第十七章《勾股定理》核心专题一点通（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第十七章《勾股定理》核心专题一点通（含答案） 2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 176.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-19 10:21:52 | ||
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文档简介
第十七章《勾股定理》核心专题一点通
(Ⅰ)高频考点
高频考点一 勾股定理与直角三角形
1.在 Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)已知AC=8,BC=6,则AB= ;
(2)已知AB=2.5、BC=2.4,则AC= .
2.在Rt△ABC 中,最长边AC 的长为15,最短边 BC 的长为9,则AB 的长为 .
3.已知一个直角三角形的三条边的平方和为1800，则斜边的长为 .
4.已知直角三角形的周长为12cm，面积为6cm ，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
5.直角三角形的一条直角边长为11，另两边的长为自然数，则这个直角三角形的斜边长为 .
高频考点二 勾股定理与勾股弦图
6.如图1，已知边长为c 的正方形和四个斜边长为c，两直角边长分别为a，b(a>b)的四个小直角三角形.
(1)将四个小直角三角形按图2的方法摆放，中间会形成一个小正方形，则小正方形的边长为 (用含a，b的式子表示)，并用此图验证勾股定理；
(2)在图2中，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，求 的值；
(3)如图3，用八个全等的直角三角形拼成三个正方形，记图中正方形ABCD 的面积为S ,正方形 EFGH 的面积为S ,正方形MNKT 的面积为S ,直接写出S ,S ,S 之间的数量关系为 .
高频考点三 勾股定理与特殊角类型1 特殊三角形
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,则AC:AB:BC= .
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,则AC:AB:BC= .
9.如图,在△ABC 中,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则AC:AB: BC=
10.如图,在等边三角形ABC 中,AB=4,则S△ABC= .
类型2 作高构造特殊三角形
11.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=75°,AB=3 ，则AC= ,BC= .
12.如图,在△ABC 中,∠BAC=135°,AB=4,AC=2 ，则BC= .
13.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=4,BC=8,求AB 的长.
14.如图,四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠D=120°,∠C=105°,CD=2AD=6,求AB,BC 的长.
高频考点四 实际问题与勾股定理
15.如图，某会展中心在会展期间准备将高(BC)5m ，长(AB)13 m，宽2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米50元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元钱
16.如图，A，B两个小集镇在河流CD 的同侧，到河的距离分别为AC=10km,BD=30km,且CD=30km,现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最低总费用是多少
17.如图，将一架长梯AC 斜靠在一竖直的墙AB 上，梯子的顶端在墙的最高处，这时梯子的底端恰好落在地面上的点 C 处，如果将梯子顶端A 沿墙下滑到点 D 处，那么梯子的底端C 也外移到地面的点E 处，如果 求墙AB 的高度.
高频考点五勾股定理与作图
类型1尺规作图
18.利用直尺和圆规作出下列长度的线段.
类型2网格作图
19.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 和4;
(2)如图2,在直角坐标系中,A(0,4),B(3,0),画出线段AB关于y轴的对称线段AC，并计算点 B 到AC 的距离.
20.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在下列正方形网格中分别画出下列图形.
(1)在图1的网格中画一条长为 的线段AB；
(2)在图2网格中画出一个腰长为 面积为3的钝角等腰三角形 DEF;
(3)利用图3网格，直接写出三边长分别为 的三角形面积为 .
高频考点六 勾股定理与立体图形中的最值
21.如图是一个无盖长方体，已知该长方体的长，宽，高分别为4，3，12，现用一根长为20的木棒伸入长方体的底部，则木棒露在长方体外面的长度l的取值范围是 .
22.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上， 一只蚂蚁从点 P 出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程.
23.如图，有一圆柱形油罐，要从点 A 环绕油罐建梯子到点B，点B 在点 A 的正上方，已知油罐的底面周长为 12 m，AB 为5m ，所建梯子最短需多少米
高频考点七 勾股定理的逆定理
24.若三角形的三条边长a，b，c 满足 10c，则此三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
25.材料阅读：平面内两点 则由勾股定理可得这两点间的距离
例如,如图1,M(3,1),N(1,-2),则
直接应用：(1)已知点 求P，Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中， ,与x轴正半轴的夹角是
①求点 B 的坐标；
②试判断 的形状.
第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅰ)高频考点
1.(1)10 (2)0.7 2.12 3.30
4.5 解：设两直角边的长分别为 a cm，b cm，斜边的长为c cm,
则
2ab=144-24c,24c=120,∴c=5.
5.61 解：设斜边长为c，另一直角边长为a.
