华师大版九年级下册数学第27章第4节正多边形和圆
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级下册数学第27章第4节正多边形和圆 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 620.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-24 09:47:49 | ||
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文档简介
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华师大版数学九年级下册第27章第4节正多边形和圆课时练习
一、单选题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． 3 B． 9 C． 18 D． 36
答案：C
解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A． 2， B． 2，π C． ， D． 2，
答案：D
解析：解答：如图所示：
连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
= = ，
故选D．
分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解．
3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A． R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°
答案：A
解析：解答：如图所示：
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
分析：由圆内接正五边形的性质求∠BOC，再由垂径定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可．
4．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（ ）
A． 5：4 B． 5：2 C． ：2 D． ：
答案：A
解析：解答：如左图所示：
连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=2，
由勾股定理得：OD==2，
∴扇形的面积是=；
如右图所示：
连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=2，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=2π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是÷（2π）=．
故选：A．
分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）
A． 9 B． 9 C． 3 D． 3
答案：B
解析：解答：如图所示：
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，
即B的坐标是（3，3），
∵B点在反比例函数上，
∴k=3×3=9，
故选B．
分析：连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可．
6．正八边形的中心角是（ ）
A． 45° B． 135° C． 360° D． 1080°
答案：A
解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A
分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角．
7．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A．10 B． 20 C． 18 D． 20
答案：B
解析：解答：如图所示：
作出正方形ABCD．
△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．
则正方形的边长是（2+）x．
根据题意得：x（2+）x=20，
解得：x2==10（﹣1）．
则阴影部分的面积是：
2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．
故选B．
分析：设直角△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，利用矩形和三角形的面积求解．
8．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：如图所示：
边长是2cm的正六边形ABCDEF的面积是：6××sin60°×22=6cm2．
作出连接中心O，连接OD1，OC．
在直角△OCD1中，∠O=30°，CD1=CD=1（cm）．
则OD1=CD1=，OG=OD1=，C1D1=．
则A1B1C1D1E1F1的面积是：6××sin60°×（）2=cm2．
则图中阴影部分的总面积是（6﹣）=．
故选A．
分析：六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（ ）
A． 1 B． C． 2 D．
答案：B
解析：解答：如图所示：
连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=．
故选B．
分析：连接AG、GE、EC，四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质求解．
10．边长为1的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A． 2 B． 1 C． D．
答案：D
解析：解答：如图所示：
连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴OG=OA sin60°=1×=，
∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为．
故选D．
分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解．
11．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
答案：B
解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为=6，
其中心角为=60°．
故选B．
分析：由正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出中心角．
12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A． 30° B． 45° C． 50° D． 60°
答案：B
解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
分析：由正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．
13．如图，边长为a的正六边形，里面有一菱形，边长也为a，空白部分面积为S1，阴影部分面积为S2，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：如图所示：
连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，
∵正六边形边长为a，菱形边长为a且有一角为60°，
∴S△DEF=S△ABC，
∴S1=2S△ABC，
S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；
∴==．
故选A．
分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．
14．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
答案：A
解析：解答：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴=36°，
解得n=10．
故选A．
分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数．
15．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B． 六 C． 四 D． 三
答案：B
解析：解答：根据勾股定理得：22﹣（）2=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数．
二、填空题（共5小题）
16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 cm．
答案：2
解析：解答：如图所示：
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．
故答案为：2．
分析：画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解．
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有 个．
答案：8
解析：解答：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
故答案是：8．
分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．
18．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
答案：2
解析：解答：如图所示：
∵正六边形的边心距为，
∴OB= ，∠OAB=60°，
∴AB= = =1，
∴AC=2AB=2．
故答案为：2
分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解．
19．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
答案：（，﹣）
解析：解答：如图所示：
连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE=，OG=．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．
故答案为：（，﹣）
分析：连接OE，由正六边形是轴对称图形，设EF交Y轴于G，则∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似．
20．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
答案：54°
解析：解答：如图所示：
连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
分析：连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．
三、解答题（共5小题）
21．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．
答案：解答：如图所示：
连接BD．
∵CE= ×1= ，
∴BE= = ，
在Rt△ABD中，BD= = ，
∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴，
∴ = ，
∴FC=．
解析：分析：连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出，计算FC．
22．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
答案：解答：如图所示：
作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB cos30°=2×=．
∴OH=AF+FH﹣OA=+2﹣r．
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2．
∴（2+﹣r）2+12=r2．
解得r=2．
∴该圆的半径长为2．
解析：分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据轴对称，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是r．BOH中，根据勾股定理列方程求解．
23．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．
求证：四边形ABCD是正方形．
答案：解答：证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．
解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．
24．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F．
证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
答案：解答：证明：如图所示：
连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCD为正五边形．
解析：分析：要求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等．
25．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
答案：解答：如图所示：
过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴BD=CD=BC=1，
在△BDA中由勾股定理得：AD===，
∴△ABC的面积是BC AD=×2×=，
答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）
答案：解答：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，
连接OA、OB，
∵图形是正六边形，
∴△OAB是等边三角形，且边长是2，
即等边三角形的面积是，
∴正六边形的面积是6×=6，
∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是：
≈0.54，
答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．
解析：分析：（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD，由勾股定理求出AD，根据△ABC的面积即可求出答案；
（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．
