浙江省杭州市2024—2025学年度八年级下学期期末训练卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市2024—2025学年度八年级下学期期末训练卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-20 15:09:43 | ||
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文档简介
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浙江省杭州市2024—2025学年度八年级下学期期末训练卷
一．选择题（共16小题）
1．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若2＜a＜3，则（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
4．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
5．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3.5，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．28 B．14 C．7 D．3.5
6．反比例函数的图象上有A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）三点（ ）
A．若y1＜0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
B．若y1＞0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
C．若y1＞0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
D．若y1＜0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
8．如图所示，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，若BC＝6，DE＝4，设AE＝x，CE＝y，则下列代数式为定值的是（ ）
A．y+x B．xy C．y﹣x D．y2+x2
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E是CD上一点，连结BE，分别过点A和C作BE的垂线，垂足分别为G和F，BE与AC交于点H，O是AC的中点，连结OF，OG，AB＝5，有下列结论：①当AG＝4时，FG＝1；②OG平分∠AGE．关于这两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形模具是否为菱形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分且相等
B．测量对角线是否互相平分且垂直
C．测量三条边是否相等
D．测量对角线是否互相垂直且一组邻边相等
11．如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（ ）
A．S的值仅与a，b有关
B．S的值仅与c，k有关
C．S的值仅与k有关
D．S的值与a，b，c，k都有关
12．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，点B'恰好在GD'上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是（ ）
A．21° B．26° C．33° D．42°
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（ ）
A．25° B．26° C．30° D．32°
14．如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，连结AE，DE，若AD＝AE，，则正方形ABCD的边长是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，射线EG与BC的延长线相交于点P．若∠P＝30°，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．连接FH，DF，若，，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
17．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上．则BE的长为 ．
（2）如图2，连接BD，若EF∥BD，则BE的长为 ．
18．计算6的结果是 ．
19．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为 ．
20．对于字母m、n，定义新运算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解为a、b，则a☆b+2的值为 ．
21．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 ．
22．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：S2[2×（2）2+4×（3）2+3×（4）2+（8）2]，则的值是 ．
23．已知点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，当y≤2时，x的取值范围是 ．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②FE平分∠AFG；③BE+DG＝EG；④△EAF的面积的最大值是；其中正确的结论是 ．
三．解答题（共13小题）
25．我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
26．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
27．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
28．计算题：
（1）；
（2）．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
30．2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生 7.7 9.9 9.8 5.5 9.6 9.6 8.6 9.8 9.9 7.9
9.0 7.5 7.7 8.5 9.2 8.7 9.2 9.3 9.2 9.4
女生 9.0 7.6 9.1 9.0 8.0 7.9 8.6 9.2 9.0 9.3
8.2 9.2 8.8 8.5 9.1 8.6 9.0 9.5 9.3 9.1
b．睡眠时长频数分布直方图（分组：5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10）：
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
年级 平均数 众数 中位数
男生 8.8 m 9.2
女生 8.8 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 （填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为 ．
31．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝ ，且I≤10， ∴ ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 ；
（2）问题二中※表示： ，★表示： ，▲表示： ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
32．如图，点P在正方形ABCD的对角线BD延长线上，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）若∠PAD＝15°，
①求∠PEF的度数；
②设AB＝4，求PE的长；
（2）求证：CEPD．
33．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求m的值及曲线CD的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
34．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
35．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
36．已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值．
（2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小．
（3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明．
37．【方法初探】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C．
解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，连接AE，从而证明出结论．
请你根据上述解题思路，写出证明过程．
【方法应用】如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，直接写出AE的长 ．
一．选择题（共16小题）
1．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．若2＜a＜3，则（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：因为2＜a＜3，
所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故选：D．
4．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3.5，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．28 B．14 C．7 D．3.5
【分析】根据中位线可得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC，问题得解．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵EF∥CB，
∴，
∴AF＝BF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3.5＝7，
∴菱形ABCD的周长是4×7＝28，
故选：A．
6．反比例函数的图象上有A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）三点（ ）
A．若y1＜0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
B．若y1＞0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
C．若y1＞0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
D．若y1＜0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：分别将点A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）代入解析式得：
y1，y2，y3，
∴y1﹣y2，y2﹣y3，
若y1＜0，则0，
∴y1﹣y2＜y2﹣y3＜0，
∴|y1﹣y2|＞|y2﹣y3|，
∴A，D均错误；
若y1＞0，则0，
∴y1﹣y2＞y2﹣y3＞0，
∴|y1﹣y2|＞|y2﹣y3|，
∴B正确，C错误．
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
8．如图所示，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，若BC＝6，DE＝4，设AE＝x，CE＝y，则下列代数式为定值的是（ ）
A．y+x B．xy C．y﹣x D．y2+x2
【分析】连接BD，由菱形的性质推出BD⊥AC，OAAC（x+y），AD＝BC＝6，求出OE（y﹣x），由勾股定理得到42（y﹣x）2＝62（x+y）2，得到xy＝20．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OAAC，AD＝BC＝6，
∵AE＝x，CE＝y，
∴AC＝x+y，
∴OA（x+y），
∴OE＝OA﹣AE（y﹣x），
