数列-求和基本方法

数列求和的基本方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
4、
[例1]
已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得
（利用常用公式）
＝＝＝1－
[例2]
设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N
,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得
，
（利用常用公式）
∴
＝
＝＝
∴
当
，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.
[例3]
求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….
②
（设制错位）
①－②得
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]
求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
（设制错位）
①－②得
（错位相减）
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5]
求证：
证明：
设…………………………..
①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………..……..
②
①+②得
（反序相加）
∴
[例6]
求的值
解：设………….
①
将①式右边反序得
…………..②
（反序）
又因为
①+②得
（反序相加）
＝89
∴
S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7]
求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝
（分组求和）
当时，＝
[例8]
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴
＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝
（分组）
＝
＝
（分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
[例9]
求数列的前n项和.
解：设
（裂项）
则
（裂项求和）
＝
＝
[例10]
在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解：
　
∵
　
∴
（裂项）
∴
数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝
＝
[例11]
求证：
解：设
∵
（裂项）
∴
（裂项求和）
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]
求cos1°+
cos2°+
cos3°+···+
cos178°+
cos179°的值.
解：设Sn＝
cos1°+
cos2°+
cos3°+···+
cos178°+
cos179°
∵
（找特殊性质项）
∴Sn＝
（cos1°+
cos179°）+（
cos2°+
cos178°）+
（cos3°+
cos177°）+···
+（cos89°+
cos91°）+
cos90°
（合并求和）
＝
0
[例13]
数列{an}：，求S2002.
解：设S2002＝
由可得
……
∵
（找特殊性质项）
∴　S2002＝
（合并求和）
＝
＝
＝
＝5
[例14]
在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质
（找特殊性质项）
和对数的运算性质
得
（合并求和）
＝
＝
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15]
求之和.
解：由于
（找通项及特征）
∴
＝
（分组求和）
＝
＝
＝
[例16]
已知数列{an}：的值.
解：∵
（找通项及特征）
＝
（设制分组）
＝
（裂项）
∴
（分组、裂项求和）
＝
＝