浙江省杭州市2024—2025学年度七年级下学期期末训练卷（含解析）

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浙江省杭州市2024—2025学年度七年级下学期期末训练卷
一．选择题（共11小题）
1．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
2．（）﹣1的值是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
3．下列调查中，不适合采用普查的是（　　）
A．某航空公司检测80家民航客机的安全性能
B．检测某城市的空气质量状况
C．对全校同学进行每日温度测量统计
D．调查某中学教师的身体健康状况
4．下列计算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24
C．（a2）3＝a5 D．（﹣a）2÷（﹣a2）＝﹣1
5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．66° C．67° D．74°
6．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．书中用从左到右列出的算筹的数量分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，如可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是（　　）
A．2x+y＝23 B．2x+2y＝32 C．x+2y＝23 D．x+2y＝32
7．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
8．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
9．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD的值为（　　）
A．180° B．210° C．250° D．270°
10．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31
二．填空题（共8小题）
12．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　 　 ．
13．如图，△ABC的周长为12cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 　 cm．
14．当a＝　 　 时，方程组的解满足x＝y．
15．已知某组数据的频率为0.3，样本容量为500，则这组数据的频数为 　 　 ．
16．若，且a≠b，则　 　 ．
17．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 　 　 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是2n﹣1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 　 　 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 　 　 ．
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　 　 ＝　 　 ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20＝　 　 ．
19．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　 　 °．
三．解答题（共10小题）
20．计算
（1）；
（2）（x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）．
21．解方程（组）
（1）；
（2）．
22．先化简，再求值：，其中a＝1．
23．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况．教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a＝　 　 ，E所对应的扇形圆心角是　 　 °；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有多少人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
24．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
25．某公司需向甲地紧急运送200kg的货物，决定使用A、B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多10kg；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货60kg，B型无人机共载货40kg．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少kg？
（2）该公司决定使用m台A型无人机（0＜m＜5）和n台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成200kg的货物运送：
①求满足条件的m、n值；
②若A型无人机运费为40元/次，B型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
26．综合与探究
问题情境：
∠DCA是△ABC的一个外角，过点C在射线BD的右侧作射线CE，使CE∥BA．
（1）如果CF平分∠ECA，BF平分∠CBA．
①如图1，若∠A＝90°，∠ABC＝30°，求∠F的度数；
②如图2，若∠BCA＝50°，则∠F的度数为 　 　 °；
深入探究：
（2）如图3，如果，试用含n和α的式子表示∠F（直接写出结果）．
27．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝　 　 ．
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
28．规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下：
①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c Δ（xα）＝c αxα﹣1（其中c为常数）．
（1）计算：Δ（x8）＝　 　 ，k Δ（x）＝　 　 （其中k为常数）；
（2）m Δ（x3）+n Δ（x2）（其中p，q均不为0）．
①求a，m，n的值；
②化简并计算：．
29．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，
①若∠ABC＝40°，求∠AFB+∠CGD的度数；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　 　 ．
一．选择题（共11小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C B D B D C B D A C