∵OD2＝DE2﹣OE2＝AD2﹣AO2，
∴42（y﹣x）2＝62（x+y）2，
∴xy＝20．
∴代数式为定值的是xy．
故选：B．
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E是CD上一点，连结BE，分别过点A和C作BE的垂线，垂足分别为G和F，BE与AC交于点H，O是AC的中点，连结OF，OG，AB＝5，有下列结论：①当AG＝4时，FG＝1；②OG平分∠AGE．关于这两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错
【分析】根据正方形的性质先证明△ABG≌△BCF（AAS），利用其性质结合勾股定理可判断①选项，延长FO交AG于N，证明△AON≌△COF（AAS），利用其性质可证明△FNG为等腰直角三角形，即可判断②．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点O是AC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵AG⊥BE，CF⊥BE，
则AG∥CF，
∴∠AGB＝∠BFC＝90°，∠ABG+∠EBC＝∠BCF+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠BCF，
∴△ABG≌△BCF（AAS），
∴AG＝BF，
当AG＝4时，，
则FG＝BF﹣BG＝AG﹣BG＝1，故①选项正确；
延长FO交AG于N，
∵AG∥CF，
∴∠OAN＝∠OCF，∠ONA＝∠OFC，
∵点O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AON≌△COF（AAS），
∴OF＝ON，CF＝AN，
∵NG＝AG﹣AN，FG＝BF﹣BG，
∴NG＝FG，即：△FNG为等腰直角三角形，
∴OG平分∠AGE，故②正确．
故选：A．
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形模具是否为菱形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分且相等
B．测量对角线是否互相平分且垂直
C．测量三条边是否相等
D．测量对角线是否互相垂直且一组邻边相等
【分析】A．菱形的对角线性质是互相垂直且平分，而对角线互相平分且相等是矩形的判定条件．因为矩形的对角线具有互相平分且相等的特点，所以此条件不能判定四边形是菱形，A选项不符合要求．
B．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形．而菱形是特殊的平行四边形，在平行四边形的基础上，当对角线互相垂直时，就满足了菱形的判定条件，所以如果一个四边形对角线互相平分且垂直，可判定它是菱形，B选项符合要求．
C．菱形的定义是四条边都相等的四边形．仅三条边相等，无法确定第四条边的情况，不能依据此条件判定该四边形是菱形，C选项不符合要求．
D．菱形的判定需要满足特定的条件组合，“对角线互相垂直且一组邻边相等”这种条件组合，不满足菱形判定定理中的任何一条，不能判定该四边形是菱形，D选项不符合要求．
【解答】解：A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不是菱形，所以该选项错误．
B．：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上，若对角线还互相垂直，根据菱形的判定定理，这个平行四边形就是菱形，所以该选项正确．
C．仅测量三条边相等，不能判定这个四边形是菱形，菱形需要四条边都相等，所以该选项错误．
D．对角线互相垂直且一组邻边相等，不能判定这个四边形是菱形，不满足菱形的判定条件，所以该选项错误．
故选：B．
11．如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（ ）
A．S的值仅与a，b有关
B．S的值仅与c，k有关
C．S的值仅与k有关
D．S的值与a，b，c，k都有关
【分析】根据题意，先确定各点的坐标，C（b，0），B（b，a），A（0，a），P（c，），F（c，a），利用S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF得到结论即可．
【解答】解：如图，
由条件可知C（b，0），B（b，a），A（0，a），
∵点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且横坐标为c，
∴P（c，），F（c，a），
∴S△AEF AF （a）（ac﹣k），
S△BCF，
S△ABC，
∴S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF，
∴△EFC的面积为S仅与k值有关．
故选：C．
12．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，点B'恰好在GD'上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是（ ）
A．21° B．26° C．33° D．42°
【分析】由矩形的性质得AD∥BC，∠A＝90°，因为∠BFE＝66°，所以∠DEF＝∠BFE＝66°，∠AEF＝114°，由折叠得∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝114°，则∠A′EG＝∠A′EF﹣∠DEF＝48°，求得∠DGB′＝∠EGA′＝42°，而点B′在GD′上，所以∠DGD′＝42°，则∠DGH∠DGD′＝21°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∵∠BFE＝66°，
∴∠DEF＝∠BFE＝66°，∠AEF＝180°﹣∠BFE＝114°，
由折叠得∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝114°，∠DGH＝∠D′GH，
∴∠A′EG＝∠A′EF﹣∠DEF＝114°﹣66°＝48°，
∴∠DGB′＝∠EGA′＝90°﹣∠A′EG＝42°，
∵点B′在GD′上，
∴∠DGD′＝∠DGB′＝42°，
∴∠DGH∠DGD′＝21°，
故选：A．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（ ）
A．25° B．26° C．30° D．32°
【分析】由∠C＝90°，∠B＝32°，求得∠A＝58°，由B′E∥AC，得∠AGB′＝∠A＝58°，由折叠得∠B′＝∠B＝32°，则58°＝∠AFB′+32°，求得∠AFB′＝26°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝58°，
∵B′E∥AC，
∴∠AGB′＝∠A＝58°，
∵将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，
∴∠B′＝∠B＝32°，
∵∠AGB′＝∠AFB′+∠B′，
∴58°＝∠AFB′+32°，
∴∠AFB′＝26°，
故选：B．
14．如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，连结AE，DE，若AD＝AE，，则正方形ABCD的边长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得△DEH是等腰直角三角形，根据勾股定理可得DH＝HE＝2，再由勾股定理，即可求解．
【解答】解：∵赵爽弦图的示意图由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，
∴BE＝CH＝DG，GH＝EH＝EF＝FG，AF⊥BE，CH⊥DG，AB＝AD＝AE，
∴BF＝EF＝EC＝EH＝DH，
∴△DEH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴HE＝DH＝2，
∴CH＝4，
由勾股定理得：，
∴正方形ABCD的边长是，
故选：D．
15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，射线EG与BC的延长线相交于点P．若∠P＝30°，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】作CM⊥PG于点M，GN⊥PB于点N，设CM＝x，在Rt△PCM中，求得CP＝2x，，在Rt△CGM中，求得，，在Rt△PNG中，求得，，再证明∠GCN∽∠BCG，求得，据此求解即可．
【解答】解：作CM⊥PG于点M，GN⊥PB于点N，
设CM＝x，
∴△PCM是直角三角形，
∵∠P＝30°，
∴CP＝2CM＝2x，，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FGC＝∠FGH＝90°，∠CGM＝∠EGH＝45°，
在Rt△CGM中，∠CGM＝45°，
∴CM＝GM＝x，
∴，，
在Rt△PNG中，∠P＝30°，
∴，，
∴，
∵∠GNC＝∠BGC＝90°，∠GCN＝∠BCG，
∴∠GCN∽∠BCG，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．连接FH，DF，若，，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】由全等三角形的性质可得EF＝EH，先对Rt△EFH运用勾股定理求出EF，再对Rt△DEF运用勾股定理求出DE＝AF，则AE即可求得，最后对Rt△AED运用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成，
∴AF＝DE，DH＝AE，∠AED＝∠DEF＝90°，
∴AF﹣AE＝DE﹣DH，
∴EF＝EH，
在直角三角形EFH中，，
由勾股定理得：EF2+EH2＝HF2，
∴EF＝EH＝2，
在直角三角形DEF中，，
由勾股定理得：，
∴AE＝AF﹣FE＝5﹣2＝3，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
17．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上．则BE的长为 13 ．
（2）如图2，连接BD，若EF∥BD，则BE的长为 4 ．
【分析】（1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，利用轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED，利用平行四边形的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理求出AD＝DE＝10，利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得线段CH，DH，利用勾股定理求得EH，进而求得CE，则BE＝BC﹣EC；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，利用平行四边形的判定与性质得到BE＝DG，设BE＝DG＝x，利用矩形的判定与性质得到HK＝DG＝x，GH＝DK，再利用勾股定理和（1）的结论解答即可得出结论．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，AD∥BC，DC∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠DCH＝∠ABC＝60°，
由折叠得：△ABE≌△AFE，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝10，
在Rt△DCH中，CHDC＝3，DHDC＝3，
在Rt△DEH中，EH，
∴CE＝EH﹣CH3，
∴BE＝BC﹣EC＝10﹣（3）＝13，
故答案为：13；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，如图2，
∵BE∥AD，EF∥BD，
∴四边形BEGD为平行四边形，
∴BE＝DG．
∴设BE＝DG＝x，则EC＝10﹣x，
∵DK⊥BC，GH⊥BC，AD∥BC，
∴四边形DKHG为矩形，
∴HK＝DG＝x，GH＝DK．
由（1）知：DK＝3，CK＝3，
∴EH＝EC+CK+KH＝10﹣x+3+x＝13，
在Rt△EHG中，EG14，
由折叠得：∠AEB＝∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEG＝∠DAE，
∴EG＝AG＝14，
∴BE＝DG＝AG﹣AD＝14﹣10＝4，
故答案为：4．
18．计算6的结果是 4 ．
【分析】先进行开方运算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝264
＝224
＝4．
故答案为：4．
19．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为 72° ．