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华师大版数学九年级下册第27章第4节正多边形和圆课时练习
一、单选题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． 3 B． 9 C． 18 D． 36
答案：C
解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A． 2， B． 2，π C． ， D． 2，
答案：D
解析：解答：如图所示：
连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
= = ，
故选D．
分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解．
3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A． R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°
答案：A
解析：解答：如图所示：
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
分析：由圆内接正五边形的性质求∠BOC，再由垂径定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可．
4．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（ ）
A． 5：4 B． 5：2 C． ：2 D． ：
答案：A
解析：解答：如左图所示：
连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=2，
由勾股定理得：OD==2，
∴扇形的面积是=；
如右图所示：
连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=2，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=2π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是÷（2π）=．
故选：A．
分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）
A． 9 B． 9 C． 3 D． 3
答案：B
解析：解答：如图所示：
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，
即B的坐标是（3，3），
∵B点在反比例函数上，
∴k=3×3=9，
故选B．
分析：连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可．
6．正八边形的中心角是（ ）
A． 45° B． 135° C． 360° D． 1080°
答案：A
解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A
分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角．
7．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）
A．10 B． 20 C． 18 D． 20
答案：B
解析：解答：如图所示：
作出正方形ABCD．
△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．
则正方形的边长是（2+）x．
根据题意得：x（2+）x=20，
解得：x2==10（﹣1）．
则阴影部分的面积是：
2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．
故选B．
分析：设直角△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，利用矩形和三角形的面积求解．
8．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：如图所示：
边长是2cm的正六边形ABCDEF的面积是：6××sin60°×22=6cm2．
作出连接中心O，连接OD1，OC．
在直角△OCD1中，∠O=30°，CD1=CD=1（cm）．
则OD1=CD1=，OG=OD1=，C1D1=．
则A1B1C1D1E1F1的面积是：6××sin60°×（）2=cm2．
则图中阴影部分的总面积是（6﹣）=．
故选A．
分析：六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（ ）
A． 1 B． C． 2 D．
答案：B
解析：解答：如图所示：
连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=．
故选B．
分析：连接AG、GE、EC，四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质求解．
10．边长为1的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A． 2 B． 1 C． D．
答案：D
解析：解答：如图所示：
连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴OG=OA sin60°=1×=，
∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为．
故选D．
分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解．
11．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
答案：B
解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为=6，
其中心角为=60°．
故选B．
分析：由正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出中心角．
12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A． 30° B． 45° C． 50° D． 60°
答案：B
解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
分析：由正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．
13．如图，边长为a的正六边形，里面有一菱形，边长也为a，空白部分面积为S1，阴影部分面积为S2，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：如图所示：
连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，
∵正六边形边长为a，菱形边长为a且有一角为60°，
∴S△DEF=S△ABC，
∴S1=2S△ABC，
S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；
∴==．
故选A．
分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．
14．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
答案：A
解析：解答：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴=36°，
解得n=10．
故选A．
分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数．
15．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八 B． 六 C． 四 D． 三
答案：B
解析：解答：根据勾股定理得：22﹣（）2=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数．
二、填空题（共5小题）
16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为 cm．
答案：2
解析：解答：如图所示：
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．
故答案为：2．
分析：画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解．
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有 个．
答案：8
解析：解答：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
故答案是：8．
分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．
18．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
答案：2
解析：解答：如图所示：
∵正六边形的边心距为，
∴OB= ，∠OAB=60°，
∴AB= = =1，
∴AC=2AB=2．
故答案为：2
分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解．
19．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
答案：（，﹣）
解析：解答：如图所示：
连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE=，OG=．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．
故答案为：（，﹣）
分析：连接OE，由正六边形是轴对称图形，设EF交Y轴于G，则∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似．
20．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
答案：54°
解析：解答：如图所示：
连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
分析：连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．
三、解答题（共5小题）
21．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．
答案：解答：如图所示：
连接BD．
∵CE= ×1= ，
∴BE= = ，
在Rt△ABD中，BD= = ，
∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，
∴△DEB∽△FEC，
∴，
∴ = ，
∴FC=．
解析：分析：连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出，计算FC．
22．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
答案：解答：如图所示：
作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB cos30°=2×=．
∴OH=AF+FH﹣OA=+2﹣r．
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2．
∴（2+﹣r）2+12=r2．
解得r=2．
∴该圆的半径长为2．
解析：分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据轴对称，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是r．BOH中，根据勾股定理列方程求解．
23．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．
求证：四边形ABCD是正方形．
答案：解答：证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．
解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．
24．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F．
证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
答案：解答：证明：如图所示：
连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCD为正五边形．
解析：分析：要求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等．
25．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．
（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；
答案：解答：如图所示：
过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴BD=CD=BC=1，
在△BDA中由勾股定理得：AD===，
∴△ABC的面积是BC AD=×2×=，
答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是
（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O，那么点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）
答案：解答：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，
连接OA、OB，
∵图形是正六边形，
∴△OAB是等边三角形，且边长是2，
即等边三角形的面积是，
∴正六边形的面积是6×=6，
∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是：
≈0.54，
答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．
解析：分析：（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BD，由勾股定理求出AD，根据△ABC的面积即可求出答案；
（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．
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