一．选择题（共11小题）
1．已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（　　）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
2．（）﹣1的值是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2，
故选：C．
3．下列调查中，不适合采用普查的是（　　）
A．某航空公司检测80家民航客机的安全性能
B．检测某城市的空气质量状况
C．对全校同学进行每日温度测量统计
D．调查某中学教师的身体健康状况
【分析】根据抽样调查和全面调查的特点逐一判断即可．
【解答】解：A、某航空公司检测80家民航客机的安全性能，涉及安全性，适合全面调查，不符合题意；
B、检测某城市的空气质量状况，范围广，适合抽样调查，符合题意；
C、对全校同学进行每日温度测量统计，涉及安全性，适合全面调查，不符合题意；
D、调查某中学教师的身体健康状况，适合全面调查，不符合题意；
故选：B．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a6×a4＝a24
C．（a2）3＝a5 D．（﹣a）2÷（﹣a2）＝﹣1
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故本选项不合题意；
B．a6×a4＝a10，故本选项不合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D．（﹣a）2÷（﹣a2）＝﹣1，正确．
故选：D．
5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．66° C．67° D．74°
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠BCE＝∠DEC＝67°，即可求出∠DEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出∠ADE＝∠DEF＝66°即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵∠BCE＝67°，
∴∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝133°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝66°，
故选：B．
6．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．书中用从左到右列出的算筹的数量分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，如可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是（　　）
A．2x+y＝23 B．2x+2y＝32 C．x+2y＝23 D．x+2y＝32
【分析】读懂图中的意思，仿照图写出答案即可．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
故选：D．
7．已知a﹣b＝3，ab＝10，那么a2+b2的值为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】将a﹣b＝3两边平方，利用完全平方公式展开，把ab＝10代入计算即可求出所求的值．
【解答】解：将a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，
把ab＝10代入得：a2+b2﹣20＝9，
则a2+b2＝29．
故选：C．
8．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍
【分析】根据分式的基本性质，进行作答，即可求解；
【解答】解：根据分式的基本性质可得：
，
分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，因此分式的值整体扩大2倍；
故选：B．
9．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD的值为（　　）
A．180° B．210° C．250° D．270°
【分析】过点B作BF∥AE，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°．
【解答】解：过点B作BF∥AE，如图：
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，BF∥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故选：D．
10．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先通分，再化简即可．
【解答】解：原式
，
故选：A．
11．如图，在线段AB上取点C，分别以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，若AB＝8，AC＝m，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．32 B．m2+32 C．m2﹣8m+32 D．m2+16m﹣31
【分析】延长EF，BG交于D，由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m，即可得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积．
【解答】解：延长EF，BG交于D，
由以AC，BC为边在AB的同侧作两个正方形，AB＝8，AC＝m，
得阴影部分的面积＝△EBD的面积﹣△FGD的面积8m（8﹣m）[m﹣（8﹣m）]＝m2﹣8m+32．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
12．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　（x﹣y）2（x+y）2　 ．
【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
＝（x﹣y）2（x+y）2．
故答案为：（x﹣y）2（x+y）2．
13．如图，△ABC的周长为12cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　12　 cm．
【分析】根据平移的性质可得AD＝BE，然后判断出阴影部分的周长＝△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AB＝DE，AC＝DF，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+DE+AC＝BE+EC+AC+AB＝AB+AC+BC＝12（cm），
故答案为：12．
14．当a＝　　 时，方程组的解满足x＝y．
【分析】根据题意将方程组变形得，解方程即可求解．