∴(c+a)(c-a)=121.∵a,c都是自然数,且0∴c+a和c-a都是自然数,且c+a>c-a,
∴c+a=121,c-a=1,解得c=61,a=60,故斜边长为61.
6.证明:(1)a-b
小正方形的面积
化简，得
(2)由(1)得,
(3)设直角三角形的面积为 S，则
7.1:1: 8.1: :2 9.1:1: 10.4
13.解:作AD⊥BC 于点D.在 Rt△ACD中,
∵∠C=60°,∴∠CAD=30°,AC=2CD=4,
∴AD=2 ,∵BD=BC-CD=6.在 Rt△ABD中,
14.解:延长BC交AD 的延长线于点E,过点 C 作CF⊥AE 于点F,由四边形ABCD的内角和为360°,得∠B=45°,
∴△ABE,△CEF 都是等腰直角三角形,∠CDE=60°.
∴AB=AE=AD+DF+EF=6+3
15.解: 则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的总面积为 ∴铺完这个楼梯至少需要34×50=1700(元).
16.解:延长BD 至点G使DG=BD,连接GA 交CD 于点M,点M为所求位置,过点 A 作AN⊥BD 于点N.由勾股定理,知GA=50km,费用是50×3=150(万元).
17.解:设AB=xm,BC=ym,AD=CE=a m,
根据题意，得
解得x=y+a,
即AB=BC+CE=BE=4(m).
答:墙AB 高4m.
19.解:(1)如图;
(2)C(-3,0),AC=5,作 BD⊥AC 于点D, 求得 ，即点B到AC 的距离是
20.解:(1)如图所示;
(2)如图所示；
(3)如图,面积为4.
21.7≤l≤8
22.解:如图.
∵PB=AB=6,
AQ=2,
∴BQ =6+2
=8,
=10.
答：蚂蚁爬行的最短路程是10.
23.解:如图.
∵AC=12m,BC=5m,
∴AB=13 m.
答：梯子最短需要13 m.
24. B
25.解:(1)∵P(2,-3),Q(-1,3),
(2)①过点 B 作BF⊥y轴于点F.
∵OB 与x 轴正半轴的夹角是45°,
∴∠FOB=∠OBF=45°.
∵OB= ,∴OF=BF=1,∴B(1,-1);
②∵A(-1,-3),B(1,-1),
)是直角三角形.
(Ⅰ)高频考点
高频考点一 勾股定理与直角三角形
1.在 Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)已知AC=8,BC=6,则AB= ;
(2)已知AB=2.5、BC=2.4,则AC= .
2.在Rt△ABC 中,最长边AC 的长为15,最短边 BC 的长为9,则AB 的长为 .
3.已知一个直角三角形的三条边的平方和为1800，则斜边的长为 .
4.已知直角三角形的周长为12cm，面积为6cm ，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
5.直角三角形的一条直角边长为11，另两边的长为自然数，则这个直角三角形的斜边长为 .
高频考点二 勾股定理与勾股弦图
6.如图1，已知边长为c 的正方形和四个斜边长为c，两直角边长分别为a，b(a>b)的四个小直角三角形.
(1)将四个小直角三角形按图2的方法摆放，中间会形成一个小正方形，则小正方形的边长为 (用含a，b的式子表示)，并用此图验证勾股定理；
(2)在图2中，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，求 的值；
(3)如图3，用八个全等的直角三角形拼成三个正方形，记图中正方形ABCD 的面积为S ,正方形 EFGH 的面积为S ,正方形MNKT 的面积为S ,直接写出S ,S ,S 之间的数量关系为 .
高频考点三 勾股定理与特殊角类型1 特殊三角形
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,则AC:AB:BC= .
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,则AC:AB:BC= .
9.如图,在△ABC 中,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则AC:AB: BC=
10.如图,在等边三角形ABC 中,AB=4,则S△ABC= .
类型2 作高构造特殊三角形
11.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=75°,AB=3 ，则AC= ,BC= .
12.如图,在△ABC 中,∠BAC=135°,AB=4,AC=2 ，则BC= .
13.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=4,BC=8,求AB 的长.
14.如图,四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠D=120°,∠C=105°,CD=2AD=6,求AB,BC 的长.