【分析】先根据正五边形的性质得出正五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BCA的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴其每个内角为108°，且AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°．
故答案为：72°
20．对于字母m、n，定义新运算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解为a、b，则a☆b+2的值为 6． ．
【分析】判断出a+b＝﹣3，ab＝1，再根据新定义计算即可．
【解答】解：∵方程x2+3x+1＝0的解为a、b，
∴a+b＝﹣3，ab＝1，
∴a☆b+2＝ab﹣a﹣b+2＝1+3+2＝6．
故答案为：6．
21．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 5 ．
【分析】将α2﹣4α﹣β化为α2﹣3α﹣（α+β）分别求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根，
∴α2﹣3α﹣8＝0，
∴α2﹣3α＝8，
∵α+β＝3，
∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
22．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：S2[2×（2）2+4×（3）2+3×（4）2+（8）2]，则的值是 3.6 ．
【分析】根据方差的计算公式得出这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，再根据平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，
所以这组数据的平均数3.6，
故答案为：3.6．
23．已知点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，当y≤2时，x的取值范围是 x≤﹣1或x＞0 ．
【分析】根据点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，求出k的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴函数解析式为y，
∴图象位于二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而增大，
当y＝2时，x＝﹣1，
则当y≤2时，x≤﹣1或x＞0．
故答案为：x≤﹣1或x＞0．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②FE平分∠AFG；③BE+DG＝EG；④△EAF的面积的最大值是；其中正确的结论是 ①③ ．
【分析】在BC上截取BH＝BE，连接EH，如图：根据等腰直角三角形的性质得到EHBE，求得AF＝EH，根据全等三角形的性质得到∠AEF＝∠ECH，推出△ECF是等腰直角三角形，得到∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确；得到∠BEH＝45°，求得∠AFE≠∠EFC，推出FE不平分∠AFG，故②错误，延长AD到H，使得DH＝BE，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠DCH，EG＝GH，得到EG＝BE+DG，故③正确，设BE＝x，则AE＝1﹣x，AFx，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：在BC上截取BH＝BE，连接EH，如图1：
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，
∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确；
∵∠B＝90°，
∴∠BEH＝45°，
∵∠BEC＜90°，
∴∠CEH＜45°，
∴∠AFE＜45°，
∴∠AFE≠∠EFC，
∴FE不平分∠AFG，故②错误，
延长AD到H，使得DH＝BE，如图2：
可得△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③正确，
设BE＝x，则AE＝1﹣x，AFx，
∴S△AEF （1﹣x）×xx2x（x2﹣x）（x）2，
∵0，
∴x时，△AEF的面积的最大值为．故④错误，
故答案为：①③．
三．解答题（共13小题）
25．我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
【分析】（1）分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点E；
（2）步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
【解答】解：（1）如图2中，点E即为所求；
（2）如图3中，步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
26．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
【分析】（1）易得AC＝5，所以AC1＝AC＝5，再利用勾股定理求解即可；
（2）连结BD交AC于点O，证OH为△BDD1的中位线，即可得证；
（3）连接PC1，证∠BC1P＝90°，在Rt△AD1B中，BD1，所以BC1＝4，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】（1）解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴，
∵△ACD、△ACD关于直线AP对称，
∴AC1＝AC＝5，
∴BC＝AC﹣AB＝1，
在Rt△BCC1中，由勾股定理得，
，
∴CC1的长为；
（2）证明：连结BD交AC于点O，
∵ABCD为矩形，
∴OB＝OD
∵D，D1关于AC对称，
∴AC垂直平分DD1，
∴H为DD1的中点，
∴OH为△BDD1的中位线，
∴OH∥BD1，
∵AC⊥DD1，
∴∠DHO＝90°，
∵OH∥BD，
∴∠BD1D＝∠DHO＝90°，
∴DD⊥BD1；
（3）解：连接PC1，
∵△ACD、△AC1D1关于直线AP对称，
∴AD＝AD，CD＝CD，∠ACD＝∠AC1B∠ACP＝∠AC1PPC＝PC1，∠ADC＝∠AC1C＝90°，
∵∠ACD+∠ACP＝90°
∴∠AC1B+∠AC1P＝90°，
即∠BC1P＝90°，
当直线C1D1经过点B时，
在Rt△AD1B中，BD1，
∴BC1＝C1D1﹣BD1＝4，
在Rt△BC1P中，，
∴，，
∴．
27．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 正方形或矩形 ．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
【分析】（1）根据定义易得解；
（2）①画一个符合题意得矩形 ABCD，②根据BC＝5，可以找点D使CD＝5，并且满尊BD＝AC即可得解；
（3）先证△ADF≌△CDG（SAS），可得DF＝DG，再导角证DG＝EG，进而得证．
【解答】（1）解：由题意可知：正方形，矩形，
故答案为：正方形或矩形；
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求．
（3）证明：在正方形ABCD中，
∵AF＝CG，AB＝BC，
∴FB＝BG，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝90°，
∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵AD∥CB，
∴∠EDG＝∠DGC，
∵∠DGC＝∠DEG，
∴∠GDE＝∠GED，
∴DG＝EG，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG是垂等四边形．
28．计算题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值，分母有理化等知识计算即可；
（2）根据根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3﹣1+2
＝﹣3﹣1+22
＝﹣2；
（2）原式＝24
＝44
＝122．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m．
30．2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生 7.7 9.9 9.8 5.5 9.6 9.6 8.6 9.8 9.9 7.9
9.0 7.5 7.7 8.5 9.2 8.7 9.2 9.3 9.2 9.4
女生 9.0 7.6 9.1 9.0 8.0 7.9 8.6 9.2 9.0 9.3
8.2 9.2 8.8 8.5 9.1 8.6 9.0 9.5 9.3 9.1
b．睡眠时长频数分布直方图（分组：5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10）：
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
年级 平均数 众数 中位数
男生 8.8 m 9.2
女生 8.8 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 男生 （填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为 睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生 ．
【分析】（1）求出男生8≤x＜9的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（2）根据众数和中位数的定义即可得到m，n的值；
（3）根据统计量的意义判断，并说明理由即可．
【解答】解：（1）男生8≤x＜9的频数为20﹣1﹣4﹣12＝3，
补全男生睡眠时长频数分布直方图如下：
（2）∵男生睡眠时长中：9.2小时出现3次，是出现次数最多的数据，
∴m＝9.2，
∵女生睡眠时长中位数是数据由小到大排列第10，第11个数据的平均数，由数据可知，第10，第11个数据分别为：9，9，
∴n＝（9+9）÷2＝9；
（3）根据题目中的信息可知，男生睡眠情况比较好，
理由为：睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
故答案为：男生，睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
31．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： I .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝ ，且I≤10， ∴ ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 I ；
（2）问题二中※表示： 36 ，★表示： 不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 ，▲表示： R≥3.6 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出U值，进而可得出反比例函数的表达式；
（2）由I，且I≤10，可得出10，结合R＞0，即可求出R的取值范围；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当I＝10时R的值，由36＞0且R＞0，利用反比例函数的性质，可得出I随R的增大而减小，再结合I≤10，即可求出R的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数I的图象过点（9，4），
∴4，
∴U＝36，
∴反比例函数的表达式为I．
故答案为：I；
（2）∵I，且I≤10，
∴10，
∵R＞0，
∴10R≥36（不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变），
∴R≥3.6．
故答案为：，，36，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，R≥3.6；
（3）解法二：当I＝10时，10，
解得：R＝3.6，
∵36＞0，且R＞0，
∴I随R的增大而减小，
又∵I≤10，
∴R≥3.6．
32．如图，点P在正方形ABCD的对角线BD延长线上，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）若∠PAD＝15°，
①求∠PEF的度数；
②设AB＝4，求PE的长；