【解答】解：∵方程组的解满足x＝y，
∴方程组变形得，
解①得x＝2，
把x＝2代入②得，4﹣9+3a＝0，
解得，，
故答案为：．
15．已知某组数据的频率为0.3，样本容量为500，则这组数据的频数为 　150　 ．
【分析】根据频数＝总次数×频率，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
500×0.3＝150，
这组数据的频数是150，
故答案为：150．
16．若，且a≠b，则　2　 ．
【分析】先根据异分母分式相减得出2b﹣a＝ab，再把2b﹣a＝ab代入中化简求值即可．
【解答】解：由条件可得，
∴2b﹣a＝ab，
∵a≠b，
∴，
故答案为：2．
17．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．
例如：39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．
（1）有理数1 　是　 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．
①设连续两个奇数中较小的数是2n﹣1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 　4n2+3　 ；
②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 　67　 ．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）①设另一个奇数是 2n+1，依照定义计算化简即可；
②设这两个“H希尔伯特”数为 4m2+3，4n2+3，按照已知列式计算即可．
【解答】解：（1）由于数1能表示成 12+12﹣1×1＝1 的形式，
∴1是“希尔伯特”数；
故答案为：是．
（2）①设另一个奇数是 2n+1，
∴（2n﹣1）2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）（2n+1）＝4n2+3，
故答案为：4n2+3．
②由①可设这两个“H希尔伯特”数为 4m2+3，4n2+3，（n＞m），
∴（4n2+3）﹣（4m2+3）＝48，
∴4（n2﹣m2）＝48，
∴n2﹣m2＝12，
∴（n+m）（n﹣m）＝12，
解得，m＝2，n＝4，
∴4n2+3＝67．
故答案为：67．
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；……
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　　 ＝　　 ；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20＝　．　 ．
【分析】（1）观察等式的每个数与等式个数之间的关系；
（2）用a1、a2、a3…a20等式右边的代数式相加，会消掉一些项．
【解答】解：（1）等式左边的分数，分子是等式的个数加2，分母的第一个因数是等式的个数，第二个因数是等式的个数加1，第三个因数底数是2，指数位置是等式的个数加1；等式左边是两个分子为1的分数相减，被减数的分母第一个因数是等式的个数，第二个因数底数是2，指数位置是等式的个数，减数的分母第一个因数是等式的个数加1，第二个因数底数是2，指数位置是等式的个数加1．
∴an．
故答案为：，．
（2）a1+a2+a3+…+a20．
故答案为：．
19．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝129°，则∠COE＝　12　 °．
【分析】延长CB′交OE于点H，利用平行线的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：延长CB′交OE于点H，如图，
∵A'B'∥OE，
∴∠OHC＝∠CB'A'＝129°，
∴∠CHE＝180°﹣∠OHC＝51°，
∵∠CEO＝90°，
∴∠ECH＝90°﹣∠CHE＝39°．
∵CB'平分∠OCE，
∴∠ECO＝2∠ECH＝78°，
∴∠COE＝90°﹣∠ECO＝90°﹣78°＝12°．
故答案为：12．
三．解答题（共10小题）
20．计算
（1）；
（2）（x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）．
【分析】（1）利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式展开后再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+9﹣1
＝8﹣1
＝7；
（2）原式＝x2﹣6x+9﹣（x2﹣16）
＝x2﹣6x+9﹣x2+16
＝25﹣6x．
21．解方程（组）
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
①×2+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为；
（2），
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣5，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
22．先化简，再求值：，其中a＝1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（）

，
当a＝1时，原式1．
23．某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况．教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）a＝　50　 ，E所对应的扇形圆心角是　72　 °；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有多少人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
【分析】（1）由B的人数和占比可求抽取的人数，再减去其余人数即可求解a；用360°乘以E的占比即可；
（2）用总人数乘以喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的占比即可．
【解答】解：（1）a＝60÷30%﹣20﹣60﹣30﹣40＝50，
，
故答案为：50；72；
（2）用总人数乘以喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的占比可得：
（人），
答：该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”．
24．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可．
【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3，
∴CE∥NF，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FND＝∠1，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°，
∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°，
∴∠BEC＝80°+47°＝127°，
∴∠AEP＝∠BEC＝127°．
25．某公司需向甲地紧急运送200kg的货物，决定使用A、B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多10kg；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货60kg，B型无人机共载货40kg．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少kg？
（2）该公司决定使用m台A型无人机（0＜m＜5）和n台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成200kg的货物运送：
①求满足条件的m、n值；
②若A型无人机运费为40元/次，B型无人机运费为30元/次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
【分析】（1）设每台A型无人机的单次最高载货量是x kg，则每台B型无人机的单次最高载货量是（x﹣10）kg，根据用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货60kg，B型无人机共载货40kg，列出分式方程，解方程即可；
（2）①根据刚好一次性完成200kg的货物运送，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
②求出方案1、方案2的运费，再比较即可．
【解答】解：（1）设每台A型无人机的单次最高载货量是x kg，则每台B型无人机的单次最高载货量是（x﹣10）kg，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝20，
答：每台A型无人机的单次最高载货量是30kg，每台B型无人机的单次最高载货量是20kg；
（2）①由题意得；30m+20n＝200，
整理得：n＝10m，
∵0＜m＜5，
∴或；
②由①可知，有2种运送方案：，
方案1的运费为：40×2+30×7＝290（元）；
方案2的运费为：40×4+30×4＝280（元）；
∵290＞280，
∴为了节省成本，该公司应使用A种型号的无人机4台，B种型号的无人机4台．
26．综合与探究
问题情境：
∠DCA是△ABC的一个外角，过点C在射线BD的右侧作射线CE，使CE∥BA．
（1）如果CF平分∠ECA，BF平分∠CBA．
①如图1，若∠A＝90°，∠ABC＝30°，求∠F的度数；
②如图2，若∠BCA＝50°，则∠F的度数为 　65　 °；
深入探究：
（2）如图3，如果，试用含n和α的式子表示∠F（直接写出结果）．
【分析】（1）①先由三角形内角和定理得∠BCA＝60°，再由平行的性质得∠ECA＝∠A＝90°，再由角平分线的性质得，，最后由三角形内角和定理可得结论；
②先由平行的性质得∠ECA＝∠A，再由角平分线的性质得，，再由外角的性质得∠DCA＝∠ABC+∠A＝130°，再推出，再由三角形内角和定理可求得∠F的度数；
（2）同（1）②中的方法，先由平行的性质得∠ECA＝∠A，再由得，，再由外角的性质得∠DCA＝∠ABC+∠A＝180°﹣α，再推出，再由三角形内角和定理可求得∠F的度数．
【解答】解：（1）①由题意可得：
∴∠BCA＝90°﹣30°＝60°，
∵CE∥BA，
∴∠ECA＝∠A＝90°，
∵，，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝60°+45°＝105°，
∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣15°﹣105°＝60°；
②∵CE∥BA，
∴∠ECA＝∠A，
∵CF平分∠ECA，BF平分∠CBA，
∴，，
∵∠DCA是△ABC的一个外角，∠BCA＝50°，
∴∠DCA＝∠ABC+∠A＝180°﹣∠BCA＝130°，
∴，
∴∠F＝180°﹣（∠CBF+∠BCF）＝65°，
故答案为：65；
（2）∵CE∥BA，
∴∠ECA＝∠A，
∵，
∴，，
由题意可得：∠DCA＝∠ABC+∠A＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α，
∴∠CBF+∠BCF
＝∠CBF+∠BCA+∠ACF
，
∴．
27．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝　3（x﹣1）2　 ．
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）①仿照例题的解题思路进行计算，即可解答；
②仿照例题的解题思路进行计算，即可解答；
（3）利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2，
故答案为：3（x﹣1）2；
（2）①x2﹣xy+6x﹣6y
＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）
＝x（x﹣y）+6（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+6）；
②m2﹣n2+6m+9
＝（m2+6m+9）﹣n2
＝（m+3）2﹣n2
＝（m+3+n）（m+3﹣n）；
（3）2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，
a2﹣4a+4+a2+2ab+b2＝0，
（a﹣2）2+（a+b）2＝0，
a﹣2＝0，a+b＝0，
a＝2，b＝﹣2，
∴a﹣b＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4．
28．规定一种新的运算“Δ（xα）”，其中x≠0，α为正整数．其运算规则如下：
①Δ（xα）＝αxα﹣1；②c Δ（xα）＝c αxα﹣1（其中c为常数）．
（1）计算：Δ（x8）＝　8x7　 ，k Δ（x）＝　k　 （其中k为常数）；
（2）m Δ（x3）+n Δ（x2）（其中p，q均不为0）．
①求a，m，n的值；
②化简并计算：．
【分析】（1）根据新定义的运算规则计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则，列出方程组即可求出a，m，n的值；
②由①可得出P和q的关系为p+q＝pq，再根据分式混合运算的法则化简原式，代入p+q＝pq即可．
【解答】（1）解：Δ（x8）＝8x8﹣1＝8x7，
k Δ（x）＝k 1x1﹣1＝k 1 x0＝k 1 1＝k，
故答案为：8x7，k；
（2）解：①∵m Δ（x3）＝m 3x3﹣1＝3mx2，
n Δ（x2）＝n 2nx2﹣1＝2nx，
Δ（x） 1x1﹣1，
∴3mx2+2nxax3+（n﹣1）x2+（2m+6）x+1，
∴
∴a＝0，m＝1，n＝4；
②由①知，1，
∴1，
∴p+q＝pq，
∴3．
29．如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，
