第一节 导数的概念及运算
【课程标准】 1.了解导数概念的实际背景；2.体会极限思想；3.理解导数的几何意义；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
教|材|回|顾
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个__________，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个__________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝_________________.
(2)导函数
当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
(3)导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处切线的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；
(2)[f(x)g(x)]′＝__________________；
(3)′＝__________________________(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数为y′x＝__________.
微|点|延|伸
1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其绝对值的大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
2．两类切线问题的区别
(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
小|题|快|练
1．下列求导运算正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．(3x)′＝3xlog3e
D．()′＝
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
3．(人A选二P82习题5.2T11改编)已知函数f(x)＝ax2－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝3x平行，则该切线的方程为( )
A．x－3y＋5＝0 B．3x－y－1＝0
C．3x－y＋1＝0 D．x－3y＋1＝0
4．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为________．
5．(人A选二P70习题5.1T7改编)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是________．
类型一 导数的运算自练自悟
1.(多选题)下列求导运算正确的是( )
A．′＝1－
B．(e2x)′＝e2x
C．(log2x)′＝
D．′＝
2．已知函数f(x)＝x(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，则f′(0)＝( )
A．315 B．314
C．－314 D．－315
3．吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝L时，气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为( )
A．dm/L B．dm/L
C．3 L/dm D．4π L/dm
4．(2025·江苏常州模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________．
1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
类型二 导数的几何意义
考向 ：求切线方程
【例1】 (1)(学考衔接：人A选二P82探究与发现)牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
(2)过点(－1,0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程__________．
求切线方程的策略
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等，切点在切线上，切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键．
考向 ：求切点坐标
【例2】 设a∈R，函数f(x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．
利用导数几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标时，关键是设出切点坐标，然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解．
考向 ：求参数的取值范围
【例3】 (2025·湖北省十一校联考)若直线y＝2x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则ab的取值范围是________．
处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程．
【题组对点练】
题号 1 2 3 4
考向 加强练
1.(2025·湖北联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程为( )
A．y＝x－4 B．y＝x
C．y＝－2x D．y＝－2x＋2
2．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
3．函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
4．(2025·山西联考)过点(2,0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
类型三 两曲线的公切线
【例4】 (2025·福建适应性考试)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则( )
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0
C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【训练】 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
第一节 导数的概念及运算
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)确定的值 确定的值
2．0 αxα－1 cos x －sin x ex axln a
3．(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)
4．y′u·u′x
小题快练
1．B 解析 由a为常数知(sin a)′＝0，A错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，B正确；(3x)′＝3xln 3，C错误；()′＝[(x＋1) ]′＝(x＋1) ＝，D错误．故选B.
2．C 解析 因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．故选C.
3．B 解析 由题意，f′(x)＝2ax－，则f′(1)＝2a－1＝3，解得a＝2，则f(x)＝2x2－ln x，f(1)＝2，所以函数f(x)＝2x2－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.故选B.
4．y＝(e－1)x＋2 解析 由题意，得f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，故切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
5. 解析 设点P的横坐标为x0，由y＝x2＋2x＋3得y′＝2x＋2，所以y′|x＝x0＝2x0＋2，设α为曲线C在点P处切线的倾斜角，则2x0＋2＝tan α，又α∈，所以tan α∈[0,1]，所以0≤2x0＋2≤1，即x0∈.
关键能力·落实
1．AC 解析 对于A，′＝1－，故A正确；对于B，(e2x)′＝e2x(2x)′＝2e2x，故B错误；对于C，(log2x)′＝，故C正确；对于D，′＝＝－，故D错误．故选AC.
2．D 解析 设φ(x)＝(x－3)(x－32)(x－33)(x－34)(x－35)，即f(x)＝xφ(x)，则f′(x)＝φ(x)＋xφ′(x)，所以f′(0)＝φ(0)＝－3×32×33×34×35＝－31＋2＋3＋4＋5＝－315.故选D.
3．A 解析 因为V＝πr3，所以r＝，所以r′＝×V，当V＝时，r′＝××＝××＝×＝(dm/L)．故选A.
4．－ 解析 由f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，得f′(x)＝2x＋2f′(2)－，当x＝2时，可得f′(2)＝4＋2f′(2)－，解得f′(2)＝－.
【例1】 (1)B 解析 由f(x)＝x2－2(x>0)，得f′(x)＝2x.已知x0＝2，则f′(x0)＝f′(2)＝4，f(x0)＝f(2)＝2，则f(x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)．令y＝0，可得x1＝，则f′(x1)＝f′＝3，f(x1)＝f＝，所以f(x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3.令y＝0，可得x2＝≈1.417.故选B.