（2）求证：CEPD．
【分析】（1）①根据正方形性质得∠ABP＝∠ADB＝∠CBP＝45°，进而得∠APD＝30°，再根据PE⊥PA，EF⊥BP得∠PEF＝∠APD＝30°；
②在FE上截取FG＝FP，连接PG，BG，连接CG，则△PFG是等腰直角三角形，进而得∠FPG＝45°，再证明△FBE是等腰直角三角形得BF＝EF，∠FEB＝45°，由此可判定△BFG和△EFP全等，则∠GBF＝∠PEF＝∠APD＝30°，解得BG∥AP，再根据∠FPG＝∠ABP＝45°得AB∥PG，由此得四边形ABGP是平行四边形，则PG＝AB＝4，在Rt△PFG，由勾股定理得FPPG，然后在Rt△PEF中，根据∠PEF＝30°即可得出PE的长；
（2）先证明四边形DCGP是平行四边形，则PD＝CG，∠DCG＝∠FPG＝45°，进而得∠GCE＝∠FEB＝45°，则△GCE是等腰直角三角形，由勾股定理得CECG，由此即可得出结论．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，点P在对角线BD的延长线上，
∴∠ABP＝∠ADB＝∠CBP＝45°，
∵∠ADP是△ADP的外角，
∴∠ADP＝∠PAD+∠APD，
∵∠PAD＝15°，
∴45°＝15°+∠APD，
∴∠APD＝30°，
∵PE⊥PA，EF⊥BP，
∴∠APE＝90°，∠PFE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，∠PEF+∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝∠APD＝30°；
②解：在FE上截取FG＝FP，连接PG，BG，连接CG，如图所示，
∵EF⊥BP，
∴∠BFG＝∠EFP＝90°，
∴△PFG是等腰直角三角形，
∴∠FPG＝45°，
∵∠CBP＝45°，EF⊥BP，
∴△FBE是等腰直角三角形，
∴BF＝EF，∠FEB＝45°，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴∠GBF＝∠PEF＝30°，
∴∠GBF＝∠APD＝30°，
∴BG∥AP，
又∵∠FPG＝∠ABP＝45°，
∴AB∥PG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴PG＝AB＝4，
在等腰Rt△PFG中，
由勾股定理得：PGFP，
∴FPPG，
在Rt△PEF中，∠PEF＝30°，
∴PE＝2FP；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，AB∥DC，∠DCB＝∠DCE＝90°，
由（1）可知：四边形ABGP是平行四边形，
∴AB∥PG，AB＝PG，
∴DC∥PG，DC＝PG，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴PD＝CG，∠DCG＝∠FPG＝45°，
∴∠GCE＝∠DCE﹣∠DCG＝45°，
∴∠GCE＝∠FEB＝45°，
∴△GCE是等腰直角三角形，
∴CG＝EG，
由勾股定理得：CECG，
∵PD＝CG，
∴CEPD．
33．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求m的值及曲线CD的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【分析】（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，解方程得到m＝10，求得B（10，40），得到C（20，40），设反比例函数的解析式为y，把C（20，40）代入y，解方程即可得到结论；
（2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，
解得m＝10，
∴B（10，40），
∵线段BC持续的时间恰为10分钟，
∴C（20，40），
设反比例函数的解析式为y，
把C（20，40）代入y得40得k＝800，
∴曲线CD的函数表达式为y；
（2）令y＝32，
∴32x+15，
∴x＝6.8，
令y＝32，
∴32，
∴x25，
∵25﹣6.8＝18.2＞18，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
34．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 y＝1.25x（0≤x≤0.8） ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
【分析】（1）施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式；
（2）当x＞0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式，进而取y＝0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间；
（3）取x＝2，x＝4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量（1﹣降低的百分率）2＝4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤0.8时，设y＝kx，
∵经过点（0.8，1），
∴0.8k＝1，
解得：k＝1.25，
∴y＝1.25x；
∴施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）．
故答案为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）；
（2）当x＞0.8时，设y，
∵经过点（0.8，1），
∴a＝0.8，
∴y，
当y＝0.08时，x＝10．
答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）当x＝2时，y＝0.4，
当x＝4时，y＝0.2．
设这两个月降低的百分率为m，
0.4（1﹣m）2＝0.2，
（1﹣m）2，
解得：m1＝1（不合题意，舍去），m2＝10.293≈29.3%．
答：降低的百分率约为29.3%．
35．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 （4，2） ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ 4 m，BC＝ 2 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的长均不小于1m，所以1≤x≤8，直线y＝﹣2x+a在l3、l4之间移动，可得求a的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y与直线l1：y＝﹣2x+10联立得：
，
∴2x+10，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）a＝6，不能围出矩形地块；理由如下：
y＝﹣2x+6的图象，如图中直线l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a得：4＝﹣2×2+a，
解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l4、l3之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
36．已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值．
（2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小．
（3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明．
【分析】（1）将点（1，3）坐标代入求出k1即可；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可；
（3）由反比例函数的性质可得y2的最大值为，最小值为，y1的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程，即可求解．
【解答】（1）解：将点（1，3）坐标代入得：3，
解得：k1＝3，
（2）解：∵中k1＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，y随x的增大而减小，
∵2＜4，
∴a﹣b＞c﹣b，a﹣b＞0，c﹣b＞0，
∴a＞c＞b；
（3）证明：∵反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，
∴y2随x的增大而增大，则y2的最大值为，最小值为，
∵反比例函数．如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，
∴y1随x的增大而减小，则y1的最大值为，最小值为，
∵函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，
∴5，4.8，
∴（m+1）k1﹣k2m＝5m（m+1）①，mk1﹣（m+1）k2＝4.8m（m+1）②，
∴①﹣②得：k1+k2＝0.2m（m+1），
∴k1+k2．
37．【方法初探】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C．
解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，连接AE，从而证明出结论．
请你根据上述解题思路，写出证明过程．
【方法应用】如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，直接写出AE的长 15 ．
【分析】【方法初探】根据已知可得AD是BE的垂直平分线，从而可得AB＝AE，进而可得∠B＝∠AEB，然后结合已知AB+BD＝DC，可得AB＝EC，从而可得AE＝EC，进而可得∠C＝∠EAC，最后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝2∠C，即可解答；
【方法应用】先证明△ABD≌△AHD得到AH＝AB，BD＝HD，再证明△CDH是等腰直角三角形，推出BD＝HC，据此根据线段的和差关系即可证明结论；
【实际应用】由三角形内角和定理可得∠DAC＝25°，证明△DAC≌△FAC（SAS）得出∠AFC＝∠D＝110°，再证明△CEF≌△CEB（AAS）得出EF＝BE，求出BF＝2BE＝6，即可得解．
【解答】【方法初探】证明：如图2，在DC上截取DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C，
∴∠B＝2∠C；
【方法应用】证明：如图所示，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠AHD＝90°＝∠B，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠HAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AHD（AAS），
∴AH＝AB，BD＝HD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴HD＝HC，
∴BD＝HC，
∵AC＝AH+CH，
∴AC＝AB+BD；
【实际应用】解：在AE上截取AF＝AD，连接CF，
由题意可得：
∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝25°，
∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝25°，
∴∠DAC＝∠FAC＝25°，
∵AC＝AC，
在△DAC和△FAC中，
，
∴△DAC≌△FAC（SAS），
∴∠AFC＝∠D＝110°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°，
∴∠B＝∠CFE，
∵CE⊥AB，
∴∠CEF＝∠CEB＝90°，
∴CE＝CE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（AAS），
∴EF＝BE，
∴BF＝2BE＝6，
∴AB＝AF+BF＝12+6＝18，
∴AE＝AB﹣BE＝18﹣3＝15．
故答案为：15．
浙江省杭州市2024—2025学年度八年级下学期期末训练卷
一．选择题（共16小题）
1．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若2＜a＜3，则（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
4．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