①若∠ABC＝40°，求∠AFB+∠CGD的度数；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且
，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 　：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN　 ．
【分析】（1）过点E作EK∥a（点K在点E的右侧），证明a∥b∥EK，进而得∠ABC＝∠BEK，∠ADC＝∠DEK，则∠ABC+∠ADC＝∠BEK+∠DEK＝∠BED，再根据AD⊥BC即可得出结论
（2）根据∠ABC+∠ADC＝90°，∠ABC＝40°得∠ADC＝50°，再根据角平分线定义得∠ABF＝20°，∠CDG＝25°，由（1）得∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝70°，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝65°，则∠AFB＝110°，∠CGD＝115°，由此可得出∠AFB+∠CGD的度数；
②根据角平分线定义设∠ABF＝∠CBF＝α，∠CDG＝∠ADG＝β，则∠ABC＝2α，∠ADC＝2β，根据∠ABC+∠ADC＝90°得α+β＝45°，由（1）得∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝α+2β，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝2α+β，进而得∠AFB＝180°﹣（α+2β），∠CGD＝180°﹣（2α+β），由此得∠AFB+∠CGD＝225°，据此即可得出答案；
（3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设∠NCD＝α，则∠BCN＝2α，∠BCD＝3α，根据角平分线的定义设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，由（1）得∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+3α，∠CNP＝∠BPN+∠NCD＝β+α，进而得∠CIP+∠IPN＝3（β+α），由此可得出∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作NH∥直线a（点H在点N的左侧），设∠NCD＝α，则∠BCD＝α，设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，由（1）得∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+α，再根据平行线的性质求出∠CNP＝β﹣α，则∠CIP+∠CNP＝3β，由此可得出∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系，综上所述即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点E作EK∥a（点K在点E的右侧），如图1所示：
∵a∥b，
∴a∥b∥EK，
∴∠ABC＝∠BEK，∠ADC＝∠DEK，
∴ABC+∠ADC＝∠BEK+∠DEK＝∠BED，
∵AD⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）解：①由（1）得：∠ABC+∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝50°，
∵BF平分∠ABC，DG平分∠ADC，
∴∠ABF∠ABC＝20°，∠CDG∠ADC＝25°，
由（1）得：∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝20°+50°＝70°，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝40°+25°＝65°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFD＝110°，∠CGD＝180°﹣∠DGB＝115°，
∴∠AFB+∠CGD＝225°；
②当∠ABC的度数变化时，∠AFB+∠CGD的度数不变化，始终为225°，理由如下：
∵BF平分∠ABC，DG平分∠ADC，
设∠ABF＝∠CBF＝α，∠CDG＝∠ADG＝β，
∴∠ABC＝2α，∠ADC＝2β，
由（1）得：∠ABC+∠ADC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∴α+β＝45°，
由（1）得：∠BFD＝∠ABF+∠ADC＝α+2β，∠DGB＝∠ABC+∠CDG＝2α+β，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFD＝180°﹣（α+2β），∠CGD＝180°﹣∠DGB＝180°﹣（2α+β），
∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣3（α+β）＝360°﹣3×45°＝225°；
（3）∠CIP，∠IPN，∠CNP的数量关系是：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，理由如下：
∵N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝1/2∠BCN，
∴有以下两种情况：
①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示：
设∠NCD＝α，
∵∠NCD∠BCN，
∴∠BCN＝2∠NCD＝2α，
∴∠BCD＝∠BCN+∠NCD＝3α，
∵N为∠IPB的角平分线上一点，
∴设∠IPN＝∠BPN＝β，
∴∠IPB＝2β，
由（1）得：∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+3α，∠CNP＝∠BPN+∠NCD＝β+α，
又∵∠IPN＝β，
∴∠CIP+∠IPN＝2β+3α+β＝3（β+α），
∴∠CIP+∠IPN＝3∠CNP；
②当点N在直线b的下方时，过点N作NH∥直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示：
设∠NCD＝α，
∵∠NCD∠BCN，
∴∠BCD＝∠NCD＝α，
∵N为∠IPB的角平分线上一点，
∴设∠IPN＝∠BPN＝β，则∠IPB＝2β，
由（1）得：∠CIP＝∠IPB+∠BCD＝2β+α，
∵a∥b，NH∥直线a，
∴a∥b∥NH，
∴∠HNP＝∠BPN＝β，∠HNC＝∠NCD＝α，
∴∠CNP＝∠HNP﹣∠HNC＝β﹣α，
∴∠CIP+∠CNP＝2β+α+β﹣α＝3β，
又∵∠IPN＝β，
∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，
综上所述：∠CIP，∠IPN，∠CNP的数量关系是：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN．
故答案为：∠CIP+∠IPN＝3∠CNP或∠CIP+∠CNP＝3∠IPN．