(2)2x－y＋2＝0或x＋4y＋1＝0(写出其中一个即可) 解析 由y＝x3－x，得y′＝3x2－1，设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线斜率为3x－1，得方程y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，代入点(－1,0)，得2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0.
【例2】 ln 2 解析 由f(x)为偶函数，易得a＝1.所以f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得x0＝ln 2.
【例3】 解析 设(x0，y0)为y＝2x与y＝eax＋b的切点坐标，则y′|x＝x0＝aeax0＋b＝2，故y＝eax＋b在(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝2(x－x0)，即y＝2x＋y0－2x0＝2x＋eax0＋b－2x0，所以由②得eax0＋b＝2x0，代入①得ax0＝1，即aeb＋1＝2，a＝，ab＝，设f(x)＝·，f′(x)＝·，由f′(x)>0得x<1，f(x)在(－∞，1)单调递增，f′(x)<0得x>1，f(x)在(1，＋∞)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝，所以ab的取值范围为.
【题组对点练】
1．C 解析 解法一：由题意知，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{ln[－2(－x)]＋1}＝－ln(2x)－1，f′(x)＝－·2＝－，所以f′＝－2，f＝－1，故所求的切线方程为y－(－1)＝－2，即y＝－2x.故选C.
解法二：由题意知，当x<0时，f(x)＝ln(－2x)＋1，所以f′(x)＝·(－2)＝，故f′＝－2，又f(x)为奇函数，所以f′(x)为偶函数，则f′＝f′＝－2，又f＝－f＝－＝－1，故所求的切线方程为y－(－1)＝－2，即y＝－2x.故选C.
2．C 解析 设切点P(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，所以f′(x0)＝3x－1＝2，所以x＝1，所以x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，所以y0＝x－x0＋3，所以当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.所以切点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．故选C.
3．B 解析 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－.因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．故选B.
4．B 解析 过点(2,0)作曲线f(x)＝xex的切线，设切点坐标为(x0，x0ex0)，由题意得f′(x)＝(x＋1)ex，则(x0＋1)ex0＝，即(x－2x0－2)ex0＝0，由于ex0>0，故x－2x0－2＝0，Δ＝12>0，由题意可知x1，x2为x2－2x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，故＋＝＝－1.故选B.
【例4】 A 解析 设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为(x1，y1)，直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln(－x)的切点坐标为(x2，y2)，对y＝ln x求导得y′＝，对y＝－ln(－x)求导得y′＝－·(－1)＝－，所以有得得所以k＝＝.故选A.
【训练】 C 解析 根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则可得(1－m)(em－1)＝0，解得m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条．故选C.(共44张PPT)
第一节
第三章 一元函数的导数及其应用
导数的概念及运算
课
程
标
准
必备知识/梳理
赢在微点 数学 大一轮
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
赢在微点 数学 大一轮
第二部分
——考向探究
类型一
导数的运算 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
导数的几何意义
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型四
两曲线的公切线
解析
解析
R
赢在欲点
y
y=f(x)
I
1
1
I
1
1
I
0
I
r
X2
X1
Xo
X微练(二十一) 导数的概念及运算
基础过关
一、单项选择题
1．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
2．(2025·山东德州调研)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为( )
A．5 cm/s B．6 cm/s
C．8 cm/s D．10 cm/s
3．若函数f(x)满足f(x＋1)＝(ex－e－x)sin x，则f′(1)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
4．(2025·济南质量检测)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1,0)处有相同的切线，则a＝( )
A．1 B．
C．－ D．－1
5．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为( )
A． B．1
C．2 D．e
6．(2025·西安模拟)函数f(x)＝x－aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是( )
A．(1,6) B．(1,3)
C．(3,4) D．(4,6)
二、多项选择题
7．(2025·广东质检)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则( )
A．lm的斜率的最小值为－2
B．lm的斜率的最小值为－3
C．l0的方程为y＝1
D．l－1的方程为y＝9x＋6
8．对于函数f(x)＝ln x－1，则下列判断正确的是( )
A．直线y＝是f(x)过原点的一条切线
B．f(x)关于y＝x对称的函数是y＝ex－1
C．若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则ln a
D．f(x)≤x－2
三、填空题
9．函数f(x)＝x3－aln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则实数a＝________.
10．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
11．已知函数f(x)＝ln x＋x的零点为x0，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，切点为P(m，n)，则mx0ex0＝______.
四、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
素养提升
14．已知函数f0(x)＝xex，记函数fn(x)为fn－1(x)的导函数(n∈N*)，函数y＝fn(x)的图象在点(1，fn(1))处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则ixi＋1＝( )
A． B．
C． D．
15．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
微练(二十一) 导数的概念及运算
1．A 解析 因为f(x)＝exsin 2x，则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.故选A.
