第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-19 10:22:08 | ||
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文档简介
第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法
核心题型一 利用勾股或面积法计算
1.在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,AC=8,BC=6.
(1)如图1,CD 是高,则CD= ,BD= , 为 ;
(2)如图 2,D 是AB 的中点,DE⊥AB 交AC 于点 E,则CE= .
(3)如图3,BD 是△ABC 的角平分线,则CD= ;
(4)如图4,点 O 是△ABC 的三条角平分线的交点,则CO=
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点O是△ABC 内一点,且OA=OB=OC,则AO= .
3.如图,在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,AD,CE 是高,则AD= ,CE= .
4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,则AC= .
5.如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到点 B，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险 请说明理由.(参考数据：
核心题型二 勾股定理与折叠
6.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm，BC=10 cm,将△ABC 折叠,使点 B 与点A 重合,折痕为 DE,则CD 的长为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
7.如图,在长方形 ABCD 中,E是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE,延长 BG 交CD 于点F,若AB=6, ,则 FD 的长是 .
8.如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点 B落在边AD上的点E 处，折痕的一端点G 在边BC上，折痕的另一端F 在AD边上,且BG=10.
(1)求证:EF=EG;
(2)求AF 的长.
核心题型三 坐标系中的勾股定理
9.如图,A(0,4),B(2,0),C(5,1),D(2,5);
(1)AD= ,AB= ,∠BAD= °;
(2)点M 是y 轴上一点,AB⊥BM,求M 的坐标;
(3)若点Q在x轴上，△BCQ 为等腰三角形，求点 Q 的坐标.
核心题型四 分类讨论
10.直角△ABC 的两条边的长为3和5，则第三条边的长为
11.请写出含5的一组勾股数 .
12.等腰三角形的腰长为5，面积为10，则它底边长为 .
13.三角形的两边长为13 和15，第三边上的高为12，则这个三角形第三边的长为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，1).
(1)OA 的长是 ;
(2)点 P 为x轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求 P点坐标.
15.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE,把△ABE 沿AE 折叠,点 B 落在点 B'处.当△CEB'为直角三角形时，CB'的长AD= ;
核心题型五 与勾股定理相关的几个重要的结论
16.如图,在 中， 于点D，设 b
求证：
17.如图,在 中，AD 是中线，求证：
18.如图,在 中， 点 P 是直线BC 上一点.
(1)当点 P 在BC 边上时,求证:
(2)当P 在BC 的延长线或反向延长线上时，画出图形，判断(1)中的结论是否仍成立，若成立，请证明，若不成立，直接写出你的结论.
核心方法一 方程思想
19.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,CD⊥AC交AB 于点D,CD=BD,求CD的长.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,D为AB 上的点，E为AC上的点，ED 垂直平分 求 AE 的长.
核心方法二 化散为聚
类型1 利用全等和图形的特殊性质
21.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,且CA=CB.
(1)如图1,若△ECD 也是等腰直角三角形,且CE=CD,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,求证:
(2)如图2,E为AB 上一点,AE=1,CE=2,直接写出 BC 的长为 .
类型2 构造共顶点的等腰三角形集中条件
22.如图,在 中， 以AC 为边向外作等边 求BD 的长.
类型3 夹半角模型
23.(1)如图1,在 中， 点M,N是BC上任意两点，且 求证：
(2)如图2,在 中,N 为 MC 上一点,
①求CN 的长;
②求AN 的长.
7 第十七章《勾股定理》
核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法
1.(1)4.8 3.6 6.4 (2) (3)3 (4)2
2. 3.12 4.7
5.解:过点 C作CD⊥AB 于点D,可求BC=AB=6,CD=3 >4,∴该船继续向东航行，无触礁危险.
6. D 7.4
8.解:(1)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处,∴∠BGF=∠EGF.
∵AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF=∠EFG,∴EF=EG;
(2)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处，
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,∴EF=EG=10.
在Rt△EFH 中,
∴AF=FH=6.
9.解:(1) ,2 ,90;
(2)设M(0,m),AM =(4-m) ,BM =4+m .