高频考点四 实际问题与勾股定理
15.如图，某会展中心在会展期间准备将高(BC)5m ，长(AB)13 m，宽2m 的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米50元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元钱
16.如图，A，B两个小集镇在河流CD 的同侧，到河的距离分别为AC=10km,BD=30km,且CD=30km,现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最低总费用是多少
17.如图，将一架长梯AC 斜靠在一竖直的墙AB 上，梯子的顶端在墙的最高处，这时梯子的底端恰好落在地面上的点 C 处，如果将梯子顶端A 沿墙下滑到点 D 处，那么梯子的底端C 也外移到地面的点E 处，如果 求墙AB 的高度.
高频考点五勾股定理与作图
类型1尺规作图
18.利用直尺和圆规作出下列长度的线段.
类型2网格作图
19.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 和4;
(2)如图2,在直角坐标系中,A(0,4),B(3,0),画出线段AB关于y轴的对称线段AC，并计算点 B 到AC 的距离.
20.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在下列正方形网格中分别画出下列图形.
(1)在图1的网格中画一条长为 的线段AB；
(2)在图2网格中画出一个腰长为 面积为3的钝角等腰三角形 DEF;
(3)利用图3网格，直接写出三边长分别为 的三角形面积为 .
高频考点六 勾股定理与立体图形中的最值
21.如图是一个无盖长方体，已知该长方体的长，宽，高分别为4，3，12，现用一根长为20的木棒伸入长方体的底部，则木棒露在长方体外面的长度l的取值范围是 .
22.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上， 一只蚂蚁从点 P 出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程.
23.如图，有一圆柱形油罐，要从点 A 环绕油罐建梯子到点B，点B 在点 A 的正上方，已知油罐的底面周长为 12 m，AB 为5m ，所建梯子最短需多少米
高频考点七 勾股定理的逆定理
24.若三角形的三条边长a，b，c 满足 10c，则此三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
25.材料阅读：平面内两点 则由勾股定理可得这两点间的距离
例如,如图1,M(3,1),N(1,-2),则
直接应用：(1)已知点 求P，Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中， ,与x轴正半轴的夹角是
①求点 B 的坐标；
②试判断 的形状.
第十七章《勾股定理》核心专题一点通(Ⅰ)高频考点
1.(1)10 (2)0.7 2.12 3.30
4.5 解：设两直角边的长分别为 a cm，b cm，斜边的长为c cm,
则
2ab=144-24c,24c=120,∴c=5.
5.61 解：设斜边长为c，另一直角边长为a.
∴(c+a)(c-a)=121.∵a,c都是自然数,且0
∴c+a=121,c-a=1,解得c=61,a=60,故斜边长为61.
6.证明:(1)a-b
小正方形的面积
化简，得
(2)由(1)得,
(3)设直角三角形的面积为 S，则
7.1:1: 8.1: :2 9.1:1: 10.4
13.解:作AD⊥BC 于点D.在 Rt△ACD中,
∵∠C=60°,∴∠CAD=30°,AC=2CD=4,
∴AD=2 ,∵BD=BC-CD=6.在 Rt△ABD中,
14.解:延长BC交AD 的延长线于点E,过点 C 作CF⊥AE 于点F,由四边形ABCD的内角和为360°,得∠B=45°,
∴△ABE,△CEF 都是等腰直角三角形,∠CDE=60°.
∴AB=AE=AD+DF+EF=6+3
15.解: 则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的总面积为 ∴铺完这个楼梯至少需要34×50=1700(元).
16.解:延长BD 至点G使DG=BD,连接GA 交CD 于点M,点M为所求位置,过点 A 作AN⊥BD 于点N.由勾股定理,知GA=50km,费用是50×3=150(万元).
17.解:设AB=xm,BC=ym,AD=CE=a m,
根据题意，得
解得x=y+a,
即AB=BC+CE=BE=4(m).
答:墙AB 高4m.
19.解:(1)如图;
(2)C(-3,0),AC=5,作 BD⊥AC 于点D, 求得 ，即点B到AC 的距离是
20.解:(1)如图所示;
(2)如图所示；
(3)如图,面积为4.
21.7≤l≤8
22.解:如图.
∵PB=AB=6,
AQ=2,
∴BQ =6+2
=8,
=10.
答：蚂蚁爬行的最短路程是10.
23.解:如图.
∵AC=12m,BC=5m,
∴AB=13 m.
答：梯子最短需要13 m.
24. B
25.解:(1)∵P(2,-3),Q(-1,3),
(2)①过点 B 作BF⊥y轴于点F.
∵OB 与x 轴正半轴的夹角是45°,
∴∠FOB=∠OBF=45°.
∵OB= ,∴OF=BF=1,∴B(1,-1);
②∵A(-1,-3),B(1,-1),
)是直角三角形.