5．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3.5，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．28 B．14 C．7 D．3.5
6．反比例函数的图象上有A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）三点（ ）
A．若y1＜0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
B．若y1＞0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
C．若y1＞0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
D．若y1＜0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
8．如图所示，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，若BC＝6，DE＝4，设AE＝x，CE＝y，则下列代数式为定值的是（ ）
A．y+x B．xy C．y﹣x D．y2+x2
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E是CD上一点，连结BE，分别过点A和C作BE的垂线，垂足分别为G和F，BE与AC交于点H，O是AC的中点，连结OF，OG，AB＝5，有下列结论：①当AG＝4时，FG＝1；②OG平分∠AGE．关于这两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形模具是否为菱形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分且相等
B．测量对角线是否互相平分且垂直
C．测量三条边是否相等
D．测量对角线是否互相垂直且一组邻边相等
11．如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（ ）
A．S的值仅与a，b有关
B．S的值仅与c，k有关
C．S的值仅与k有关
D．S的值与a，b，c，k都有关
12．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，点B'恰好在GD'上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是（ ）
A．21° B．26° C．33° D．42°
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（ ）
A．25° B．26° C．30° D．32°
14．如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，连结AE，DE，若AD＝AE，，则正方形ABCD的边长是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，射线EG与BC的延长线相交于点P．若∠P＝30°，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．连接FH，DF，若，，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
17．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上．则BE的长为 ．
（2）如图2，连接BD，若EF∥BD，则BE的长为 ．
18．计算6的结果是 ．
19．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为 ．
20．对于字母m、n，定义新运算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解为a、b，则a☆b+2的值为 ．
21．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 ．
22．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：S2[2×（2）2+4×（3）2+3×（4）2+（8）2]，则的值是 ．
23．已知点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，当y≤2时，x的取值范围是 ．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②FE平分∠AFG；③BE+DG＝EG；④△EAF的面积的最大值是；其中正确的结论是 ．
三．解答题（共13小题）
25．我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
26．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
27．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 ．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
28．计算题：
（1）；
（2）．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
30．2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生 7.7 9.9 9.8 5.5 9.6 9.6 8.6 9.8 9.9 7.9
9.0 7.5 7.7 8.5 9.2 8.7 9.2 9.3 9.2 9.4
女生 9.0 7.6 9.1 9.0 8.0 7.9 8.6 9.2 9.0 9.3
8.2 9.2 8.8 8.5 9.1 8.6 9.0 9.5 9.3 9.1
b．睡眠时长频数分布直方图（分组：5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10）：
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
年级 平均数 众数 中位数
男生 8.8 m 9.2
女生 8.8 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 （填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为 ．
31．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝ ，且I≤10， ∴ ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 ；
（2）问题二中※表示： ，★表示： ，▲表示： ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
32．如图，点P在正方形ABCD的对角线BD延长线上，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）若∠PAD＝15°，
①求∠PEF的度数；
②设AB＝4，求PE的长；
（2）求证：CEPD．
33．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求m的值及曲线CD的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
34．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
35．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ m，BC＝ m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
36．已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值．
（2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小．
（3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明．
37．【方法初探】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C．
解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，连接AE，从而证明出结论．
请你根据上述解题思路，写出证明过程．
【方法应用】如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，直接写出AE的长 ．
一．选择题（共16小题）
1．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
即x的取值范围是：x＜4．
故选：D．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．若2＜a＜3，则（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：因为2＜a＜3，
所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故选：D．
4．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3.5，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．28 B．14 C．7 D．3.5
【分析】根据中位线可得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC，问题得解．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵EF∥CB，
∴，
∴AF＝BF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3.5＝7，
∴菱形ABCD的周长是4×7＝28，
故选：A．
6．反比例函数的图象上有A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）三点（ ）
A．若y1＜0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
B．若y1＞0，则y1﹣y2＞y2﹣y3
C．若y1＞0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
D．若y1＜0，则|y1﹣y2|＜|y2﹣y3|
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：分别将点A（a，y1），B（2a，y2），C（3a，y3）代入解析式得：
y1，y2，y3，
∴y1﹣y2，y2﹣y3，
若y1＜0，则0，
∴y1﹣y2＜y2﹣y3＜0，
∴|y1﹣y2|＞|y2﹣y3|，
∴A，D均错误；
若y1＞0，则0，
∴y1﹣y2＞y2﹣y3＞0，
∴|y1﹣y2|＞|y2﹣y3|，
∴B正确，C错误．
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
8．如图所示，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，若BC＝6，DE＝4，设AE＝x，CE＝y，则下列代数式为定值的是（ ）
A．y+x B．xy C．y﹣x D．y2+x2
【分析】连接BD，由菱形的性质推出BD⊥AC，OAAC（x+y），AD＝BC＝6，求出OE（y﹣x），由勾股定理得到42（y﹣x）2＝62（x+y）2，得到xy＝20．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OAAC，AD＝BC＝6，
∵AE＝x，CE＝y，
∴AC＝x+y，
∴OA（x+y），
∴OE＝OA﹣AE（y﹣x），
∵OD2＝DE2﹣OE2＝AD2﹣AO2，
∴42（y﹣x）2＝62（x+y）2，
∴xy＝20．
∴代数式为定值的是xy．
故选：B．
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E是CD上一点，连结BE，分别过点A和C作BE的垂线，垂足分别为G和F，BE与AC交于点H，O是AC的中点，连结OF，OG，AB＝5，有下列结论：①当AG＝4时，FG＝1；②OG平分∠AGE．关于这两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①②都错
【分析】根据正方形的性质先证明△ABG≌△BCF（AAS），利用其性质结合勾股定理可判断①选项，延长FO交AG于N，证明△AON≌△COF（AAS），利用其性质可证明△FNG为等腰直角三角形，即可判断②．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点O是AC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵AG⊥BE，CF⊥BE，