2．C 解析 由h＝t3＋t2，求导得h′＝t2＋2t. 当t＝t0时，h′＝t＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)．故选C.
3．A 解析 解法一：f(x＋1)＝(ex－e－x)sin x，令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝(et－1－e1－t)sin(t－1)，即f(x)＝(ex－1－e1－x)sin(x－1)，所以f′(x)＝(ex－1＋e1－x)sin(x－1)＋(ex－1－e1－x)cos(x－1)，则f′(1)＝0＋0＝0，故选A.
解法二：f(x＋1)＝(ex－e－x)sin x，两边同时求导，得f′(x＋1)·(x＋1)′＝(ex＋e－x)sin x＋(ex－e－x)cos x，即f′(x＋1)＝(ex＋e－x)sin x＋(ex－e－x)cos x，令x＝0，得f′(1)＝0＋0＝0，故选A.
4．B 解析 因为(ln x)′＝，′＝a，曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1,0)处有相同的切线，所以2a＝1，a＝.故选B.
5．B 解析 由y＝ex＋1，可得y′＝ex；由y＝ex＋1，可得y′＝ex＋1，设两个切点分别为(x1，ex1＋1)和(x2，ex2＋1)，直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，即x1≠x2，所以k＝＝＝1，即直线l的斜率为1.故选B.
6．C 解析 设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k＝f′(x0)＝1－，当a≤0时，k＝1－>0，故不存在k1k2＝－1；当a>0时，满足所以37．BCD 解析 因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1.因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6.故选BCD.
8．ACD 解析 对于A，设切点为(m，ln m－1)，则k＝f′(m)＝＝，所以ln m－1＝·m，所以ln m＝2，所以m＝e2，k＝.所以过原点的切线方程为y＝，故A正确；对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x ey＋1＝x，故与f(x)关于y＝x对称的函数为 y＝ex＋1，故B错误；
对于C，若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则点(a，b)在f(x)上方，如图所示，即b>f(a)，即b>ln a－1，故C正确；对于D，由于 x>0，设g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得09．5 解析 f′(x)＝3x2－，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f′(1)＝3－a＝－2，即a＝5，经检验符合题意．
10．4 解析 因为y′＝2x－1，所以y′|x＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，所以＝－5，所以c＝4.
11．e 解析 易知f′(x)＝＋1，切点为P(m，ln m＋m)，则切线方程为y＝(x－m)＋ln m＋m，因为过原点，所以0＝(－m)＋ln m＋m，解得m＝e，则P(e，e＋1)，由ln x0＋x0＝0，可得x0＝－ln x0，故mx0ex0＝ex0·e－ln x0＝ex0·＝e.
12．解 (1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)，又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
13．解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝，又因为f′(x)＝a＋，所以解得所以f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
14．B 解析 f1(x)＝(x＋1)ex，其图象对应的切点为(1,2e)，f2(x)＝(x＋2)ex，令x＝1，得f2(1)＝3e，故函数y＝f1(x)的图象在点(1,2e)处的切线方程为y－2e＝3e(x－1)，令y＝0，得x＝，即x1＝.易知fn(x)＝(x＋n)ex，其图象对应的切点为(1，(1＋n)e)，fn＋1(x)＝(x＋n＋1)ex，函数y＝fn(x)的图象在点(1，(1＋n)e)处的切线斜率k＝(n＋2)e，切线方程为y－(1＋n)e＝(n＋2)e(x－1)，令y＝0，得xn＝，所以xnxn＋1＝＝－，ixi＋1＝－＋－＋…＋－＝－＝.故选B.
15．解 解法一：由题意可知f′(x)＝3x2－1，f(x1)＝ x－x1，则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为 y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，即y＝(3x－1)x－2x.因为曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线，所以有且仅有一组解，即方程x2－(3x－1)x＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，从而Δ＝(3x－1)2－4(2x＋a)＝0 4a＝9x－8x－6x＋1.
(1)若x1＝－1，则4a＝12 a＝3.
(2)4a＝9x－8x－6x＋1，令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1，则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(x－1)(3x＋1)，令h′(x)>0，得－1，令h′(x)<0，得x<－或0解法二：由题意可知f′(x)＝ 3x2－1，f(x1)＝x－x1，则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，即y＝(3x－1)x－2x①，设公切线与曲线y＝g(x)的切点为(x2，x＋a)，又g′(x2)＝ 2x2，则切线可表示为y－(x＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x＋a②，因为①②表示同一直线方程，所以则(3x－1)2－8x＝4a，所以4a＝9x－8x－6x＋1.下面同解法一．(共25张PPT)
微练(二十一)
导数的概念及运算
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
素养提升
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解