，设，
，
．
结合，令，则．
．
又图中段是抛物线的一部分，且过，，
．
，．
．
当时，．
小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为．
任务：存在这节轨道，理由如下．
设小球第秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，
由题意得：，
．
当时，．
轨道起点与点之间的距离为米．
23.证明：，，
∽；
∽，
，
，
，
，
点是中边上的“平方点”；
证明：点是中边上的“平方点”，
，
是的内接三角形，
，，
∽，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
设，由题意得：，，
，即，
解得：，，
的长为或．
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