则AG∥CF，
∴∠AGB＝∠BFC＝90°，∠ABG+∠EBC＝∠BCF+∠EBC＝90°，
∴∠ABG＝∠BCF，
∴△ABG≌△BCF（AAS），
∴AG＝BF，
当AG＝4时，，
则FG＝BF﹣BG＝AG﹣BG＝1，故①选项正确；
延长FO交AG于N，
∵AG∥CF，
∴∠OAN＝∠OCF，∠ONA＝∠OFC，
∵点O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AON≌△COF（AAS），
∴OF＝ON，CF＝AN，
∵NG＝AG﹣AN，FG＝BF﹣BG，
∴NG＝FG，即：△FNG为等腰直角三角形，
∴OG平分∠AGE，故②正确．
故选：A．
10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形模具是否为菱形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分且相等
B．测量对角线是否互相平分且垂直
C．测量三条边是否相等
D．测量对角线是否互相垂直且一组邻边相等
【分析】A．菱形的对角线性质是互相垂直且平分，而对角线互相平分且相等是矩形的判定条件．因为矩形的对角线具有互相平分且相等的特点，所以此条件不能判定四边形是菱形，A选项不符合要求．
B．根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形．而菱形是特殊的平行四边形，在平行四边形的基础上，当对角线互相垂直时，就满足了菱形的判定条件，所以如果一个四边形对角线互相平分且垂直，可判定它是菱形，B选项符合要求．
C．菱形的定义是四条边都相等的四边形．仅三条边相等，无法确定第四条边的情况，不能依据此条件判定该四边形是菱形，C选项不符合要求．
D．菱形的判定需要满足特定的条件组合，“对角线互相垂直且一组邻边相等”这种条件组合，不满足菱形判定定理中的任何一条，不能判定该四边形是菱形，D选项不符合要求．
【解答】解：A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不是菱形，所以该选项错误．
B．：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上，若对角线还互相垂直，根据菱形的判定定理，这个平行四边形就是菱形，所以该选项正确．
C．仅测量三条边相等，不能判定这个四边形是菱形，菱形需要四条边都相等，所以该选项错误．
D．对角线互相垂直且一组邻边相等，不能判定这个四边形是菱形，不满足菱形的判定条件，所以该选项错误．
故选：B．
11．如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA＝a，OC＝b，点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c．过点P作PE∥x轴交AC于点E，作PF∥y轴交AB于点F，连结EF，FC．记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（ ）
A．S的值仅与a，b有关
B．S的值仅与c，k有关
C．S的值仅与k有关
D．S的值与a，b，c，k都有关
【分析】根据题意，先确定各点的坐标，C（b，0），B（b，a），A（0，a），P（c，），F（c，a），利用S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF得到结论即可．
【解答】解：如图，
由条件可知C（b，0），B（b，a），A（0，a），
∵点P在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，且横坐标为c，
∴P（c，），F（c，a），
∴S△AEF AF （a）（ac﹣k），
S△BCF，
S△ABC，
∴S△CEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BCF，
∴△EFC的面积为S仅与k值有关．
故选：C．
12．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，点B'恰好在GD'上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是（ ）
A．21° B．26° C．33° D．42°
【分析】由矩形的性质得AD∥BC，∠A＝90°，因为∠BFE＝66°，所以∠DEF＝∠BFE＝66°，∠AEF＝114°，由折叠得∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝114°，则∠A′EG＝∠A′EF﹣∠DEF＝48°，求得∠DGB′＝∠EGA′＝42°，而点B′在GD′上，所以∠DGD′＝42°，则∠DGH∠DGD′＝21°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∵∠BFE＝66°，
∴∠DEF＝∠BFE＝66°，∠AEF＝180°﹣∠BFE＝114°，
由折叠得∠A′＝∠A＝90°，∠A′EF＝∠AEF＝114°，∠DGH＝∠D′GH，
∴∠A′EG＝∠A′EF﹣∠DEF＝114°﹣66°＝48°，
∴∠DGB′＝∠EGA′＝90°﹣∠A′EG＝42°，
∵点B′在GD′上，
∴∠DGD′＝∠DGB′＝42°，
∴∠DGH∠DGD′＝21°，
故选：A．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B′E与AB交于G．当B′E∥AC时，∠AFB'的度数是（ ）
A．25° B．26° C．30° D．32°
【分析】由∠C＝90°，∠B＝32°，求得∠A＝58°，由B′E∥AC，得∠AGB′＝∠A＝58°，由折叠得∠B′＝∠B＝32°，则58°＝∠AFB′+32°，求得∠AFB′＝26°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝58°，
∵B′E∥AC，
∴∠AGB′＝∠A＝58°，
∵将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，
∴∠B′＝∠B＝32°，
∵∠AGB′＝∠AFB′+∠B′，
∴58°＝∠AFB′+32°，
∴∠AFB′＝26°，
故选：B．
14．如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，连结AE，DE，若AD＝AE，，则正方形ABCD的边长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得△DEH是等腰直角三角形，根据勾股定理可得DH＝HE＝2，再由勾股定理，即可求解．
【解答】解：∵赵爽弦图的示意图由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，
∴BE＝CH＝DG，GH＝EH＝EF＝FG，AF⊥BE，CH⊥DG，AB＝AD＝AE，
∴BF＝EF＝EC＝EH＝DH，
∴△DEH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴HE＝DH＝2，
∴CH＝4，
由勾股定理得：，
∴正方形ABCD的边长是，
故选：D．
15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，射线EG与BC的延长线相交于点P．若∠P＝30°，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】作CM⊥PG于点M，GN⊥PB于点N，设CM＝x，在Rt△PCM中，求得CP＝2x，，在Rt△CGM中，求得，，在Rt△PNG中，求得，，再证明∠GCN∽∠BCG，求得，据此求解即可．
【解答】解：作CM⊥PG于点M，GN⊥PB于点N，
设CM＝x，
∴△PCM是直角三角形，
∵∠P＝30°，
∴CP＝2CM＝2x，，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠FGC＝∠FGH＝90°，∠CGM＝∠EGH＝45°，
在Rt△CGM中，∠CGM＝45°，
∴CM＝GM＝x，
∴，，
在Rt△PNG中，∠P＝30°，
∴，，
∴，
∵∠GNC＝∠BGC＝90°，∠GCN＝∠BCG，
∴∠GCN∽∠BCG，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．连接FH，DF，若，，则大正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】由全等三角形的性质可得EF＝EH，先对Rt△EFH运用勾股定理求出EF，再对Rt△DEF运用勾股定理求出DE＝AF，则AE即可求得，最后对Rt△AED运用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成，
∴AF＝DE，DH＝AE，∠AED＝∠DEF＝90°，
∴AF﹣AE＝DE﹣DH，
∴EF＝EH，
在直角三角形EFH中，，
由勾股定理得：EF2+EH2＝HF2，
∴EF＝EH＝2，
在直角三角形DEF中，，
由勾股定理得：，
∴AE＝AF﹣FE＝5﹣2＝3，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
17．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接DE，若点F恰好落在边DE上．则BE的长为 13 ．
（2）如图2，连接BD，若EF∥BD，则BE的长为 4 ．
【分析】（1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，利用轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED，利用平行四边形的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理求出AD＝DE＝10，利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得线段CH，DH，利用勾股定理求得EH，进而求得CE，则BE＝BC﹣EC；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，利用平行四边形的判定与性质得到BE＝DG，设BE＝DG＝x，利用矩形的判定与性质得到HK＝DG＝x，GH＝DK，再利用勾股定理和（1）的结论解答即可得出结论．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，AD∥BC，DC∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠DCH＝∠ABC＝60°，
由折叠得：△ABE≌△AFE，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝10，
在Rt△DCH中，CHDC＝3，DHDC＝3，
在Rt△DEH中，EH，
∴CE＝EH﹣CH3，
∴BE＝BC﹣EC＝10﹣（3）＝13，
故答案为：13；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC于点H，过点D作DK⊥BC于点K，如图2，
∵BE∥AD，EF∥BD，
∴四边形BEGD为平行四边形，
∴BE＝DG．
∴设BE＝DG＝x，则EC＝10﹣x，
∵DK⊥BC，GH⊥BC，AD∥BC，
∴四边形DKHG为矩形，
∴HK＝DG＝x，GH＝DK．
由（1）知：DK＝3，CK＝3，
∴EH＝EC+CK+KH＝10﹣x+3+x＝13，
在Rt△EHG中，EG14，
由折叠得：∠AEB＝∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠AEG＝∠DAE，
∴EG＝AG＝14，
∴BE＝DG＝AG﹣AD＝14﹣10＝4，
故答案为：4．
18．计算6的结果是 4 ．
【分析】先进行开方运算，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝264
＝224
＝4．
故答案为：4．
19．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为 72° ．
【分析】先根据正五边形的性质得出正五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BCA的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴其每个内角为108°，且AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°．
故答案为：72°