∵A 0,解得m=-1,∴M(0,-1);
(3)设Q(n,0),BC =10,BQ =(n-2) ,CQ =(5-n) +1 .
①当BC=BQ时,
解得 或
②当BC=CQ时,
解得n=8或n=2(舍去),
∴n=8;
③当BQ=CQ时, 解得
综上，点Q 的坐标为 或 或( , );或(8,0).
10.4或 11.5,12,13或3,4,5 12.2 或4
13.4 或14
14.解:
(2)P ( ,o) 或P (4,0)或P ( ,0).
15. 或2 解:当. 时,∠AEB=45°,BE=AB= 当 时,A,B',C共线, 因为
∴∠B'CE<90°,故( 或2.
16.证明:
17.证明:作AE⊥BC 于点E.
∵AD是中线,∴BD=CD,
18.证明:(1)过点A 作AD⊥BC于点D,则BD=CD,
PC;
(2)不成立；结论为
19.解:设CD=BD=x,则AD=4-x.
在 Rt△ACD中,(
解得
20.解:连接EB.∵ED 垂直平分AB,
∴EA=EB,设AE=BE=x;
在 Rt△BCE中,
即 解得
21.解:(1)连接BD,易知△CAE≌△CBD(SAS),
∴BD=AE,∠CDB=∠E=∠CDE=45°,
∴∠BDA=90°,∴BD +AD =AB .
(2)过点 C 向右作CF⊥CE,且使CF=CE,连接 EF,BF.
由(1)的结论，知
22.解:以AB 为边向外作等边△ABE,连接EC,易证△ABD≌△AEC,得 BD=EC,过E作EF⊥BC 交CB 延长线于F,
易得
在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得EC=7,∴BD=EC=7.
23.解:(1)略;
(2)①过点 A 作AB⊥AC 交CM 的延长线于点 B,则. ∴设NC=x,则MN=9-x.
由(1)可知.
,解得x=4,∴NC=4;
②过点A 作AT⊥MC 于点T,则AT=TC=6,在 Rt△ANT 中，运用勾股定理可求得
核心题型一 利用勾股或面积法计算
1.在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,AC=8,BC=6.
(1)如图1,CD 是高,则CD= ,BD= , 为 ;
(2)如图 2,D 是AB 的中点,DE⊥AB 交AC 于点 E,则CE= .
(3)如图3,BD 是△ABC 的角平分线,则CD= ;
(4)如图4,点 O 是△ABC 的三条角平分线的交点,则CO=
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点O是△ABC 内一点,且OA=OB=OC,则AO= .
3.如图,在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,AD,CE 是高,则AD= ,CE= .
4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,则AC= .
5.如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到点 B，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险 请说明理由.(参考数据：
核心题型二 勾股定理与折叠
6.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm，BC=10 cm,将△ABC 折叠,使点 B 与点A 重合,折痕为 DE,则CD 的长为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
7.如图,在长方形 ABCD 中,E是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE,延长 BG 交CD 于点F,若AB=6, ,则 FD 的长是 .
8.如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点 B落在边AD上的点E 处，折痕的一端点G 在边BC上，折痕的另一端F 在AD边上,且BG=10.
(1)求证:EF=EG;
(2)求AF 的长.
核心题型三 坐标系中的勾股定理
9.如图,A(0,4),B(2,0),C(5,1),D(2,5);
(1)AD= ,AB= ,∠BAD= °;
(2)点M 是y 轴上一点,AB⊥BM,求M 的坐标;
(3)若点Q在x轴上，△BCQ 为等腰三角形，求点 Q 的坐标.
核心题型四 分类讨论
10.直角△ABC 的两条边的长为3和5，则第三条边的长为
11.请写出含5的一组勾股数 .
12.等腰三角形的腰长为5，面积为10，则它底边长为 .
13.三角形的两边长为13 和15，第三边上的高为12，则这个三角形第三边的长为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，1).
(1)OA 的长是 ;
(2)点 P 为x轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求 P点坐标.