20．对于字母m、n，定义新运算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解为a、b，则a☆b+2的值为 6． ．
【分析】判断出a+b＝﹣3，ab＝1，再根据新定义计算即可．
【解答】解：∵方程x2+3x+1＝0的解为a、b，
∴a+b＝﹣3，ab＝1，
∴a☆b+2＝ab﹣a﹣b+2＝1+3+2＝6．
故答案为：6．
21．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 5 ．
【分析】将α2﹣4α﹣β化为α2﹣3α﹣（α+β）分别求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根，
∴α2﹣3α﹣8＝0，
∴α2﹣3α＝8，
∵α+β＝3，
∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
22．某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：S2[2×（2）2+4×（3）2+3×（4）2+（8）2]，则的值是 3.6 ．
【分析】根据方差的计算公式得出这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，再根据平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：由题意知，这组数据为2、2、3、3、3、3、4、4、4、8，
所以这组数据的平均数3.6，
故答案为：3.6．
23．已知点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，当y≤2时，x的取值范围是 x≤﹣1或x＞0 ．
【分析】根据点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，求出k的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴函数解析式为y，
∴图象位于二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而增大，
当y＝2时，x＝﹣1，
则当y≤2时，x≤﹣1或x＞0．
故答案为：x≤﹣1或x＞0．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②FE平分∠AFG；③BE+DG＝EG；④△EAF的面积的最大值是；其中正确的结论是 ①③ ．
【分析】在BC上截取BH＝BE，连接EH，如图：根据等腰直角三角形的性质得到EHBE，求得AF＝EH，根据全等三角形的性质得到∠AEF＝∠ECH，推出△ECF是等腰直角三角形，得到∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确；得到∠BEH＝45°，求得∠AFE≠∠EFC，推出FE不平分∠AFG，故②错误，延长AD到H，使得DH＝BE，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠DCH，EG＝GH，得到EG＝BE+DG，故③正确，设BE＝x，则AE＝1﹣x，AFx，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：在BC上截取BH＝BE，连接EH，如图1：
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，
∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确；
∵∠B＝90°，
∴∠BEH＝45°，
∵∠BEC＜90°，
∴∠CEH＜45°，
∴∠AFE＜45°，
∴∠AFE≠∠EFC，
∴FE不平分∠AFG，故②错误，
延长AD到H，使得DH＝BE，如图2：
可得△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③正确，
设BE＝x，则AE＝1﹣x，AFx，
∴S△AEF （1﹣x）×xx2x（x2﹣x）（x）2，
∵0，
∴x时，△AEF的面积的最大值为．故④错误，
故答案为：①③．
三．解答题（共13小题）
25．我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤．
【分析】（1）分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点E；
（2）步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
【解答】解：（1）如图2中，点E即为所求；
（2）如图3中，步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE′；
步骤二：点E，点E′重合可以折出A4纸（矩形ABCD）对角线AC．
26．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在线段BC上运动，作△ACD关于直线AP的对称△AC1D1（点C，D的对称点分别为C1，D1）．
（1）如图1，当点C1在AB的延长线上时，求CC1的长．
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结DD1，CD1、DD1交AB分别于点E、F．求证：BD1⊥DD1．
（3）当直线C1D1经过点B时，求CP的长．
【分析】（1）易得AC＝5，所以AC1＝AC＝5，再利用勾股定理求解即可；
（2）连结BD交AC于点O，证OH为△BDD1的中位线，即可得证；
（3）连接PC1，证∠BC1P＝90°，在Rt△AD1B中，BD1，所以BC1＝4，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】（1）解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴，
∵△ACD、△ACD关于直线AP对称，
∴AC1＝AC＝5，
∴BC＝AC﹣AB＝1，
在Rt△BCC1中，由勾股定理得，
，
∴CC1的长为；
（2）证明：连结BD交AC于点O，
∵ABCD为矩形，
∴OB＝OD
∵D，D1关于AC对称，
∴AC垂直平分DD1，
∴H为DD1的中点，
∴OH为△BDD1的中位线，
∴OH∥BD1，
∵AC⊥DD1，
∴∠DHO＝90°，
∵OH∥BD，
∴∠BD1D＝∠DHO＝90°，
∴DD⊥BD1；
（3）解：连接PC1，
∵△ACD、△AC1D1关于直线AP对称，
∴AD＝AD，CD＝CD，∠ACD＝∠AC1B∠ACP＝∠AC1PPC＝PC1，∠ADC＝∠AC1C＝90°，
∵∠ACD+∠ACP＝90°
∴∠AC1B+∠AC1P＝90°，
即∠BC1P＝90°，
当直线C1D1经过点B时，
在Rt△AD1B中，BD1，
∴BC1＝C1D1﹣BD1＝4，
在Rt△BC1P中，，
∴，，
∴．
27．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 正方形或矩形 ．
（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：四边形DEFG是垂等四边形．
【分析】（1）根据定义易得解；
（2）①画一个符合题意得矩形 ABCD，②根据BC＝5，可以找点D使CD＝5，并且满尊BD＝AC即可得解；
（3）先证△ADF≌△CDG（SAS），可得DF＝DG，再导角证DG＝EG，进而得证．
【解答】（1）解：由题意可知：正方形，矩形，
故答案为：正方形或矩形；
（2）解：如图1中，四边形ABCD即为所求．
（3）证明：在正方形ABCD中，
∵AF＝CG，AB＝BC，
∴FB＝BG，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝90°，
∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG，
∵AD∥CB，
∴∠EDG＝∠DGC，
∵∠DGC＝∠DEG，
∴∠GDE＝∠GED，
∴DG＝EG，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG是垂等四边形．
28．计算题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值，分母有理化等知识计算即可；
（2）根据根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3﹣1+2
＝﹣3﹣1+22
＝﹣2；
（2）原式＝24
＝44
＝122．
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，
由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1，
解得m．
30．2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a．睡眠时长（单位：小时）：
男生 7.7 9.9 9.8 5.5 9.6 9.6 8.6 9.8 9.9 7.9
9.0 7.5 7.7 8.5 9.2 8.7 9.2 9.3 9.2 9.4
女生 9.0 7.6 9.1 9.0 8.0 7.9 8.6 9.2 9.0 9.3
8.2 9.2 8.8 8.5 9.1 8.6 9.0 9.5 9.3 9.1
b．睡眠时长频数分布直方图（分组：5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10）：
c．睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：
年级 平均数 众数 中位数
男生 8.8 m 9.2
女生 8.8 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全男生睡眠时长频数分布直方图；
（2）直接写出表中m，n的值；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 男生 （填“男生”或“女生”）睡眠情况比较好，理由为 睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生 ．
【分析】（1）求出男生8≤x＜9的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（2）根据众数和中位数的定义即可得到m，n的值；
（3）根据统计量的意义判断，并说明理由即可．
【解答】解：（1）男生8≤x＜9的频数为20﹣1﹣4﹣12＝3，
补全男生睡眠时长频数分布直方图如下：
（2）∵男生睡眠时长中：9.2小时出现3次，是出现次数最多的数据，
∴m＝9.2，
∵女生睡眠时长中位数是数据由小到大排列第10，第11个数据的平均数，由数据可知，第10，第11个数据分别为：9，9，
∴n＝（9+9）÷2＝9；
（3）根据题目中的信息可知，男生睡眠情况比较好，
理由为：睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
故答案为：男生，睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
31．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： I .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝ ，且I≤10， ∴ ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 I ；
（2）问题二中※表示： 36 ，★表示： 不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 ，▲表示： R≥3.6 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出U值，进而可得出反比例函数的表达式；
（2）由I，且I≤10，可得出10，结合R＞0，即可求出R的取值范围；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当I＝10时R的值，由36＞0且R＞0，利用反比例函数的性质，可得出I随R的增大而减小，再结合I≤10，即可求出R的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数I的图象过点（9，4），
∴4，
∴U＝36，
∴反比例函数的表达式为I．
故答案为：I；
（2）∵I，且I≤10，
∴10，
∵R＞0，
∴10R≥36（不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变），
∴R≥3.6．
故答案为：，，36，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，R≥3.6；
（3）解法二：当I＝10时，10，
解得：R＝3.6，
∵36＞0，且R＞0，
∴I随R的增大而减小，
又∵I≤10，
∴R≥3.6．
32．如图，点P在正方形ABCD的对角线BD延长线上，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．
（1）若∠PAD＝15°，
①求∠PEF的度数；
②设AB＝4，求PE的长；
（2）求证：CEPD．
【分析】（1）①根据正方形性质得∠ABP＝∠ADB＝∠CBP＝45°，进而得∠APD＝30°，再根据PE⊥PA，EF⊥BP得∠PEF＝∠APD＝30°；
②在FE上截取FG＝FP，连接PG，BG，连接CG，则△PFG是等腰直角三角形，进而得∠FPG＝45°，再证明△FBE是等腰直角三角形得BF＝EF，∠FEB＝45°，由此可判定△BFG和△EFP全等，则∠GBF＝∠PEF＝∠APD＝30°，解得BG∥AP，再根据∠FPG＝∠ABP＝45°得AB∥PG，由此得四边形ABGP是平行四边形，则PG＝AB＝4，在Rt△PFG，由勾股定理得FPPG，然后在Rt△PEF中，根据∠PEF＝30°即可得出PE的长；
（2）先证明四边形DCGP是平行四边形，则PD＝CG，∠DCG＝∠FPG＝45°，进而得∠GCE＝∠FEB＝45°，则△GCE是等腰直角三角形，由勾股定理得CECG，由此即可得出结论．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，点P在对角线BD的延长线上，
∴∠ABP＝∠ADB＝∠CBP＝45°，
∵∠ADP是△ADP的外角，
∴∠ADP＝∠PAD+∠APD，
∵∠PAD＝15°，
∴45°＝15°+∠APD，
∴∠APD＝30°，
∵PE⊥PA，EF⊥BP，
∴∠APE＝90°，∠PFE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，∠PEF+∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝∠APD＝30°；
②解：在FE上截取FG＝FP，连接PG，BG，连接CG，如图所示，
∵EF⊥BP，
∴∠BFG＝∠EFP＝90°，
∴△PFG是等腰直角三角形，
∴∠FPG＝45°，
∵∠CBP＝45°，EF⊥BP，
∴△FBE是等腰直角三角形，
∴BF＝EF，∠FEB＝45°，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴∠GBF＝∠PEF＝30°，
∴∠GBF＝∠APD＝30°，
∴BG∥AP，
又∵∠FPG＝∠ABP＝45°，
∴AB∥PG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴PG＝AB＝4，
在等腰Rt△PFG中，
由勾股定理得：PGFP，
∴FPPG，
在Rt△PEF中，∠PEF＝30°，
∴PE＝2FP；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，AB∥DC，∠DCB＝∠DCE＝90°，
由（1）可知：四边形ABGP是平行四边形，
∴AB∥PG，AB＝PG，
∴DC∥PG，DC＝PG，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴PD＝CG，∠DCG＝∠FPG＝45°，
∴∠GCE＝∠DCE﹣∠DCG＝45°，
∴∠GCE＝∠FEB＝45°，
∴△GCE是等腰直角三角形，
∴CG＝EG，
由勾股定理得：CECG，
∵PD＝CG，
∴CEPD．
33．某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段AB的函数表达式为：，线段BC持续的时间恰为10分钟，曲线CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求m的值及曲线CD的函数表达式．
（2）若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【分析】（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，解方程得到m＝10，求得B（10，40），得到C（20，40），设反比例函数的解析式为y，把C（20，40）代入y，解方程即可得到结论；
（2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．
【解答】解：（1）把y＝40，x＝m代入yx+15得40m+15，
解得m＝10，
∴B（10，40），
∵线段BC持续的时间恰为10分钟，
∴C（20，40），
设反比例函数的解析式为y，
把C（20，40）代入y得40得k＝800，
∴曲线CD的函数表达式为y；
（2）令y＝32，
∴32x+15，
∴x＝6.8，
令y＝32，
∴32，
∴x25，
∵25﹣6.8＝18.2＞18，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
34．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 y＝1.25x（0≤x≤0.8） ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
【分析】（1）施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式；
（2）当x＞0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式，进而取y＝0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间；
（3）取x＝2，x＝4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量（1﹣降低的百分率）2＝4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤0.8时，设y＝kx，
∵经过点（0.8，1），
∴0.8k＝1，
解得：k＝1.25，
∴y＝1.25x；
∴施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）．
故答案为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）；
（2）当x＞0.8时，设y，
∵经过点（0.8，1），
∴a＝0.8，
∴y，
当y＝0.08时，x＝10．
答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）当x＝2时，y＝0.4，
当x＝4时，y＝0.2．
设这两个月降低的百分率为m，
0.4（1﹣m）2＝0.2，
（1﹣m）2，
解得：m1＝1（不合题意，舍去），m2＝10.293≈29.3%．
答：降低的百分率约为29.3%．
35．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 （4，2） ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝ 4 m，BC＝ 2 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的长均不小于1m，所以1≤x≤8，直线y＝﹣2x+a在l3、l4之间移动，可得求a的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y与直线l1：y＝﹣2x+10联立得：
，
∴2x+10，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）a＝6，不能围出矩形地块；理由如下：
y＝﹣2x+6的图象，如图中直线l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a得：4＝﹣2×2+a，
解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l4、l3之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
36．已知反比例函数．
（1）若反比例函数的图象经过点（1，3），求k1的值．
（2）若点A（a﹣b，2），B（c﹣b，4）在函数的图象上，比较a，b，c的大小．
（3）反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，试证明．
【分析】（1）将点（1，3）坐标代入求出k1即可；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可；
（3）由反比例函数的性质可得y2的最大值为，最小值为，y1的最大值为，最小值为，由题意列出两个方程，即可求解．
【解答】（1）解：将点（1，3）坐标代入得：3，
解得：k1＝3，
（2）解：∵中k1＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，y随x的增大而减小，
∵2＜4，
∴a﹣b＞c﹣b，a﹣b＞0，c﹣b＞0，
∴a＞c＞b；
（3）证明：∵反比例函数，如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，
∴y2随x的增大而增大，则y2的最大值为，最小值为，
∵反比例函数．如果m≤x≤m+1，且0＜m＜24，
∴y1随x的增大而减小，则y1的最大值为，最小值为，
∵函数y1的最大值比函数y2的最大值大5，函数y1的最小值比函数y2的最小值大4.8，
∴5，4.8，
∴（m+1）k1﹣k2m＝5m（m+1）①，mk1﹣（m+1）k2＝4.8m（m+1）②，
∴①﹣②得：k1+k2＝0.2m（m+1），
∴k1+k2．
37．【方法初探】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C．
解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，连接AE，从而证明出结论．
请你根据上述解题思路，写出证明过程．
【方法应用】如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．
【实际应用】如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，直接写出AE的长 15 ．
【分析】【方法初探】根据已知可得AD是BE的垂直平分线，从而可得AB＝AE，进而可得∠B＝∠AEB，然后结合已知AB+BD＝DC，可得AB＝EC，从而可得AE＝EC，进而可得∠C＝∠EAC，最后利用三角形的外角性质可得∠AEB＝2∠C，即可解答；
【方法应用】先证明△ABD≌△AHD得到AH＝AB，BD＝HD，再证明△CDH是等腰直角三角形，推出BD＝HC，据此根据线段的和差关系即可证明结论；
【实际应用】由三角形内角和定理可得∠DAC＝25°，证明△DAC≌△FAC（SAS）得出∠AFC＝∠D＝110°，再证明△CEF≌△CEB（AAS）得出EF＝BE，求出BF＝2BE＝6，即可得解．
【解答】【方法初探】证明：如图2，在DC上截取DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C，
∴∠B＝2∠C；
【方法应用】证明：如图所示，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠AHD＝90°＝∠B，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠HAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AHD（AAS），
∴AH＝AB，BD＝HD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴HD＝HC，
∴BD＝HC，
∵AC＝AH+CH，
∴AC＝AB+BD；
【实际应用】解：在AE上截取AF＝AD，连接CF，
由题意可得：
∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝25°，
∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝25°，
∴∠DAC＝∠FAC＝25°，
∵AC＝AC，
在△DAC和△FAC中，
，
∴△DAC≌△FAC（SAS），
∴∠AFC＝∠D＝110°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°，
∴∠B＝∠CFE，
∵CE⊥AB，
∴∠CEF＝∠CEB＝90°，
∴CE＝CE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（AAS），
∴EF＝BE，
∴BF＝2BE＝6，
∴AB＝AF+BF＝12+6＝18，
∴AE＝AB﹣BE＝18﹣3＝15．
故答案为：15．
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