15.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE,把△ABE 沿AE 折叠,点 B 落在点 B'处.当△CEB'为直角三角形时，CB'的长AD= ;
核心题型五 与勾股定理相关的几个重要的结论
16.如图,在 中， 于点D，设 b
求证：
17.如图,在 中，AD 是中线，求证：
18.如图,在 中， 点 P 是直线BC 上一点.
(1)当点 P 在BC 边上时,求证:
(2)当P 在BC 的延长线或反向延长线上时，画出图形，判断(1)中的结论是否仍成立，若成立，请证明，若不成立，直接写出你的结论.
核心方法一 方程思想
19.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,CD⊥AC交AB 于点D,CD=BD,求CD的长.
20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,D为AB 上的点，E为AC上的点，ED 垂直平分 求 AE 的长.
核心方法二 化散为聚
类型1 利用全等和图形的特殊性质
21.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,且CA=CB.
(1)如图1,若△ECD 也是等腰直角三角形,且CE=CD,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,求证:
(2)如图2,E为AB 上一点,AE=1,CE=2,直接写出 BC 的长为 .
类型2 构造共顶点的等腰三角形集中条件
22.如图,在 中， 以AC 为边向外作等边 求BD 的长.
类型3 夹半角模型
23.(1)如图1,在 中， 点M,N是BC上任意两点，且 求证：
(2)如图2,在 中,N 为 MC 上一点,
①求CN 的长;
②求AN 的长.
7 第十七章《勾股定理》
核心专题一点通(Ⅱ)核心题型及方法
1.(1)4.8 3.6 6.4 (2) (3)3 (4)2
2. 3.12 4.7
5.解:过点 C作CD⊥AB 于点D,可求BC=AB=6,CD=3 >4,∴该船继续向东航行，无触礁危险.
6. D 7.4
8.解:(1)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处,∴∠BGF=∠EGF.
∵AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF=∠EFG,∴EF=EG;
(2)∵纸片折叠后顶点 B 落在边AD 上的E 点处，
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,∴EF=EG=10.
在Rt△EFH 中,
∴AF=FH=6.
9.解:(1) ,2 ,90;
(2)设M(0,m),AM =(4-m) ,BM =4+m .
∵A 0,解得m=-1,∴M(0,-1);
(3)设Q(n,0),BC =10,BQ =(n-2) ,CQ =(5-n) +1 .
①当BC=BQ时,
解得 或
②当BC=CQ时,
解得n=8或n=2(舍去),
∴n=8;
③当BQ=CQ时, 解得
综上，点Q 的坐标为 或 或( , );或(8,0).
10.4或 11.5,12,13或3,4,5 12.2 或4
13.4 或14
14.解:
(2)P ( ,o) 或P (4,0)或P ( ,0).
15. 或2 解:当. 时,∠AEB=45°,BE=AB= 当 时,A,B',C共线, 因为
∴∠B'CE<90°,故( 或2.
16.证明:
17.证明:作AE⊥BC 于点E.
∵AD是中线,∴BD=CD,
18.证明:(1)过点A 作AD⊥BC于点D,则BD=CD,
PC;
(2)不成立；结论为
19.解:设CD=BD=x,则AD=4-x.
在 Rt△ACD中,(
解得
20.解:连接EB.∵ED 垂直平分AB,
∴EA=EB,设AE=BE=x;
在 Rt△BCE中,
即 解得
21.解:(1)连接BD,易知△CAE≌△CBD(SAS),
∴BD=AE,∠CDB=∠E=∠CDE=45°,
∴∠BDA=90°,∴BD +AD =AB .
(2)过点 C 向右作CF⊥CE,且使CF=CE,连接 EF,BF.
由(1)的结论，知
22.解:以AB 为边向外作等边△ABE,连接EC,易证△ABD≌△AEC,得 BD=EC,过E作EF⊥BC 交CB 延长线于F,
易得
在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得EC=7,∴BD=EC=7.
23.解:(1)略;
(2)①过点 A 作AB⊥AC 交CM 的延长线于点 B,则. ∴设NC=x,则MN=9-x.
由(1)可知.
,解得x=4,∴NC=4;
②过点A 作AT⊥MC 于点T,则AT=TC=6,在 Rt△ANT 中，运用勾股定理可求得